BARISAN DERET Tujuan yang akan dicapai adalah siswa

BARISAN DERET Tujuan yang akan dicapai adalah siswa mampu : 1. Menjelaskan ciri barisan aritmatika dan barisan geometri. 2. Merumuskan suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmatika dan deret geometri. 3. Menentukan suku ke-n dan jumlah n suku deret aritmatika dan deret geometri. 4. Menjelaskan ciri deret geometri tak hingga yang mempunyai jumlah. 5. Menghitung jumlah deret geometri tak hingga. 6. Membuktikan rumus jumlah n suku deret aritmatika dan geometri.

Pengertian Barisan adalah kumpulan dari beberapa bilangan yang memiliki pola atau aturan tertentu. Secara umum barisan dapat dituliskan sbb : u 1, u 2, u 3, u 4, . . , u n Dimana : U 1 = Suku pertama U 2 = Suku kedua. . Un=Suku ke-n

Defenisi deret Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret Jika barisan bilangan dinyatakan dengan : u 1, u 2, u 3, u 4, . . , un-1 , un Maka deret bilangan tersebut dapat dituliskan sbb : U 1+u 2 + u 3+ u 4 +. . +un-1 +un Contoh : 1. Deret bilangan asli : 1+2+3+4+5+… 2. Deret Bilanga Prima : 2+3+5+7+11+… 3. dll

Menentukan rumus suku ke-n! Contoh 1. Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut : 2, 4, 8, 16 ? Jawab : Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suu ke-n! U 1= 2 1 U 2= 4 = 2 2 U 3= 8 = 2 3 U 4 =16 = 24 Jadi dari pola diatas dapat disimpulkan bahwa : un = 2 n

Contoh 2. Tentukanlah rumus suku ke-n dari barisan bilangan berikut : 1. 2, 2. 3, 3. 4, 4. 5, …? Jawab : Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suu ke-n! u 1=1. 2=1. (1+1) U 2=2. 3=2. (2+1) U 3=3. 4=3. (3+1) U 4=4. 5=4. (4+1) Jadi dari pengamata diatas dapat disimpulkan bahwa rumus suku ke-n adalah Un=n. (n+1)

Cotoh 3. Tentukanlah rumus suku ke-n dari barisan berikut ini: 2, 5, 8, 11, … Jawab : Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suu ke-n! u 1=2=2+(1 -1). 3=3. 1 -1 U 2=5=2+(2 -1). 3=3. 2 -1 U 3=8=2+(3 -1). 3=3. 3 -1 U 4=11=2+(4 -1). 3=3. 4 -1 Jadi dari hasil pengamatan diatas dapat disimpulkan bahwa rumus suku ke-n adalah : un=2+(n-1). 3 atau un=3 n-1

Contoh 4. Tentukanlah rumus suku ke-n dari barisan berikut : 30, 28, 26, 24, …? Jawab : Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suu ke-n! U 1=30=30 -(1 -1). 2=32 -2. 1 U 2=28=30 -(2 -1). 2=32 -2. 2 U 3=26=30 -(3 -1). 2=32 -2. 3 U 4=24=30 -(4 -1). 2=32 -2. 4 Jadi dari hasil diatas dapat disimpulkan rumus suku ke-n adalah un=30 – (n-1). 2 atau un=32 -2 n

Contoh 5. Tentukanlah rumus suku ke-n dari barisan berikut : 1, 4, 9, 16, …? Jawab : Gunakan pengamatan anda dan tentukan suatu aturan atau rumus untuk suku ke-n! U 1=1=1. 1=12 U 2=4=2. 2=22 U 3=9=3. 3=32 U 4=16=4. 4=42 Jadi dari hasil yang diperoleh dapat disimpulkan rumus suku ke-n adalah : Un=n 2

2. Barisandan deret aritmatika Defenisi Barisan aritmatika: Jika beda antara suatu suku apa saja dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya adalah suatu bilangan tetap (b). Maka barisan ini adalah barisan Aritmatika. Bilangan tetap b disebut sebagai beda dari barisan. Secara umum jika: u 1, u 2, u 3, u 4, . . , un , jikadan hanya jika : u 2 -u 1=u 3 -u 2=u 4 -u 3=…=un-un-1=b Contoh : barian bilangan asli : 1, 2, 3, 4, … Dimana : 2 -1=3 -2=4 -3=5 -4=…=1=b

