Barisan dan Deret Barisan adalah suatu susunan bilangan

Barisan dan Deret

Barisan adalah suatu susunan bilangan yang dibentuk menurut suatu urutan tertentu. Notasi : a n Contoh: a 1, a 2, a 3, a 4, a 5, a 6

A. Barisan Aritmetika �Definisi Barisan aritmetika adalah suatu barisan bilangan yang selisih setiap dua suku berturutan selalu merupakan bilangan tetap (konstan). �Bilangan yang tetap tersebut disebut beda dan dilambangkan dengan b. �Perhatikan juga barisan-barisan bilangan berikut ini. a. 1, 4, 7, 10, 13, . . . b. 2, 8, 14, 20, . . . Barisan Aritmetika c. 30, 25, 20, 15, . . .

Contoh : a. 1, 4, 7, 10, 13, . . . +3 +3 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 3. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 3 atau b =3. b. 2, 8, 14, 20, . . . +6 +6 +6 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah 6. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya 6 atau b = 6.

c. 30, 25, 20, 15, . . . – 5 – 5 Pada barisan ini, suku berikutnya diperoleh dari suku sebelumnya ditambah – 5. Dapat dikatakan bahwa beda sukunya – 5 atau b = – 5. Secara umum dapat dikatakan sebagai berikut. Jika Un adalah suku ke-n dari suatu barisan aritmetika maka berlaku b = U n – 1. Rumus umum suku ke-n barisan aritmetika dengan suku pertama (U ) dilambangkan dengan a dan beda dengan b dapat ditentukan seperti berikut.

U 1 U 2 U 3 U 4 U 5. . . Un Jadi, = = = a U 1 U 2 U 3 U 4 + b = a + b = (a + b) + b = a + 2 b + b = (a + 2 b) + b = a + 3 b + b = (a + 3 b) + b = a + 4 b = Un-1 + b = a + (n – 1)b rumus suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Keterangan: Un = suku ke-n a = suku pertama Un = a + (n – 1)b b = beda n = banyak suku

Contoh 1 : Tentukan suku ke-8 dan ke-20 dari barisan – 3, 2, 7, 12, . . Jawab: – 3, 2, 7, 12, … Suku pertama adalah a = – 3 dan bedanya b = 2 – (– 3) = 5. Dengan menyubstitusikan a dan b, diperoleh : Un = – 3 + (n – 1)5. Suku ke-8 : U 8 = – 3 + (8 – 1)5 = 32. Suku ke-20 : U 20 = – 3 + (20 – 1)5 = 92.

Contoh 2 : Diketahui barisan aritmetika – 2, 1, 4, 7, . . . , 40. Tentukan banyak suku barisan tersebut. Jawab: Diketahui barisan aritmetika – 2, 1, 4, 7, . . . , 40. Dari barisan tersebut, diperoleh a = – 2, b = 1 – (– 2) = 3, dan Un = 40. Rumus suku ke-n adalah Un = a + (n – 1)b sehingga; 40 = – 2 + (n – 1)3 40 = 3 n – 5 3 n = 45 Karena 3 n = 45, diperoleh n = 15. Jadi, banyaknya suku dari barisan di atas adalah 15.

B. Deret Aritmetika Definisi Misalkan U 1, U 2, U 3, . . . , Un merupakan suku-suku dari suatu barisan aritmetika. Dn = U 1 + U 2 + U 3 +. . . + Undisebut deret aritmetika, dengan Un = a + (n – 1)b. Deret aritmetika adalah jumlah n suku pertama barisan aritmetika. Jumlah n suku pertama dari suatu barisan bilangan dinotasikan D. Dengan demikian, Dn = U 1 + U 2 + U 3 +. . . + Un. Untuk memahami langkah-langkah menentukan rumus Dn , perhatikan contoh berikut :

Contoh 1 : Diketahui suatu barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14. Tentukan jumlah kelima suku barisan tersebut. Jawab: Jumlah kelima suku 2, 5, 8, 11, 14 dapat dituliskansebagai berikut. D 5 = 2 + 5 + 8 + 11 + 14 D 5 = 14 + 11 + 8 + 5 + 2 2 D 5 = 16 + 16 2 D 5 = 5 x 16 D 5 = 40 Jadi, jumlah kelima suku barisan tersebut adalah 40.

