basicmodule Gernot Mhlbacher Bruchrechnen Einfhrung Bruchzahlen verstehen Alle

basic-module Gernot Mühlbacher Bruchrechnen § Einführung, § Bruchzahlen verstehen Alle basic-modules kannst du kostenlos herunterladen: https: //www. elearning-soft. de/. . . wähle Verzeichnis >downloads/basic-modules< Wollen Sie auch werben? https: //www. elearning-soft. de/kontakt/ Downloads und Kopien sowie das Einstellen in ein Netzwerk sind nur für den privaten Gebrauch gestattet. Die Nutzung von Kopien ist für jegliche Art des kommerziellen Gebrauchs untersagt. Für meine Enkel Moritz, Matthis, Greta und Zoe © 2018 Gernot Mühlbacher 0

INFO bekannt? . . . gleich starten: Was Du zu diesem animierten Kurzprogramm (basic-modul) wissen solltest: Ein so großer Themenbereich wie >Bruchrechnen< ist zu umfangreich für ein Lernprogramm. umfang Durch Aufteilung entstanden -reich acht Kurzprogramme (basic-modules): • Bruchzahlen verstehen. ppsx • Erweitern, Kürzen. ppsx • Addition_v. B. ppsx • Subtraktion_v. B. ppsx • Multiplikation_v. B. ppsx • Division_v. B. ppsx • Bruchrechnen Übung. ppsx • Dezimalbrüche. ppsx 1 ⇒ aktuell gestartet 2 Lade bitte gleich zu Anfang die Arbeitsblätter (AB) und die entwickelten Folien (EF) zu diesem Lehrwerk herunter und drucke sie aus: laden, > Bruchzahlen verstehen AB. pdf > Bruchzahlen verstehen EF. pdf drucken! Sie sind für den Lernerfolg von großer Wichtigkeit. Wenn die Aufgaben auf den Arbeitsblättern Schwierigkeiten bereiten, dann schau dir den Lösungsweg zuerst auf dem Bildschirm an und löse sie dann danach aus dem Gedächtnis! 3 4 5 6 7 8 Die genannten basic-modules kannst Du kostenlos herunterladen auf der Website unter: http: //www. elearning-soft. de/downloads/basicmodules/ Für den Einsatz der e. Learning-Software auf PC, Mac oder Notebook steht jederzeit auch die kostenlose Office Online-Anwendung für Power. Point zur Verfügung. Der Einsatz von Tablet-Rechnern (Android oder i. OS) ist ohne Qualitätsverlust nur möglich, wenn zuvor die kostenlose Power. Point-Mobile-App von Microsoft installiert wurde. Hilfen zur Installation und zum Gebrauch der App findest du unter: http: //www. elearning-soft. de im Verzeichnis >services< 1

B RÜCHE Viele Fragen entstehen! entstehen durch BRECHEN. . . Kann man die Größen der Bruchteile vergleichen? Das große Stück ist vier mal so groß wie das kleine. Stimmt das? Kann man die Größe der Bruchteile mit Hilfe von Bruchzahlen genau angeben? 4 5 Kann man mit den Bruchteilen rechnen? (z. B. addieren / subtrahieren) Eine ganze Tafel Schokolade (100 g) wird auseinander gebrochen. Eine Kugel wird geteilt 1 5 Du hast im Alltag sicher schon Bruchzahlen gesehen. . oder durch TEILEN SÄGEN SCHNEIDEN Teil 1 1/2 x Teil 2 ? Teil 3 1/ 3 2

DAS GANZE … … dafür finden wir im Alltag leicht Beispiele: … ein ganzes Seil … ein ganzes Tuch … ein ganzer Baumstamm … eine ganze Scheibe … ein ganzer Ball Diese Stücke bilden jeweils ‚ein Ganzes‘. Sie werden für den Gebrauch in der Mathematik auf einfache Formen zurückgeführt. … ein ganzer Stab … ein ganzer Streifen … ein(e) ganze(r) Säule Balken … eine ganzer Kreis … eine ganze Kugel Das Ganze kann man jeweils teilen, so dass Bruchteile entstehen. 2 3