Rumus Suku ke-n dari barisan aritmatika ? Jika barisan aritmatika dinyatakan dengan : u 1, u 2, u 3, u 4, . . , un yang memiliki beda sebesar b maka suku ke-n dapat dinyatakan dengan : Un=u 1+(n-1)b Dimana b= un-un-1

Contoh 6. Tentukanlah suku ke-10 dari barisan aritmatika berikut : 2, 5, 8, 11, …? Jawab : Dik: barisan : 2, 5, 8, 11, … U 1=2 U 2=5 Dit : U 10= ? Jawab : b= u 2 -u 1=5 -2 =3 Un= u 1 + (n-1)b U 10=2 +(10 -1)3 U 10 = 2 + 9. 3 U 10 = 2 + 27 U 10 = 29

Rumus menentukan beda untuk barisan aritmatika ? • Jika dua suku yang berbeda dikitahui misalnya : um dan un dimana n>m maka besarnya beda dapat ditentukan sbb: Contoh 7. Tentukanlah beda dan u 20 dari barisan aritmatika jika diketahui u 10=24 dan u 5 =9 ? Jawab :

Jawab : U 1= u 5 – (5 -1). 3 U 1= 9 – 4. 3 = 9 - 12 a=U 1= - 3 U 20 = -3 + (20 -1). 3 = -3 + 19. 3 U 20 = -3 + 57 U 20 = 54

2. Barisandan deret aritmatika Defenisi Barisan aritmatika: Jika beda antara suatu suku apa saja dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya adalah suatu bilangan tetap (b). Maka barisan ini adalah barisan Aritmatika. Bilangan tetap b disebut sebagai beda dari barisan. Secara umum jika: u 1, u 2, u 3, u 4, . . , un , jikadan hanya jika : u 2 -u 1=u 3 -u 2=u 4 -u 3=…=un-un-1=b Contoh : barian bilangan asli : 1, 2, 3, 4, … Dimana : 2 -1=3 -2=4 -3=5 -4=…=1=b

• Defenisi deret aritmatika : Jika u 1, u 2, u 3, …. , un merupakan barisan aritmatika maka penjumlahan dari u 1 + u 2 + u 3 + …. . + un disebut deret aritmatika. • Rumus jumlah n suku pertama deret aritmatika yang ditulis dengan sn adalah : Jika u 1 = a , u 2 = a + b, u 3 = a + 2 b, un = a + (n 1)b maka : Sn = u 1 +u 2 + u 3 + …. . + un Dengan menggantikan

• U 1 = a, u 2 = a+b, u 3 = a+2 b, un-1 = a+(n-2)b, dan un = a+(n-1)b. maka diperoleh : • Sn = a+(a+b)+(a+2 b)+…+(a+(n-1)b) • Sn=(a+(n-1)b)+(a+(n-2)b)+(a+(n-3)b)+…+a 2 Sn=(2 a+(n-1)b)+(2 a+(n-1)b)+…+(2 a+(n-1)b) nx 2 Sn=n. (2 a+(n-1)b) Karena Un = a + (n-1)b maka rumus diatas dapat dituliskan sebagai berikut :

Contoh 8. Tentukanlah jumlah 15 suku pertama dari deret aritmatika jika diketahui u 1=10 dan u 15=94? • Jawab : • Diketahui : • a= u 1 = 10 • U 15= 94 Ditanya : S 15 = ? Jb:

Contoh. 9 Tentukanlah jumlah dari deret berikut : 3+13+23+33+…+U 120. ? • Penyelesaian: • Diketahui: Deret aritmattika : 3+13+23+33+ + u 120. • Jb : a = 3, b=13 -3=10

Contoh. 3 Suku ke-9 dan suku ke-21 dari suatu deret aritmatika berturut-turut adalah 12 dan 72. tentukanlah Jumlah 5 suku pertama deret tersebut ? • • Penyelesaian : Diketahui: u 9=12, u 21 =72 Dit : S 5=? Jb:

Menentukan Un jika Rumus Sn diberikan. • Dari materi sebelumnya telah diketahui bahwa : Sn = u 1+u 2+u 3+ …+un-2+un-1 + un Sn-1 = u 1+u 2+u 3+ …+un-2+un-1 Sn – Sn-1 = Un Jadi rumus suku ke-n dari deret tersebut adalah : Un = Sn – Sn-1

