BASIC FEASIBLE SOLUTION Tujuan PEMBELAJARAN Memahami konsep matriks

BASIC FEASIBLE SOLUTION

Tujuan PEMBELAJARAN Memahami konsep matriks basis dan inverse Memahami konsep pembentukan matriks solusi layak dari sebuah permasalahan linear programming

OUTLINE BENTUK STANDAR LINEAR PROGRAMMING DEFINISI DASAR BASIS FEASIBLE SOLUTION BASIC FEASIBLE SOLUTION Tambahan: Mencari Inverse Matriks

BENTUK STANDAR LINEAR PROGRAMMING

Linear Programming dalam bentuk standar Memaksimumkan (Meminimumkan) Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + cnxn dengan pembatas a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2 nxn = b 2. . . am 1 x 1 + am 2 x 2 + … + amnxn = bm x 1≥ 0, x 2≥ 0, …, xn≥ 0 b 1≥ 0, b 2≥ 0, …, bm≥ 0 6

Ciri-ciri LP dalam bentuk standar Fungsi tujuan memaksimumkan atau meminimumkan Semua pembatas dinyatakan dalam persamaan Semua variabel keputusan dibatasi sebagai tak negatif Konstanta ruas kanan untuk tiap pembatas adalah tak negatif 7

Ciri-ciri LP dalam bentuk standar 1 Memaksimumkan (Meminimumkan) Z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + cnxn dengan pembatas 2 a 11 x 1 + a 12 x 2 + … + a 1 nxn = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + … + a 2 nxn = b 2. . . am 1 x 1 + am 2 x 2 + … + amnxn = bm x 1≥ 0, x 2≥ 0, …, xn≥ 0 b 1≥ 0, b 2≥ 0, …, bm≥ 0 3 4 8

Notasi matriks-vektor (1) Max (Min) dgn pembatas A x b c : matriks (m x n) : vektor kolom (n x 1) : vektor kolom (m x 1) : vektor baris (1 x n) Z = cx Ax = b x≥ 0 b≥ 0 9

Notasi matriks-vektor (2)

Reduksi ke bentuk standar Metode simplex untuk memecahkan masalah LP memerlukan bahwa masalah dinyatakan dalam bentuk standar. Tidak semua masalah LP dalam bentuk standar Pembatas pertidaksamaan (inequality constraint). Variabel yang tak dibatasi tanda (unrestricted in sign of variables) 11

Pembatas pertidaksamaan (1) Karena bentuk standar memerlukan semua pembatas harus dinyatakan dengan dalam persamaan, pembatas pertidaksamaan harus diubah ke persamaan. Ini dilakukan dengan penambahan variabel baru untuk menunjukkan slack antara ruas kiri dan kanan pada tiap pertidaksamaan. Variabel baru tersebut disebut slack variable 12

Pembatas pertidaksamaan (2) x 1 + 4 x 2 10 ⇒ x 1 + 4 x 2 + x 3 = 10 x 3 ≥ 0 2 x 1 + 5 x 2 ≥ 18 ⇒ 2 x 1 + 5 x 2 – x 4 = 18 x 4 ≥ 0 13

Latihan 4. a Menentukan Variabel Slack Susun persamaan berikut menjadi standar dengan menambahkan slack variabel 3 x 1 + x 2 6 2 x 1 + 2 x 2 8 x 1 ≥ 0 x 2 ≥ 0 Jawablah pertanyaan di atas. (Dengan cara pengerjaan) Jawaban dituliskan pada buku catatan dengan Heading = LATIHAN 4. a Menentukan Variabel Slack

Variabel yang tak dibatasi tanda (1) Dalam LP, adakalanya terdapat nilai variabel yang tak dibatasi tanda (positif atau negatif) Karena bentuk standar LP memerlukan semua variabel adalah tak negatif, maka variabel yang tak dibatasi tanda diganti dengan selisih dua variabel tak negatif 15

