Barisan dan Deret Tak Hingga Matematika Teknik II

Barisan dan Deret Tak Hingga Matematika Teknik II Tri Rahajoeningroem, MT T. Elektro - UNIKOM 1

Kegunaan Baris dan Deret Di bidang bisnis dan ekonomi, teori atau prinsip-prinsip deret sering diterapkan dalam kasus-kasus yang menyangkut perkembangan dan pertumbuhan. Apabila perkembangan atau pertumbuhan suatu gejala tertentu berpola seperti perubahan nilai-nilai suku sebuah deret, baik deret aritmatik ataupun deret geometri, maka teori deret yang relevan dapat diterapkan untuk menganalisisnya. Model perkembangan usaha merupakan penerapan teori Baris dan Deret. Perkembangan usaha yang dimaksud adalah sejauh usaha-usaha yang pertumbuhannya konstan dari waktu ke waktu mengikuti perubahan baris aritmatik. Jika perkembangan variabel-variabel tertentu dalam kegiatan usaha misalnya produksi, biaya, pendapatan, penggunaan tenaga kerja, atau penanaman modal yang berpola seperti deret geometri, maka prinsip-prsinsip deret hitung dapat digunakan untuk menganalisis perkembangan variable tersebut.

Barisan Tak Hingga Secara sederhana, barisan merupakan susunan dari bilangan−bilangan yang urutannya berdasarkan bilangan asli. Suatu barisan yang terdiri dari n suku biasanya dinyatakan dalam bentuk a 1, a 2, …, an. a 1 menyatakan suku ke– 1, a 2 menyatakan suku ke– 2 dan an menyatakan suku ke–n. Barisan tak hingga didefinisikan sebagai suatu fungsi real di mana daerah asalnya adalah bilangan asli. Notasi barisan tak hingga adalah 3

Barisan Tak Hingga Contoh − contoh barisan Bisa dituliskan dengan rumus Barisan Bisa dituliskan dengan rumus Penentuan an tidak memiliki aturan khusus dan hanya bersifat coba –coba. 4

Kekonvergenan barisan tak hingga Suatu barisan tak hingga dikatakan konvergen menuju L, bila atau {untuk setiap epsilon positif terdapat N positif sedemikian hingga untuk n lebih besar atau sama dengan N, selisih antara dan L akan kurang epsilon} 5

Kekonvergenan barisan tak hingga Contoh 1 Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut Jawaban Karena maka divergen 6

Kekonvergenan barisan tak hingga Contoh 2 Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut Jawaban Karena merupakan bentuk tak tentu maka untuk menyelesaikannya digunakan teorema berikut : Misal , bila maka untuk x R. 7

Kekonvergenan barisan tak hingga Jawaban (lanjutan) Jadi dan dengan menggunakan dalil L’hopital maka Berdasarkan teorema maka . Karena nilai limitnya menuju 0, maka Konvergen menuju 0. 8

Kekonvergenan barisan tak hingga Contoh 3 Tentukan kekonvergenan dari barisan berikut Jawaban Bentuk dari suku −suku barisannya merupakan bentuk ganti tanda akibat dari nilai cos n , untuk n ganjil tandanya − , untuk n genap tandanya +. Nilai tidak ada tetapi minimal bernilai – 1 dan maksimal bernilai 1. Sedangkan akibatnya untuk n nilai , akan mendekati nol. Jadi deret konvergen menuju 0. 9

Sifat – sifat barisan Misal {an} dan {bn} barisan-barisan yang konvergen, dan k suatu konstanta, maka 1. 2. 3. 4. 5. 10

Barisan Monoton Kemonotonan barisan {an} dapat dikelompokkan menjadi 4 macam : 1. Monoton naik bila 2. Monoton turun bila 3. Monoton tidak turun bila 4. Monoton tidak naik bila 11

Deret Tak Hingga Deret tak hingga merupakan jumlahan dari a 1+a 2+…+an. Notasi deret tak hingga adalah yaitu. Kekonvergenan suatu deret dapat di ketahui dari kekonvergenan barisan jumlahan parsial yaitu , , dimana : Dan 12

Deret Tak Hingga Contoh Selidiki apakah deret konvergen ? Jawaban Karena , maka adalah deret konvergen yaitu konvergen menuju 1. Penentuan Sn dari suatu deret juga tidak memiliki aturan khusus dan bersifat coba – coba. 13

Deret Suku Positif Sebuah disebut deret suku positif, bila semua suku-sukunya positif. Berikut ini adalah deret suku positif yang sering digunakan : 1. Deret geometri 2. Deret harmonis 3. Deret-p Deret–p akan dibahas secara khusus dalam uji integral 14