Contoh 1. Tentukanlah suku ke-n dan beda dari deret aritmatika yang jumlah n suku pertamanya dinyatakan dengan Sn=5 n 2+2 n ? Penyelesaian : Diketahui : Sn=5 n 2 + 2 n Dit : Un=? Dan b=? Jb. Sn = 5 n 2+2 n Sn-1 =5(n-1)2 +2(n-1) = 5(n 2 – 2 n + 1) + 2 n – 2 Sn-1 = 5 n 2 – 10 n + 5 + 2 n – 2 = 5 n 2 – 8 n + 3 Un= Sn – Sn-1 = (5 n 2 + 2 n) – (5 n 2 – 8 n + 3) =10 n – 3 Jadi Un = 10 n – 3 b= Un – Un-1 = (10 n – 3) – (10 (n-1) – 3) b= 10 n – 3 – ( 10 n – 10 – 3) = 10 Jadi bedanya adalah b = 10

Menentukan beda dan Suku ke-n jika sn diberikan dalam fungsi kuadrat n • Jika sn dinyatakan dalam fungsi kuadrat n dimana Sn = f(n) = an 2 + bn + c maka Rumus suku ke-n dan bedanya dapat ditentukan dengan menggunakan turunannya sebagai berikut :

Contoh 10. Tentukanlah suku ke-n dan beda dari deret aritmatika yang jumlah n suku pertamanya dinyatakan dengan Sn=5 n 2+2 n ? • Penyelesaian : • Diketahui : Sn=5 n 2+2 n • • • Dit : Un=? Dan b=? Jb: Sn = 5 n 2 + 2 n Sn’ = 10 n + 2 Sn” = 10 Jadi :

3. Barisan deret Geometri Defenisi Barisan Geometri: Jika rasio antara suku apa saja dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya adalah suatu bilangan tetap (r). Maka barisan ini adalah barisan Geometri. Bilangan tetap r disebut sebagai rasio dari barisan. Secara umum : u 1, u 2, u 3, u 4, . . , un merupakan barisan geometri , jika dan hanya jika : Contoh : barisan bilangan 2 n : 1, 2, 4, 8, 16, 32, …

Dimana : Tugas : Menentukan barisan geometri atau bukan. Tentukan apakah setiap barisan berikut adalah barisan geometri. Jika ya, tentukan rasionya. a. 3, 9, 27, 81, . . b. 1, 3, 4, 7, 11, . . c. 256, 64, 16, 4, . . . Jawabnya : a. Rasio antara setiap dua suku yang berdekatan. Merupakan barisan geometri dengan rasio = 3

b. Rasio antara setiap dua suku yang berdekata Bukan barisan geometri karena rasionya tidak sama. c. Rasio antara setiap dua suku yang berdekatan Merupakan barisan geometri dengan rasio = 1/4

Rumus Suku ke-n dari barisan Geometri ? • Jika barisan geometri dinyatakan dengan : u 1, u 2, u 3, u 4, . . , un yang memiliki rasio r maka suku ke-n dapat dinyatakan dengan : • Un=u 1. rn-1 Atau, Jika u 1 = a , maka : • Dimana Un =a. rn-1 • r=

Contoh 11. Suku Ke-n barisan Geometri. Tentukanlah suku ke-8 dan suku ke-n dari barisan berikut : 2, 6, 18, 54, …. Jawab: a=2 r= jadi : Un = a. rn-1=2. 3 n-1 U 8 = 2. 3 8 -1 = 2. 37 = 2. (2187) = 4374

Contoh 12. Suku Ke-n barisan Geometri. • Dari suatu barisan geometri diketahui Tentukanalah rasionya. Jawab: Lakukan perbandingan antara suku-suku. Jadi rasionya adalah 2

Contoh 13. Suku Ke-n barisan Geometri. • Dari suatu barisan Geometri diketahui U 1= -2, un= -162 dan rasio r = -3. Tentukan nilai n. Jawab : Jadi nilai n adalah 5

Contoh 14. Soal aplikasi Perkembangan bakteri: Banyak suatu bakteri tertentu menjadi dua kali lipat setiap jangka waktu 3 hari. Jika banyak awal bakteri adalah 20, berapa populasi bakteri pada akhir masa waktu 24 hari. Jawab : Selesaikan dengan prinsip barisan.

Banyak bakteri pada posisi awal (u 1=20) 1 x 3 hari berikutnya jlh bakteri menjadi U 2= 2 x 20=40 2 x 3 hari berikutnya jlh bakteri menjadi U 3= 2 x 40=80 3 x 3 hari berikutnya jlh bakteri menjadi U 4= 2 x 80=160. . . 8 x 3 hari berikutnya jlh bakteri menjadi U 9=…. . ? Jadi jumlah bakteri pada akhir 24 hari sama dengan U 9= …. ? a = 20, r = 40/20 = 2 U 9=a. r 8 = 20. 28= 20. (256) = 5120. Jadi jumlah bakterinya adalah 5. 120.