Variabel yang tak dibatasi tanda (2) x 1 + x 5 = 50 x 1 ≥ 0 x 5 tak dibatasi tanda/ unrestricted x 5 = x 6 – x 7 x 1 + x 6 – x 7 = 50 x 1 ≥ 0, x 6 ≥ 0, x 7 ≥ 0 16

Latihan 4. b Menstandarkan variabel Tak Berbatas Tanda Susun persamaan berikut menjadi standar dengan menambahkan slack variabel 3 x 1 + x 2 6 2 x 1 + 2 x 2 8 x 1 ≥ 0 Jawablah pertanyaan di atas. (Dengan cara pengerjaan) Jawaban dituliskan pada buku catatan dengan Heading = LATIHAN 4. b Menstandarkan Variabel Tak Berbatas Tanda

DEFINISI DASAR BASIS FEASIBLE SOLUTION

Definisi dasar (1) Suatu solusi layak (feasible solution) adalah suatu vektor tak negatif x yang memenuhi persamaan Ax = b. Daerah layak (feasible region), dinyatakan dengan S, adalah himpunan dari semua solusi layak yang mungkin. Secara matematis, S = {x | Ax = b, x ≥ 0} Jika himpunan layak S adalah kosong maka masalah LP dikatakan tak layak (infeasible). 19

Definisi dasar (2) Suatu solusi optimal (optimal solution) adalah suatu vektor x* yang layak dan nilai fungsi tujuannya (cx*) lebih besar (untuk kasus maximization) dari semua solusi layak yang lain. Secara matematis, x* adalah optimal x* S dan cx* ≥ cx, x S Nilai optimal (optimal value) dari masalah LP adalah nilai fungsi tujuan yang berkaitan dengan solusi optimal. Jika Z* adalah nilai optimal maka Z* = cx* 20

Definisi dasar (3) Jika suatu LP mempunyai lebih dari satu solusi optimal maka LP disebut mempunyai solusi optimal alternatif (alternate optimal solution). Solusi optimal dari masalah LP dikatakan unik (unique optimum) jika hanya terdapat tepat satu solusi optimal. Jika suatu masalah LP tidak mempunyai optimum tertentu (finite optimum), yaitu max Z + , maka LP dikatakan mempunyai solusi yang tak terbatas (unbounded solution). 21

PEMECAHAN SISTEM PERSAMAAN LINIER

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (1) Permasalahan matematis utama dalam pemrograman linier adalah mendapatkan solusi dari suatu sistem persamaaan linier yang memaksimumkan atau meminimumkan suatu fungsi tujuan linier. Sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan menggunakan prosedur klasik Gauss. Jordan elimination. 23

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (2) Sistem dengan dua persamaan dengan lima variabel yang tak diketahui (S 1) x 1 – 2 x 2 + x 3 – 4 x 4 + 2 x 5 = 2 x 1 – x 2 – x 3 – 3 x 4 – x 5 = 4 • Karena terdapat lebih banyak jumlah variabel yang tak diketahui daripada persamaan, maka sistem mempunyai lebih dari satu solusi. • Himpunan dari semua solusi yang mungkin dari sistem disebut himpunan solusi (solution set). 24

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (3) Sistem ekivalen (equivalent system) Dua sistem persamaan dikatakan ekivalen jika kedua sistem mempunyai himpunan solusi yang sama. Metode untuk memecahkan suatu sistem persamaan adalah mendapatkan suatu sistem ekivalen yang mudah untuk dipecahkan. 25

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (4) Terdapat dua tipe operasi baris elementer(OBE) untuk mendapatkan sistem ekivalen Mengalikan sembarang persamaan dalam sistem dengan suatu bilangan positif atau negatif. Menambahkan ke sembarang persamaan dengan suatu konstanta pengali (positif, negatif atau nol) ke sembarang persamaan yang lain. 26

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (5) (S 1) x 1 – 2 x 2 + x 3 – 4 x 4 + 2 x 5 = 2 x 1 – x 2 – x 3 – 3 x 4 – x 5 = 4 (S 2) x 1 – 2 x 2 + x 3 – 4 x 4 + 2 x 5 = 2 x 2 – 2 x 3 + x 4 – 3 x 5 = 2 (S 3) x 1 – 3 x 3 – 2 x 4 – 4 x 5 = 6 x 2 – 2 x 3 + x 4 – 3 x 5 = 2 Baris 2 dikurangi oleh baris 1 Baris 1 ditambah oleh dua kali dari baris 2 27