Deret Suku Positif Deret geometri Bentuk umum : Proses menentukan rumusan Sn adalah sebagai berikut : Dari rumusan tersebut diperoleh bahwa sehingga. untuk r 1. Kekonvergenan dari deret geometri bergantung pada nilai r. 15

Deret Suku Positif Deret geometri(lanjutan) Ada 3 kasus nilai r yang akan menentukan kekonvergenan deret geometri : Bila r = 1, maka Sn= na sehingga , sehingga deret divergen Bila | r |<1, maka , sehingga deret konvergen ke Bila | r | >1, maka , sehingga deret divergen 16

Deret Suku Positif Deret harmonis Bentuk umum : Untuk menentukan kekonvergenan, dapat diketahui dari nilai limit dari Sn nya, yaitu 17

Deret Suku Positif Deret harmonis (lanjutan) Karena, maka . Sehingga deret harmonis divergen. 18

Kedivergenan Deret Tak Hingga Bila deret konvergen, maka . kontraposisinya (pernyataan lain yang sesuai ) adalah Bila , maka deret akan divergen. Bila dalam perhitungan limit an–nya diperoleh nol, maka deret belum tentu konvergen, sehingga perlu dilakukan pengujian deret dengan uji-uji deret positif. 19

Kedivergenan Deret Tak Hingga Contoh Periksa apakah konvergen ? Jawaban Jadi divergen 20

BARISAN DERET ARITMETIKA Matematika Teknik II Tri Rahajoeningroem, MT T Elektro - UNIKOM

Barisan Tak Hingga Secara sederhana, barisan merupakan susunan dari bilangan−bilangan yang urutannya berdasarkan bilangan asli. Suatu barisan yang terdiri dari n suku biasanya dinyatakan dalam bentuk a 1, a 2, …, an. a 1 menyatakan suku ke– 1, a 2 menyatakan suku ke– 2 dan an menyatakan suku ke–n. Barisan tak hingga didefinisikan sebagai suatu fungsi real di mana daerah asalnya adalah bilangan asli. Notasi barisan tak hingga adalah 22

Deret Tak Hingga Deret tak hingga merupakan jumlahan dari a 1+a 2+…+an. Notasi deret tak hingga adalah yaitu. Kekonvergenan suatu deret dapat di ketahui dari kekonvergenan barisan jumlahan parsial yaitu , , dimana : Dan 23

A. Barisan Aritmetika Definisi Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan). Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b. Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini. a. 1, 4, 7, 10, 13, . . . b. 2, 8, 14, 20, . . . Barisan Aritmetika c. 30, 25, 20, 15, . . .

Contoh : a. 1, 4, 7, 10, 13, . . . +3 +3 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b =3. b. 2, 8, 14, 20, . . . +6 +6 +6 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

c. 30, 25, 20, 15, . . . – 5 – 5 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah – 5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya – 5 atau b = – 5. Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut. Jika Un adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku b = Un – Un-1 Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U ) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut.

U U U = = = a U U + b = a + b = (a + b) + b = a + 2 b + b = (a + 2 b) + b = a + 3 b + b = (a + 3 b) + b = a + 4 b . . . U = U + b = a + (n – 1)b Jadi, rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Keterangan: Un = suku ke-n Un = a + (n – 1)b a = suku pertama b = beda n = banyak suku

Contoh 1 : Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan – 3, 2, 7, 12, . . Jawab: – 3, 2, 7, 12, … Suku pertama adalah a = – 3 dan bedanya b = 2 – (– 3) = 5. Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh : U = – 3 + (n – 1)5. Suku ke-8 : U = – 3 + (8 – 1)5 = 32. Suku ke-20 : U = – 3 + (20 – 1)5 = 92.

Contoh 2 : Diketahui barisan aritmetika – 2, 1, 4, 7, . . . , 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut. Jawab: Diketahui barisan aritmetika – 2, 1, 4, 7, . . . , 40. Dari barisan tersebut, diperoleh a = – 2, b = 1 – (– 2) = 3, dan U = 40. Rumus suku ke-n adalah U = a + (n – 1)b sehingga; 40 = – 2 + (n – 1)3 40 = 3 n – 5 3 n = 45 Karena 3 n = 45, diperoleh n = 15. Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.