BRUCHZAHLEN VERSTEHEN (1) I Der Bruch als Teil eines Ganzen (z. B. 3/5) Diese Folie soll eine Vorstellung zeigen, die zur Erklärung der Schreibweise von Bruchzahlen herangezogen werden kann. (Erklärung an einem Papier-Streifen. ) Wir teilen ein Ganzes in fünf gleiche Abschnitte: ein ein 3/1 1 Fünftel 1/ drei / / Fünftel 55 5 5 ein Fünftel 5 1/ Und so sprechen wir: Das Ganze entspricht hier Ein solcher Abschnitt ist dann der Fünfteln“. „fünfte„fünf Teil“ oder „ein Fünftel“. ein Fünftel Die Zahl auf dem Bruchstrich ‚zählt‘, wie viele Teile des Ganzen gemeint sind. Zähler z. B. Nenner Nun fügen wir drei Teile zusammen: ein Fünftel Jetzt vereinbaren wir eine mathematische Schreibweise mit einem ‚Bruchstrich‘: ein Fünftel 13 5 Der Bruchstrich ist ein Symbol für das Teilen (Dividieren). Die Zahl unter dem Bruchstrich ‚nennt‘ (zeigt an), in wie viele Teile das Ganze aufgeteilt wurde. 3 kann ich also so verstehen: 3 Teile von einem Ganzen (hier: 3 Teile von 5/5) 5 Wir fügen die zwei übrigen Fünftel zusammen. 1/ 5 1/ Fünftel 12 zwei / /5 5 Gehe zu deinem Arbeitsblatt (AB) zu Folie 4! Ergänze dort die Sätze / Begriffe, die 8 Das Ganze entspricht wir uns im Zusammenhang mit auch Bruchzahlen merken wollen! 8 zurück zum„acht Achteln“. Kehre Bildschirm und kontrolliere! 2 5 In Texten (nicht beim Rechnen!) wird auch die Schreib- 3 weise mit schräg gestelltem Bruchstrich verwendet. /5 Gehe deinem Gehe zu Folie 4!4! Arbeitsblatt (AB) zu Folie 4! Gehezum AB AB zuzu Folie Wie würdest dugeschrieben die zwei restlichen 7 Wie unterlegte Text (oben) Wiemüssteder die weiß Bruchzahl ‚Fünftel-Flächen‘ zusammenfassen und heißen, wir in acht gleich werden, wenn wirdas von. Ganze den acht gleich beschriften? Kehre dann zurück zum 8 große Abschnitte geteilt hätten? großen Abschnitten 7 meinen? Bildschirm und kontrolliere!. . . KLICK. . . dann. KLICK(Kontrolle)

Das Ganze … Gehe gleich zum AB (zu Folie 5)! Wenn du dort fertig bist, dann kontroliere hier durch KLICK Das Ganze (1) kann man jeweils in gleiche große Teile teilen. Beispielsweise in: sieben Teile Siebtel 1/ 1/ 7 7 1/ 1/ Drittel vier Teile Viertel fünf Teile Fünftel zwei Teile Halbe 1/4 1/3 1/4 7 … ein ganzer Stab Das Ganze: drei Teile … ein ganzer Streifen … ein ganzer Balken 1/5 1/5 1/5 … eine ganze Kreisfläche 1/2 … eine ganze Kugel 7 3 4 5 2 5 2