Contoh 15. Soal aplikasi • Pertumbuhan Penduduk. Di suatu daerah permukiman baru, banyak pendudukpada tanggal 1 januari 1998 adalah 20. 000 orang. Jika tingkat pertumbuhannya 10 % pertahun. Hitunglah banyak penduduk pada tanggal 1 januari 2004. Jawab : Selesaikan dengan prinsip barisan.

Banyak Jlh penduduk pada posisi awal (u 1=20000) 1 tahun berikutnya jlh penduduk menjadi U 2= 20000 + 0. 1(20000) =1. 1(20000) 2 tahun berikutnya jlh penduduk menjadi U 3= 1. 1(20000) + 0. 1(1. 1(20000)) =1. 21(20000)=(1. 1)2(20000) 3 tahun berikutnya jlh penduduk menjadi U 4= (1. 1)2 (20000) + 0. 1((1. 1)2 (20000)) =(1. 1)3 (20000). . . 6 tahun berikutnya jlh penduduk menjadi U 7= …. Jadi jumlah penduduk pada 1 januari 2004 sama dengan U 7= …. ? a = 20000, r =1. 1(20000)/20000=1. 1 U 7=a. r 6 = 20000. (1. 1)6 = 20000. (1. 771561) = 35431 Jadi jumlah penduduk pada 1 januari 2004 adalah 35. 431 orang.

• Defenisi deret Geometri : Jika u 1, u 2, u 3, …. , un merupakan barisan geometri maka penjumlahan dari u 1 + u 2 + u 3 + …. . + un disebut deret geometri. • Rumus jumlah n suku pertama deret geometri yang ditulis dengan sn adalah : Jika u 1 = a , u 2 = ar, u 3 = ar 2, un = ar(n-1) maka : • Sn = u 1 +u 2 + u 3 + …. . + un • Dengan mensubstitusikan dengan suku – suku diatas, diperoleh :

1. Jumlah suatu barisan aritmatika dinyatakan dengan Sn= 3 x 2 + 5 x – 3. tentukanlah suku ke-n dan beda dari barisan tersebut? 2. Suatu barisan geometri diketahui sebagai berikut : 4, 12, 36, . . . , tentukanlah suku pertama, ratio, suku ke-6, dan suku ke-n dari barisan tersebut? 3. Diketahui suku pertama dan ratio dari suatu barisan geometri sebagai berikut 32 dan 8, tentukanlah suku ke 5 dan suku ke-n dari barisan tersebut?

Sn = a + ar 2 + … + arn-2 + arn-1 r. Sn = ar + ar 2 + ar 3 +. . . + arn-1 + arn - (1 – r) Sn = a – arn Dimana : Sn = jumlah n suku pertama a = nilai suku pertama r = Ratio / perbandingan -

• Untuk menghindari nilai negarif pada rumus diatas maka sebaiknya : gunakan rumus : Dan rumus : Jika Sn= C. rn - C maka rumus diatas dapat dituliskan menjadi

Contoh 16. Jumlah n suku pertama • Tentukan jumlah delapan suku pertama dari deret : 3 + 6 + 12 + …? Jawab : Dik : a = 3 r = 2 ; r>1 Dit : S 8 = …? Jb. Jadi jumlah delapan suku pertama dari deret di atas adalah 765

Contoh 17. Jumlah n suku pertama Jumlah adalah. Tentukanlah banyak suku dari deret ini. Jawab: Dik : a= r= ; r>1 Sn = Dit : n =. . . ? Jb:

Jadi banyak sukunya adalah 6

Contoh 18. Jumlah n suku pertama • Jumlah n suku pertama suatu deret dirumuskan oleh Sn = 23 n-1. Tentukan suku pertama, rasio, dan suku ke-n dari deret tersebut ? . Jawab : Sn = 23 n-1 a = u 1 = S 1 = 23. 1 -1 = 23 -1 = 8 -1=7 Sn= C. rn - C Sn = 1. 8 n – 1 ini berarti : r = 8 dan c = 1 Un = arn-1= 7. 8 n-1. Jadi diperoleh nilai suku pertama = 7, ratio = 8 dan rumus suku ke-n = 7. 8 n-1.