Latihan

Jawaban

Jawaban

Jawaban

B. Deret Aritmetika Definisi Misalkan U 1, U 2, U 3, . . . , Un merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika. U 1 + U 2 + U 3 +. . . + Un disebut deret aritmetika, dengan Un = a + (n – 1)b. Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan S. Dengan demikian, S = U 1 + U 2 + U 3 +. . . + U. Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus S , perhatikan contoh berikut :

Contoh 1 : Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut. Jawab: Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat dituliskansebagai berikut. S = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 S = 14 + 11 + 8 + 5 + 2 2 S = 16 + 16 2 S = 5 x 16 S = 40 Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.

Menentukan rumus umum untuk S sebagai berikut. Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalah U = a + (n – 1)b. Oleh karena itu, U=a =a U = a + b = U – (a – 2)b U = a + 2 b = U – (n – 3)b. . U = a + (n – 1)b = U

Dengan demikian, diperoleh ; S = a + (a + b) + (a + 2 b) +. . . + (a + (n – 1)b) = a + (U – (n – 2) b) + (U – (n – 3) b) +. . . + U. . . (1) Dapat pula dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya. U = U – b = U – 2 b U = U – b = U – 3 b Demikian seterusnya sehingga S dapat dituliskan S = a + (U – (n – 1)b) + … + (U – 2 b) + (U – b) + U. . (2)

Dari persamaan 1 dan 2 jika kita jumlahkan, diperoleh ; S = a + (U – (n – 2)b) + (U – (n – 3)b) +. . . +U S = U + (U – b) + (U – 2 b) +. . . + a 2 S = (a + U ) +. . . + (a + U ) n suku Dengan demikian, 2 S = n(a + U ) S = n(a + (n – 1)b)) S = n(2 a + (n – 1)b)

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Sn = 1/2 n(a + U) atau Sn =1/2 n [2 a + (n – 1)b] Keterangan: S = jumlah n suku pertama a = suku pertama b = beda U = suku ke-n n = banyak suku

Contoh 2: Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 +. . Jawab: Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100. S = x 100 {2(2) + (100 – 1)2} = 50 {4 + 198} = 50 (202) = 10. 100 Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah 10. 100.

Contoh 3: Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100. Jawab: Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, . . . , 99 sehingga diperoleh a = 3, b = 3, dan U = 99. Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ; U = a + (n – 1)b 99 = 3 + (n – 1)3 3 n = 99 n = 33 Jumlah dari deret tersebut adalah

S = n (a + U ) S = x 33(3 + 99) = 1. 683 Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 1. 683

Latihan

Jawaban

Jawaban

Jawaban

BARISAN DERET GEOMETRI Tri Rahajoeningroem, MT Teknik Elektro - UNIKOM

MATERI POKOK / URAIAN MATERI BARISAN DERET GEOMETRI SUKU KE n BARISAN DERET GEOMETRI SISIPAN SUKU TENGAH JUMLAH n SUKU DERET GEOMETRI TAK HINGGA MODEL MATEMATIKA DARI MASALAH SOLUSI DARI MASALAH MATEMATIKA

Outcome MENENTUKAN SUKU KE – n BARISAN DAN JUMLAH n SUKU DERET GEOMETRI MERANCANG MODEL MATEMATIKA DARI MASALAH YANG BERKAITAN DENGAN DERET MENYELESAIKAN MODEL MATEMATIKA YANG BERKAITAN DENGAN DERET DAN PENAFSIRANNYA MENGGUNAKAN KONSEP BARISAN DERET GEOMETRI DALAM PEMECAHAN MASALAH

BARISAN GEOMETRI Pengertian Barisan Geometri adalah barisan bilangan yang memiliki rasio konstan rasio : perbandingan antara 2 suku berurutan U 1, U 2, U 3, U 4, U 5, … Un,

r = rasio = perbandingan 2 suku yang berdekatan = Un / Un-1 a = U 1 = Suku = bilangan pada urutan pertama Un = Suku ke-n = bilangan pada urutan ke-n =

Pembuktian U 1, U 2, U 3, U 4, U 5, … Un, Jika U 1 = a U 2 = ar U 3 = ar 2 U 4 = ar 3 …. Maka Un = ar n-1

Contoh soal 1 Suku ke lima dan suku kedua dari suatu barisan geometri adalah 96 dan 12. Nilai suku ke 8 adalah …. A. 768 B. 512 C. 256 D. 6 E. 2

U 5 = ar 4 U 2 = ar = 96 = 12 ar 4 = 96 ar = 12 U 2 = ar = 12 a. 2 = 12 a = 6 U 8 = a. r 7 = 6. 27 = 768 r 3 =8 r=2

Suku tengah barisan geometri dapat dilihat berikut ini : U 1, U 2, U 3, maka suku tengahnya U 2, U 2 =