Gehe zum AB von Folie 6! Teile die Ganzen in die angegebenen Bruchteil-Größen! Kennzeichne die gefragte Anzahl der Bruchteile dann farbig! Dann hier KLICK ! (Kontrolle!) DAS GANZE … Anzahl: sechs drei zwei vier Bruchteil. Größen: Achtel Viertel Fünftel Sechstel 1/ zwei Drittel 8 1/ 1/4 8 1/5 8 1/ 8 6/ 1/ 8 3/ 1/4 1/ 1/5 4 1/5 2/ 1/5 8 Darstellung Stabals: diagramm Streifendiagramm Balkendiagramm Das Ganze: 8/ 4/ 5/ 8 1/ 6 6 1/ 1/5 1/4 8 1/ 4 5 5 60° 6 4/ 1/ 1/ 6 Kreisdiagramm 6/ 6 6 3 1/ 6 2/ 3 3 Säulendiagramm 3/ 3 Gehe wieder zum AB von Folie 6! Schreibe auch das Ganze als Bruchzahl! Dann KLICK (Kontrolle)! 6 2

Dieses Mal soll die Bruchzahl 3/8 erklärt werden. BRUCHZAHLEN VERSTEHEN (2) Der Gedankengang im Verlauf dieser Folie ist für Bruchrechen. Anfänger vielleicht nicht beim ersten Versuch zu verstehen. Du kannst aber schon mal einen Versuch unternehmen. II Der Bruch als Teil mehrerer Ganzen können wir somit auch so verstehen: Gedankengang: Wir teilen drei Papierstreifen jeweils in acht gleich große Abschnitte. 1. Wir bündeln zuerst drei Ganze. 2. Wir teilen jedes Ganze in acht Teile und nehmen von jedem Ganzen genau 1/8. Die folgenden Fragen solltest du jetzt schon beantworten können: (wie im Bild nebenan): 1. Wie nennst du jeden einzelnen Bruchteil? ein Name? Achtel Gehe zum AB von Folie 7! geteilt durch 8 2. Schreibe die Bruchzahl in das Feld! 3. Welche Bruchzahl gilt für die restliche (hellgraue) Fläche? Jede Bruchzahl durch das Beantworte dieentsteht vier Fragen! Danach hier KLICK !von (Kontrolle!) Zusammenwirken zwei Rechen-Befehlen (Operatoren): unser Beispiel: 1. Multiplikation 3 • 3 2. Division 8 : 8 Gehe zurück zum AB von Folie 7! Bearbeite die Lücken im dortigen Also: Bildachte (rechte Seite)! „Der Teil von drei Ganzen“. Danach hier KLICK ! (Kontrolle!) 4. Welche Bruchzahl gilt für die dunkelgrau eingefärbten Flächenteile? 2 mal 3 So kann man mit einer zweiten Vorstellung eine Bruchzahl auch erklären. Vergleiche mal mit Folie 4!

1/ Erklärungen: Beispiele Wenn mehrere Ganze geteilt werden, dann entsteht eine Bruchzahl, deren Zähler (Mal. Operator) größer ist als der Nenner (Geteilt-Operator). Dies ist dann ein unechter Bruch. Ganze Zahl (siehe oben!): 3 Beträgt der Zähler (Mal-Operator) genau ein Vielfaches des Nenners (Geteilt-Operator), dann ergibt der unechte Bruch durch Dividieren ohne Rest immer eine ganze Zahl. Erklärung: 1/ Vereinbarung: Das Pluszeichen lässt man weg. Achtung! Sind Zähler und Nenner eines unechten Bruches aber teilerfremd, so kann man aus dem unechten Bruch jederzeit eine gemischte Zahl (Ganze Zahl plus Bruchzahl) herstellen. Echter Bruch: Der Wert ist immer kleiner als 1 Ganzes, denn der Nenner (Geteilt-Operator) ist mächtiger als der Zähler (Mal-Operator). 1/ 1 8 /8 8 1/ 1 8 /8 1/ 1/ 3 Gemischte Zahl: 8 1/ Unechter Bruch: (Ganze) 2 1 Ganzes Wir sollten schon wissen, was damit gemeint ist, wenn diese Fachausdrücke genannt werden. Sonst können wir selbst die leichtesten Zusammenhänge nicht verstehen. Mathematik bleibt für uns dann eine unverständliche Fremdsprache. 8 1/ 1 8 /8 1/ 1/ 8 1/ 1 8 /8 1/ 8 geteilt durch 8 . . . Schon wieder Fachausdrücke lernen Ganze Zahlen, echte und unechte Brüche, gemischte Zahlen 1/ 1 8 1/8 /8 mal 3 3 Ganze = 8