Menentukan rumus umum untuk D sebagai berikut. Diketahui rumus umum suku ke-n dari barisan aritmetika adalah Dn = U 1 + U 2 + U 3 + …+Un-2 + Un-1 + Un. Dapat dinyatakan bahwa besar setiap suku adalah b kurang dari suku berikutnya. Un-1 = Un – b Un-2 = Un-1 – b = Un – 2 b Un-3 = Un-2 – b = Un – 3 b Demikian seterusnya sehingga Dn dapat dituliskan Dn= a + (a + b ) + (a + 2 b ) + …+ (Un-2 b) + (Un-b) + Un…(1)

Persamaan 1 dapat ditulis dengan urutan terbalik sebagai berikut: Dn= Un+ (Un – b)+(Un – 2 b)+. . . +(a+2 b)+(a+b)+a …(2) Jumlahkan Persamaan (1) dan (2) didapatkan Dn= a + (a + b ) + (a + 2 b ) + …+ (Un-2 b) + (Un-b) + Un Dn= Un+ (Un – b)+(Un – 2 b)+. . . +(a+2 b)+(a+b)+a 2 Dn = (a + Un ) + (a + Un )+ (a + Un) +. . . + (a + Un) n suku Dengan demikian, Dn = (1/2) 2 Dn = n(a + Un ) n(a + (n – 1)b)) n(2 a + (n – 1)b)

Jadi, rumus umum jumlah n suku pertama deret aritmetika adalah Dn = (1/2) n(a + Un ) Dn = (1/2) n(2 a + (n – 1)b) Keterangan: Dn = jumlah n suku pertama a = suku pertama b = beda Un = suku ke-n n = banyak suku

Contoh 2: Carilah jumlah 100 suku pertama dari deret 2 + 4 + 6 + 8 +. . Jawab: Diketahui bahwa a = 2, b = 4 – 2 = 2, dan n = 100. D 100 = x 100 {2(2) + (100 – 1)2} = 50 {4 + 198} = 50 (202) = 10. 100 Jadi, jumlah 100 suku pertama dari deret tersebut adalah 10. 100.

Contoh 3: Hitunglah jumlah semua bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100. Jawab: Bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 3, 6, 9, 12, . . . , 99 sehingga diperoleh a = 3, b = 3, dan Un = 99. Terlebih dahulu kita cari n sebagai berikut ; Un = a + (n – 1)b 99 = 3 + (n – 1)3 3 n = 99 n = 33 Jumlah dari deret tersebut adalah

Dn D 33 = = n (a + U ) x 33(3 + 99) = 1. 683 Jadi, jumlah bilangan asli kelipatan 3 yang kurang dari 100 adalah 1. 683

Soal – soal 1. Carilah suku ke – 20 dari barisan aritmatika, 3, 8, 13, 18, … 2. Carilah suku ke – 27 pada setiap barisan aritmatika berikut ini : a. 3, 7, 11, … b. 15, 13, 11, 9, … c. -8, -4, 0, 4, … d. -6, -1, 4, 9, … 3. Suku ke -3 dan suku ke -16 dari barisan aritmatika adalah 13 dan 78. Tentukanlah suku pertama dan bedanya. Berapakah Un dan Dn 4. Terdapat 60 suku dalam barisan aritmatika yang mana suku pertama adalah 9 dan suku terakhir adalah 27. Tentukan Un dan Dn

5. Carilah jumlah dari a. 40 bilangan bulat positif ganjil yang pertama b. 25 bilangan bulat positif genap yang pertama c. 60 bilangan bulat positif yang pertama

C. Barisan Geometri DEFINISI: • Barisan geometri adalah suatu barisan dengan pembanding (rasio) antara dua suku yang berurutan selalu tetap. • Bentuk umum U 1, U 2, U 3, …, Un atau a, ar 2, …, arn-1