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (6) Sistem S 1, S 2 dan S 3 adalah ekivalen, yaitu solusi bagi satu sistem secara otomatis memberikan solusi bagi sistem yang lain. Untuk sistem S 3, x 3 = x 4 = x 5 = 0 akan memberikan x 1 = 6, x 2 = 2. Sistem S 3 disebut sistem kanonik (canonical system). Variabel x 1 dan x 2 dari sistem kanonik disebut variabel basis (basic variable). Variabel basis (basic variable) Variabel xi dikatakan sebagai variabel basis jika dalam suatu persamaan ia muncul dengan koefisien satu pada persamaan tersebut, dan nol pada persamaan yang lain. Variabel non basis (nonbasic variable) Variabel yang bukan variabel basis. Operasi pivot (pivot operation) Suatu urutan operasi elementer yang mereduksi suatu sistem persamaan ke suatu sistem ekivalen untuk menghasilkan variabel basis. (S 1) x 1 – 2 x 2 + x 3 – 4 x 4 + 2 x 5 = 2 x 1 – x 2 – x 3 – 3 x 4 – x 5 = 4 (S 2) x 1 – 2 x 2 + x 3 – 4 x 4 + 2 x 5 = 2 x 2 – 2 x 3 + x 4 – 3 x 5 = 2 (S 3) x 1 – 3 x 3 – 2 x 4 – 4 x 5 = 6 x 2 – 2 x 3 + x 4 – 3 x 5 = 2 • • Solusi basis (basic solution) Solusi yang diperoleh dari suatu sistem kanonik dengan menetapkan nilai variabel non basis sama dengan nol dan memecahkan variabel basis. Solusi basis layak (basic feasible solution) Solusi basis dimana nilai variabel basisnya adalah tak negatif.

Latihan 4. c Operasi Pivot x 1 – 3 x 2 + x 3 – 4 x 4 + 2 x 5 = 2 x 1 – x 2 – x 3 – 3 x 4 – x 5 = 4 1. Lakukan operasi pivot 2. Tentukan Variabel Basis 3. Tentukan Variabel Non Basis Jawablah pertanyaan di atas. (Dengan cara pengerjaan) Jawaban dituliskan pada buku catatan dengan Heading = LATIHAN 4. c Operasi Pivot

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (9) Dengan m pembatas dan n variabel, jumlah maksimum dari solusi basis bagi LP dalam bentuk standar adalah terbatas dan diberikan oleh • Per definisi, setiap solusi basis layak adalah solusi basis, maka jumlah maksimum solusi basis layak adalah juga terbatas dengan hubungan ini. 30

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (10) Dari kesimpulan dengan metode grafis: Jika terdapat suatu solusi optimal dari model LP, salah satu titik pojok (corner point) dari daerah layak adalah solusi optimal. Dengan mudah dapat ditunjukkan bahwa setiap titik pojok dari daerah layak berkaitan dengan suatu solusi basis layak dari persamaan pembatas. Ini berarti bahwa suatu solusi optimal dari model LP dapat diperoleh hanya dengan memeriksa solusi basis layaknya. 31

Pemecahan Sistem Persamaan Linier (11) Pendekatan naif (naïve approach) untuk memecahkan masalah LP (yang mempunyai solusi optimal) dilakukan dengan membangkitkan semua solusi basis layak yang mungkin dengan sistem kanonik dan menentukan solusi basis layak mana yang memberikan nilai fungsi tujuan terbaik. Dengan metode simpleks (simplex method), pemecahan lebih efisien karena hanya memeriksa sebagian solusi basis layak. 32

BASIC FEASIBLE SOLUTION

BASIC SOLUTION OF SYSTEM Jika fungsi pembatas adalah Ax = B, maka solusinya adalah dengan dan