EIN KUCHEN WIRD GETEILT (2) Die Wirtin einer Almhütte hat einen Heidelbeer -kuchen gebacken. Eine Wandergruppe A (6 Personen) und eine Gruppe B (9 Personen) teilen sich den Kuchen zu gleichen Teilen. Gruppe A 1/ 1/ 15 1/ 15 1/ 1/ Gruppe B 15 1/ 1/ 15 In wie viele Teile muss die Wirtin den Kuchen schneiden? 15 15. . Teile. 1 Kuchenteil als Bruchzahl? 15 15 Gehe gleich mit zumsolchen AB von. Teilungsvorgängen. Folie 9! Die Wirtin hat jetzt Erfahrung 15 das. Problem ganze Arbeitsblatt! Auch du. Bearbeite kannst dieses lösen, wenn du noch einmal die Entwicklung Danach hier KLICK ! (Kontrolle!) auf Folie 7 durcharbeitest. Wie erhielt man dort 24 gleich große Teile? 15 1/ 15 Wie verfährt man beim Teilen dieses ganzen Kuchens in 15 gleich große Teile? Zuerst schneide ich den ganzen Kuchen in Ganzer Kuchen als Bruchzahl? 1 15 15 3. . Streifen. Ich muss weiter teilen! Denn: Für 15 Personen braucht man 15 Teile. 5 Dann teile ich jeden Streifen in. . Teile. (Querstreifen) Ich erhalte so insgesamt 3 mal 5 Teile, also 15 Teile. Man hätte natürlich den Kuchen in einem Streifen backen können, um ihn dann in 15 Teile zu teilen. Gruppe A erhält 6 des Kuchens. Gruppe B erhält 9 des Kuchens. 15 passt? Aber wer schon ein solch langes das in keinen Backofen Wenn die hat Anzahl der 15 Teilstücke eine Kuchenblech, Primzahl ist, dann bleibt dir nur dieser Weg! Weshalb? 9

BRUCHZAHLEN RICHTIG ERKLÄREN: DIE BRUCHZAHL Zähler Nenner 5 8 3 2 z. B. : Die Zahl im Zähler gibt an, wie viele Teile vom Ganzen zur Bruchzahl zählen. 4 1 Die Zahl im Nenner ‚nennt‘, in wie viele gleich große Teile das Ganze aufeteilt wird. 5 8 6 7 VERÄNDERUNGEN DER ZAHLENWERTE AUSWIRKUNGEN: Bedenke: DIE BRUCHZAHL z. B. : Zähler Nenner 7 10 Regel 2: Je größer der Wert der Zahl im Zähler, desto größer wird der Gesamtwert der Bruchzahl! Regel 1: Je größer der Wert der Zahl im Nenner, desto kleiner wird jedes Teilstück und damit der Gesamtwert der Bruchzahl! Der endgültige Gesamtwert der Bruchzahl ist das Ergebnis des Zusammenspiels von Zähler und Nenner. Das Verständnis für diese Zusammenhänge wird im Verlauf der nächsten Lehrwerke zum Bruchrechnen wichtig sein. 2 3 4 5 11 6 10 9 8 7 10