• Deret Geometri takhingga. 1. Untuk -1<r<1 Untuk harga -1<r<1, maka jumlah deret geometrinya sampai suku ke takhingga akan diperoleh sebagai berikut : Untuk maka harga diatas akan menjadi : , maka rumus

2. Untuk r < -1 dan r > 1 Untuk , maka nilai dari Dengan memasukkan nilai diatas ke rumus suku ke-n akan diperoleh : • Jadi nilai dari jumlah suku tak hingga untuk r < -1 dan r > 1 adalah

2. Untuk r < -1 dan r > 1 Untuk , maka nilai dari Dengan memasukkan nilai diatas ke rumus suku ke-n akan diperoleh :

Contoh 19. Deret geometri tak hingga konvergen • Tentukan jumlah deret tak hingga • Jawab : Dik : Dit : a=3 Jb :

Contoh 20. Soal aplikasi pada Deret geometri tak hingga konvergen • Panjang lintasan Bola Jatuh Bebas. Sebuah bola dijatuhkan vertikal dari ketinggian 4 meter dan memantul kembali dengan ketinggian kali tinggi sebelumnya. Pemantulan ini berlangsung terus menerus sampai bola berhenti. Hitunglah : a. Panjang lintasan bola hingga bola menyentuh permukaan yang ke-6 kali. b. Panjang lintasan bola sampai berhenti. h 4

• Jawab : a. Untuk menyelesaikan kasus diatas coba kita amati gambar berikut. h 0=4 m h 0 = 1 x h 1 = 2 x h 2 = 3 x dst h 1 h 2 h 3 h 4

• Jadi : Dimana :

• Dengan demikian :

jb b: Dari gambar diatas dapat kita tuliskan bahwa : Sn=h 0+2 h 1+2 h 2+2 h 3+…. Sn = h 0 +2(h 1+h 2+h 3+…. ) Dimana :

Soal ulangan harian : 1. Tentukanlah dua suku berikutnya dari barisan berikut ini: a. 1, 3, 5, 7, …, …. b. 2, 8, 26, 80, …. c. 1, 8, 27, 64, …. d. 2, 5, 7, 3, 6, 8, 4, …. e. 11, 19, 27, 9, 17, 25, 7, …. 2. Pola bilangan : Tentukan bilangan berikutnya dari barisan belangan berikut ini : a. 100, 4, 90, 7, 80, … b. 5, 7, 10, 12, 15, …. c. 2, 4, 6, 8, 10, 8, …. d. 9, 5, 1, 2, 10, 6, 2, 3, 11, 7, …. e. 1, 9, 2, 3, 9, 4, 5, 9, ….

3. Amatilah suku-suku dalam barisan berikut, Kemudian, tentukan suatu aturan rumus untuk suku ke-n dari barisan tersebut : a. 1, 3, 9, 27, … b. 2, 5, 10, 17, 26, …. c. 2, 6, 12, 30, …. 4. Tuliskan lima suku pertama dari masing barisan aritmatika berikut : a. U 1=4, dan b= b. U 1=5, dan b = 20 5. Gunakan suku umum berikut ini untuk menulis lima suku barisan : a. Un=14+3 n b. Un = 3, 2 -0, 2 n

6. 7. 8. 9. Tentukan nilai n dari barian berikut ini : a. Un = 27, 9 dan Un = 6, 9 + 1, 4 n b. Un = 63/4 dan Un = (23/4)+1/2(n) Tentukanlah nilai dari suku pertama dan beda dari barisan aritmatika berikut : a. U 20 = 42 dan U 10 = 32 b. U 3 = 5 dan U 8 = -5 Tentukanlah jumlah n suku pertama dari setiap deret aritmatika berikut : a. n = 18 ; U 1 = 40 ; dan b = -7 b. n = 20 ; U 1 = 100 ; dan b = -1 Tentukanlah jumlah n suku pertama dari setiap deret aritmatika berikut : a. n = 16 ; 3+7++11+… b. n = 10 ; -8+(-4)+0+…

10. Tentukanlah jumlah suku dari barisan berikut : a. 1+3+5+7+…=1156 b. 9+15+21+…=1518 11. Hitunglah jumlah dari : a. Semua bilangan bulat positip diantara 200 dan 600 yang habis dibagi 4. b. Semua bilangan bulat positip diantara 1000 dan 1600 yang habis dibagi 3 12. Tentukan Jumlah semua bilangan asli yang terdiri atas 2 angka dan habis dibagi 5