Jika x. B ≥ 0, maka x disebut BASIC FEASIBLE SOLUTION dari sistem tersebut. B = basic matrix (basis) N = nonbasic matrix Komponen x. B disebut variabel basis/ variabel dependent Komponen x. N disebut variabel nonbasis/ variabel independent

Contoh Kasus (1) Fungsi pembatas sebagai berikut: x 1 + x 2 ≤ 6 x 2 ≤ 3 x 1 , x 2 ≥ 0

Fungsi pembatas sebagai berikut: x 1 + x 2 ≤ 6 x 2 ≤ 3 x 1 , x 2 ≥ 0 Contoh Kasus (2) Bentuk standard? x 1 + x 2 + x =6 x 2 + x =3 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0 3 4

Contoh Kasus (3) Bentuk standard? x 1 + x 2 + x 3 =6 x 2 + x 4 = 3 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0 Matriks Pembatas A = [a 1, a 2, a 3, a 4]

Latihan 4. d Bentuk Standar dan Matrix Pembatas Fungsi pembatas sebagai berikut: x 1 + x 2 ≤ 5 x 1+ ≤ 4 x 1 , x 2 ≥ 0 1. Tentukan bentuk standar 2. Tentukan Matrix Pembatas A Jawablah pertanyaan di atas. (Dengan cara pengerjaan) Jawaban dituliskan pada buku catatan dengan Heading = LATIHAN 4. d Bentuk Standar dan Matrix Pembatas

Contoh Kasus (3) Basis yang mungkin: 1. B = [a 1, a 2] = XB = 2. B = [a 1, a 4] = XB =

Latihan 4. e Penentuan x. B Fungsi pembatas sebagai berikut: x 1 + x 2 ≤ 5 x 1+ ≤ 4 x 1 , x 2 ≥ 0 1. Tentukan x. B Jawablah pertanyaan di atas. (Dengan cara pengerjaan) Jawaban dituliskan pada buku catatan dengan Heading = LATIHAN 4. e Penentuan x. B

Contoh Kasus (4) 3. B = [a 2, a 3] = XB = 4. B = [a 2, a 4] = XB = 5. B = [a 3, a 4] = XB = Poin 1, 2, 3, dan 5 merupakan basic feasible solution Poin 4 merupakan solusi basis yang tidak feasible

Contoh Kasus (6) 4 3 XB = 1 2 5

Latihan 4. e Penentuan x. B Fungsi pembatas sebagai berikut: x 1 + x 2 ≤ 5 x 1+ ≤ 4 x 1 , x 2 ≥ 0 1. Tentukan x. B 2. Tentukan Basic Feasible Solution 3. dan Solusi Basis non Feasible Jawablah pertanyaan di atas. (Dengan cara pengerjaan) Jawaban dituliskan pada buku catatan dengan Heading = LATIHAN 4. e Penentuan x. B

Tambahan: Mencari Inverse Matriks

Matrik Invers Suatu bilangan jika dikalikan dengan kebalikannya, maka hasilnya adalah 1. Misalkan 5. 5 -1 atau 5 -1. 5 = 1, Demikian juga halnya dengan matrik A. A-1 = A-1. A = I Maka : Jika tidak ditemukan matrik A-1, maka A disebut matrik tunggal (singular)

Ø Invers matrik 2 x 2 : Maka , A-1 diperoleh dengan rumus : 1. A. A-1 = I 2. OBE Metode Gauss-Jordan 3. Jika ad – bc = 0, maka matrik A non-invertibel

1) Mencari invers dengan definisi A A-1 = A-1 A = I Langkah-langkahnya : Ø Dibuat suatu matrik invers dengan elemen matrik permisalan sehingga mendapatkan suatu persamaan jika dilakukan perkalian dengan matriknya. Ø Perkalian matrik dengan matrik inversnya menghasilkan matrik identitas Ø Dilakukan penyelesaian persamaan melalui eliminasi ataupun substitusi sehingga diperoleh nilai elemen-elemen matrik invers.