Training 1 Darstellung von Bruchzahlen Im nachfolgenden Kreisdiagramm steckt ein Fehler. Beschreibe ihn! 11/ 88 1/ 11/ 8 88 1/ 1/ 1/ 1 8 8 8 /8 Von der ganzen Torte. Meinung (acht Achtel / 8/8) Schreibe deine nehme ich sechs Achtel (6/8) weg. zuerst auf das Arbeitsblatt! Das übrig bleibende Tortenstück Die zutreffende Fehlerbeschreibung kann du nurnach zweieinem Achtel. KLICK! (2/8) des siehst Ganzen ausmachen. 2 Flächenanteile veranschaulichen Eine rechteckiger Obstgarten ist 63 m lang und 20 m breit. 2/ der Fläche sind mit Zwetschgenbäumen bepflanzt, 7 1/ mit Himbeerstauden und der Rest mit Apfelbäumen. 7 Zeichne zuerst ein maßstäblich verkleinertes Bild der Gartenfläche auf dem ‚AB zu Folie 11‘! Fertige daraus ein Streifendiagramm, in dem du die jeweiligen Anteile der Obstsorten einfärbst. Das. Kontrolliere Rechteck wird hierdann in sinnvoller Weise in der erst deine Lösung! Zeichnung KLICK 6, 3 cm lang (hoch) und 2 cm breit. Begründung: Länge: 63 m = 6300 cm Maßstab 1 : 1000 ≙ 6, 3 cm Breite: 20 m = 2000 cm Maßstab 1 : 1000 ≙ 2 cm Lösung: von 6, 3 cm = 0, 9 cm H 1/ 7 7 von 6, 3 cm = 1, 8 cm Z 2/ 7 4/ 7 von 6, 3 cm = 3, 6 cm 4/ 7 7/ 7 6, 3 cm Himbeeren (H): 1/ Zwetschgen (Z): 2/ Apfel (A): 7 Die falscherweise restlichen drei Wenn du mit derwaren rechtensichtbar Maustaste Achtelstücke klickst, dann erhältst du eine Möglichkeit, deutlich zu klein. Hast du gleich zurück zu gehen und so noch einmal zu gemerkt, dass anfangs vergleichen (rechtses KLICK ‚zurück‘!) 2 insgesamt neun ‚Achtelstücke‘ waren? 1 ≠ 9/8 Gesamt: A Achte auch etwas auf diese Art, einen Lösungsweg darzustellen! 11

© 2014 Gernot Mühlbacher WIE SOLL ICH MIR EINENLERNVORGANG VORSTELLEN? All dein Wissen und alle Erfahrungen, die du bisher gemacht hast, sind in deinem Gehirn gespeichert. Ohne Abspeichern läuft nichts! So entsteht dein ‚Bewusstsein‘. Es ist das Ergebnis vorangegangener Lernschritte. Lernen beginnt ja schon mit der Geburt! Lernen ist (nur) dann ein erfolgreicher Vorgang, wenn es • auf dem bestehenden Bewusstsein (Wissen, Erfahrung) aufbauend • durch Verknüpfung mit neuen Reizen (Informationen) zu einer (möglichst bleibenden) Änderung deines Verhaltens führt. und / oder Ein neuer LERNSCHRITT zeigt sich in Form von: • neuem Wissen, Verändertes • neuen Erfahrungen, Verhalten • neuen Fertigkeiten, • neuen inneren Haltungen / Einstellungen eu N Beispiel: Vergleiche die Aussagen Beim Fangen eines Balles im Text mit der bildlichen öffnest du deine Hände und Darstellung! beugst die Ellenbogen. Dieses Verhalten erlernst du zum Beispiel ndurch Hinweise e n und häufiges tio Üben im a m Training des Handballvereins. r fo n I e lt we erricht m U nt. U z. B Verknüpfung Frage: Was müssen wir tun, um zu einer möglichst bleibenden Verhaltensänderung, also zu erfolgreichem Lernen zu gelangen? Lernen ist mehr als nur Verstehen! Der neuneue erkannte Sachverhalt neu erworbene Wissen) wird immerund wieder Lernschritt ist erst(das abgeschlossen, wenn das neue Wissen die neuen 2 hinterfragt und bearbeitet und erst durch dieses Wiederholen gefestigt. Erfahrungen im bisher bestehende Bewusstsein fest eingebunden (gespeichert) sind. Wenn diese Vernetzung unterbleibt, dann kein weiteres Lernen darauf aufbauen. 12