Lanjutan : • U 1, U 2, U 3, U 4, U 5, maka suku tengahnya U 3, • U 3 =

Lanjutan : • Dengan cara yang sama jika U 1, U 2, U 3, U 4, … Uk • Dengan k adalah ganjil maka suku tengahnya • Ut = dengan k = ganjil Ut = suku tengah Uk = suku ke – k (terakhir)

DERET GEOMETRI Andaikan U 1, U 2, U 3, …, Un merupakan suku-suku barisan Geometri, maka U 1 + U 2 + U 3 + … + U n disebut deret geometri. Andaikan jumlah n suku pertama deret tersebut Sn maka : (Sn)

Pembuktian S n = U 1 + U 2 + U 3 + … + U n Sn = a + ar 2 + … + arn-1 r. Sn = r. (a + ar 2 + … + arn-1) - Sn – r. Sn = a - arn (1 – r). Sn = a(1 – rn) atau

Sn = Jumlah n buah suku pertama sampai dengan suku ke-n = U 1 + U 2 + U 3 +. . . + Un r = rasio = perbandingan 2 suku yang berdekatan = Un / Un-1 a = U 1 = Suku = bilangan pada urutan pertama Jumlah

Contoh soal 2 Tentukan jumlah 10 suku pertama deret geometri 2, 4, 8, ….

Contoh soal 3 Kertas yang dibutuhkan Andi untuk menggambar setiap minggu berjumlah 2 kali lipat dari minggu sebelumnya. Jika minggu pertama Andi membutuhkan 20 kertas. Banyak kertas yang dipergunakan selama 6 minggu adalah … A. 1260 B. 310 C. 256 D. 64 E. 20

Dik. U 1 r =a = 20 =2 Dit S 6 = a. rn -1 = 20. 26 – 1= 1260 r -1 2 -1 Jumlah selama 6 minggu = 1260 lembar

DERET GEOMETRI TAK HINGGA

PEMBUKTIAN Dari rumus jumlah deret geometri apabila n mendekati tak hingga, maka diperoleh atau

Contoh soal 4 Jumlah tak hingga dari sebuah deret geometri tak hingga adalah 36. Jika suku pertama 24. Besar suku rasionya adalah …. A. 3 B. 2 C. 0 D. ½ E. 1/3

Jawab Dik. S~ a Dit : r = 36 = 24 = 36(1 – r) 36 -36 r r = 24 – 36 = -12 = 1/3

Latihan Jumlah suku ke-n suatu barisan ditentukan dengan rumus n 2 + n. Nilai suku ke-10 adalah …

Sn = n 2 + n Dit U 10 = S 10 – s 9 = (102 + 10) – (92 + 9) = 110 – 90 = 20

PENERAPAN KONSEP BARISAN DERET

Kaidah barisan deret dapat digunakan untuk memudahkan penyelesaian perhitungan, misalnya bunga bank, kenaikan produksi, dan laba/rugi suatu usaha. Untuk menyelesaikan persoalan tersebut, kita harus dapat membedakan apakah persoalan tersebut termasuk barisan aritmetika, barisan geometri, deret aritmetika ataupun deret geometri. Kemudian, kita dapat menyelesaikan persoalan tersebut menggunakan rumus-rumus yang berlaku.

Latihan 1. Ketika awal bekerja, seorang karyawan sebuah perusahaan digaji Rp 700. 000, 00 per bulan. Setahun berikutnya, gaji per bulannya akan naik sebesar Rp 125. 000, 00. Demikian seterusnya untuk tahun-tahun berikutnya. Berapa gaji karyawan itu per bulan untuk masa kerjanya sampai pada tahun ke-9? 2. Setiap awal bulan Nyoman menabung Rp 50. 000, 00 di suatu bank yang memberikan bunga 1% per bulan. Pada tiap akhir bulan, bunganya ditambahkan pada tabungannya. Berapakah uang Nyoman di bank itu pada akhir tahun ke-1 jika ia tidak pernah mengambil tabungannya sampai akhir tahun ke-1? 3. Harga sebuah barang setiap tahun menyusut 20%. Jika harga pembelian barang tersebut Rp 40. 000. Harga pada tahunke 4 adalah?

Jawaban Latihan 1: Ketika awal bekerja, seorang karyawan sebuah perusahaan digaji Rp 700. 000, 00 per bulan. Setahun berikutnya, gaji per bulannya akan naik sebesar Rp 125. 000, 00. Demikian seterusnya untuk tahun-tahun berikutnya. Berapa gaji karyawan itu per bulan untuk masa kerjanya sampai pada tahun ke-9? Jawab: Kasus ini adalah aplikasi dari barisan aritmetika. Suku awal a = 700. 000 Beda b = 125. 000 n=9

Jadi suku ke-9, dapat ditentukan sebagai berikut. U = a + (n – 1)b U = 700. 000 + (9 – 1) 125. 000 = 700. 000 + 1. 000 = 1. 700. 000 Jadi, gaji per bulan karyawan itu pada tahun ke-9 adalah Rp 1. 700. 000, 00.