2) Mencari invers dengan OBE (Operasi Baris Elementer) OBE Langkah-langkah : Ø Dilakukan OBE pada hingga diperoleh dengan memperhatikan definisi operasi berikut:

Matriks Elementer: (E) Matriks A(nxn) disebut elementer bila dengan sekali melakukan Operasi Baris Elementer (OBE) terhadap matriks identitas In. B 2(5) B 12 B 32(4) B 3= B 3+ 4 B 2 B 2(1/5) B 12 B 32(-4) B 3= B 3+(- 4)B 2

E = matrik elementer, maka EA = matrik baru yang terjadi bila OBE tersebut dilakukan pada matrik A. Notasi sebagai berikut : A OBE = Ek…. . E 2 E 1 A = In . A Contoh : B 12 E. A

Tunjukkan bahwa matrik elementer ! Jawab : B 12 B 21(-2) adalah perkalian B 12(1) B 2(-1/3) Dari penyelesaian dengan OBE yang menghasilkan matrik identitas, maka matrik A adalah matrik invertible Dengan demikian, matrik A dapat dituliskan sebagai hasil kali dari matrik elementer.

Kita memiliki E 4 E 3 E 2 E 1 A = I dengan : Matrik elementer ini menyatakan operasi baris elementer untuk membentuk matrik A menjadi matrik identitas. Dengan demikian :

3) Mencari Invers dengan Matrik Adjoint Langkah-langkah : Ø Hitung |A| ≠ 0 Ø Cari matrik adjoint dengan terlebih dahulu menentukan matrik kofaktor. Ø Matrik adjoint merupakan matrik transpose dari matrik kofaktor. Ø Matrik invers diperoleh dengan mengkalikan matrik adjoint dengan seper-determinan

Matrik kofaktor dan matrik adjoint Jika baris ke i dan kolom j dibuang, maka disebut minor ke ij dari matrik A. Kofaktor ke ij dari matrik A adalah :

Matrik kofaktor dari A adalah :

Sehingga diperoleh matrik kofaktor A : Matrik adjoint merupakan matrik transpose dari matrik kofaktor.

Kesimpulan : Matrik Adj (A) dari A 2 x 2 = C 11 = M 11 = d C 21 = - M 21 = - b C 12 = - M 12 = - c C 22 = M 22 = a adj(A) = =

Contoh soal : 1. Carilah matrik invers dari : Jawab : Cara 1) Misalkan : =

Cara 2) (A | I) OBE (I | A-1)

Cara 3) :

2. Cari matrik invers dengan OBE dari matrik berikut : Jawab : (A | I) OBE (I | A-1) B 21(-3) B 12(-2) B 2(-1/2)

3. Tentukan A-1 dan B-1 pada matrik berikut ini : A= and B = |A| = 1(4) – 2(3) = -2 ≠ 0, so A have an inverse |B| = 4(16) – 8(8) = 0, so B not have an inverse

Ø Invers matrik 3 x 3 Sama seperti mencari invers matrik 2 x 2, hanya diperlukan ketelitian yang lebih dibandingkan mencari invers matrik 2 x 2.

Carilah invers dari A = Jawab : C 11 = M 11 = - 5 C 31 = M 31 = - 4 C 12 = - M 12 = 1 C 32 = - M 32 = 0 C 13 = M 13 = 1 C 33 = M 33 = 2 C 21 = - M 21 = 4 C 22 = M 22 = - 2 C 23 = - M 23 = 0

adj(A) = = |A| = a 11 C 11 + a 12 C 12 + a 13 C 13 = (2)(-5) + (4)(1) =-2 A-1 = = =

Carilah invers dari B = dengan melakukan OBE ! Jawab : (B | I) = B 13 ~ B 21(1) ~ B 31(2)

B 1(-1) ~ B 3(-1/2) B 13(-3) ~ B 23(1) B 12(-2) ~

= (I | B-1) Jadi B-1 =

Cari matrik invers dari Jawab : OBE B 21(-2) B 31(1) B 32(1) Karena elemen baris ke 3 pada matrik kiri semua nol, maka matrik A tidak punya invers (non-invertibel)

SELAMAT BELAJAR