Jawaban Latihan 2: Setiap awal bulan Nyoman menabung Rp 50. 000, 00 di suatu bank yang memberikan bunga 1% per bulan. Pada tiap akhir bulan, bunganya ditambahkan pada tabungannya. Berapakah uang Nyoman di bank itu pada akhir tahun ke-1 jika ia tidak pernah mengambil tabungannya sampai akhir tahun ke-1? Jawab: Misalkan tabungan awal adalah Rp 50. 000, 00. Pada akhir bulan ke-1 Jumlah uang Nyoman adalah sebagai berikut ; Bunga yang ia peroleh = 50. 000 × 1% = 50. 000 × 0, 01 Jumlah uang Nyoman = 50. 000 + (50. 000 × 0, 01) = 50. 000(1 + 0, 01) = 50. 000(1, 01)

Pada akhir bulan ke-2 Uang yang sudah dimasukkan sejak bulan ke-1 adalah jumlah uang pada akhir bulan ke-1 ditambah bunga sehingga diperoleh ; = 50. 000(1, 01) + (50. 000(1, 01) × 1%) = 50. 000(1, 01)(1 + 0, 01) = 50. 000(1, 01) Uang yang dimasukkan pada awal bulan ke-2 menjadi =50. 000 + (50. 000 × 1%) = 50. 000(1 + 0, 01) = 50. 000(1, 01) Jadi, jumlah uang Nyoman pada akhir bulan ke-2 adalah 50. 000(1, 01) + 50. 000(1, 01).

Pada akhir bulan ke-3 Uang yang sudah dimasukkan sejak bulan ke-1 adalah 50. 000(1, 01) + (50. 000(1, 01) × 1%) = 50. 000(1, 01) (1 + 0, 01) = 50. 000(1, 01) Uang yang dimasukkan pada awal bulan ke-2 menjadi 50. 000(1, 01) + (50. 000(1, 01) × 1%) = 50. 000(1, 01)(1 + 0, 01) = 50. 000(1, 01) Uang yang sudah dimasukkan pada awal bulan ke-3 menjadi 50. 000 + (50. 000 × 1%) = 50. 000(1 + 1%) = 50. 000(1, 01)

Jadi, jumlah uang Nyoman pada akhir bulan ke-3 adalah 50. 000(1, 01) + 50. 000(1, 01) Demikian seterusnya, sampai akhir bulan ke-12. Dari hasil perhitungan sampai bulan ke-3, dapat disimpulkan bahwa jumlah uang tabungan Nyoman adalah 50. 000(1, 01) + 50. 000(1, 01)2 + 50. 000(1, 01)3 +. . . + 50. 000(1, 01)12 = 50. 000{1, 01 + (1, 01)2 + (1, 01)3 +. . . + (1, 01)12} Deret 1, 01 + (1, 01)2 +. . . + (1, 01)12 merupakan deret geometri dengan a = 1, 01, r = 1, 01, dan n = 12. S ==

= = 12, 83 Oleh karena itu, jumlah uang Nyoman setelah 1 tahun adalah 50. 000 {1, 01 + (1, 01)2 +. . . + (1, 01)12} = 50. 000 × 12, 83 = 641. 500 Jadi, jumlah uang Nyoman setelah 1 tahun adalah Rp 641. 500, 00.

Jawaban Latihan 3: Seorang karyawan menerima gaji pertama sebesar Rp 100. 000, setiap tiga bulan gajinya naik Rp 50. 000. Gaji yang telah diterima karyawan tersebut selama 2 tahun adalah. .

U 1 100. 000 + 100. 000 300. 000 U 2 150. 000+150. 000 =450. 000 U 3 200. 000+200. 000 + 200. 000 600. 000 Dst a = 300. 000 b = 150. 000 n = 2*12/3 = 8 Sn = 8/2 {2 x 300. 000 + 7 x 150. 000) = Rp 6. 600. 000 = =

Latihan 2 Harga sebuah barang setiap tahun menyusut 20%. Jika harga pembelian barang tersebut Rp 40. 000. Harga pada tahunke-4 adalah ….

a = 40. 000 r = 100% - 20% = 80% = 0, 8 U 4 = a. r 3 = 40. 000 *0, 83 = Rp 20. 480. 000