Bentuk umum: U 1, U 2, U 3, …, Un atau a, ar 2, …, arn-1 � Jika diketahui suatu barisan geometri U 1, U 2, …, Un dan dimisalkan U 1 = a dengan rasionya r maka dapat ditulis: U 1 = a U 2= U 1. r = ar 2 -1 U 3= U 2. r = (ar) r = ar 2 = ar 3 -1 : Un = a. r. r…r = arn-1

Rumus suku ke-n barisan geometri Misalkan terdapat suatu barisan geometri U 1, U 2, …, Un maka rumus umum suku ke-n dengan suku pertamanya a dan rasionya r adalah : Un = ar n-1 pada barisan geometri, berlaku

Contoh Soal 1. Suku ketiga dan suku keenam dari suatu barisan geometri berturut-turut adalah 32 dan 2. 048. Tentukan suku pertama dan rasio deret geometri itu ! Jawab : U 3 = 32 U 6 = 2048 32 r 3=2048 r 3=64 r=4 Misal : U 3 = a. r 2 32 = a. 42 a=2

2. 3 buah bilangan a, b, dan c membentuk barisan geometri. Tunjukan bahwa sama dengan Jawab :

3. Suku pertama sebuah barisan geometri adalah , sedangkan suku keempatnya sama dengan. Tentukan rasio dan suku ke-enambelas dari barisan itu ! Jawab : = U 4 = a. r 3 = r = =

4. Tentukan nilai rasio dari barisan geometri yang terbentuk pada : a. Bilangan-bilangan di antara ¼ dan 8, disisipkan sebanyak 4 buah bilangan. b. Bilangan-bilangan di antara 2 dan 162, disisipkan sebanyak 3 buah bilangan, Jawab : a) x = ¼ , y = 8, dan k = 4(genap), maka nilai r hanya ada 1 kemungkinan :

b) x = 2, y = 162, dan k = 3 (ganjil), maka nilai r ada 2 kemungkinan : r = +3 atau r = -3 Jadi, nilai rasio dari barisan geometri yang terbentuk adalah r =3 atau r = -3. Untuk r = 3, barisan geometri yang terbentuk 2, 6, 18, 54, 162, sedangkan untuk r = -3, barisan geometri yang terbentuk adalah 2 , -6, 18, -54, 162.

Soal 1. Suku ke-5 barisan geometri adalah 243, hasil bagi suku ke-9 dengan ke-6 adalah 27. Suku ke-2 adalah. . . a. 3 c. 7 e. 12 b. 5 d. 9 2. Jika k + 3, 5 k - 9, 11 k + 9 membentuk barisan geometri, maka jumlah semua nilai k yang memenuhi adalah. . . a. 66/4 c. 66/7 e. 66/11 b. 66/5 d. 66/10

3. Suku – suku barisan geometri tak hingga adalah positif, jumlah suku U 1 + U 2 = 45 dan U 3 + U 4 = 20, maka jumlah suku barisan itu adalah. . . a. 65 c. 90 e. 150 b. 81 d. 135 4. Suatu tali dibagi menjadi tujuh bagian dengan panjang yang membentuk suatu barisan geometri. Jika yang paling pendek adalah 3 cm dan yang paling panjang 192 cm, maka panjang tali semula sama dengan. . . a. 379 b. 383 e. 387 b. 381 d. 385

5. Jika suku pertama barisan geometri adalah 3 dan suku ke-6 adalah 96, maka 3072 merupakan suku ke. . a. 9 c. 11 e. 13 b. 10 d. 12 6. Diketahui a dan b adalah akar – akar persamaan x 2 – 2 x + k = 0 dan a – 5/2, a + b, a + 5 merupakan barisan geometri dengan suku – suku positif. Nilai k =. . . a. -3 c. 2 e. 6 b. -2 d. 3 7. Jika suku pertama dan keempat barisan geometri berturut – turut a 1/2 dan a 3 x+1/2 sedang suku kesepuluh sama dengan a 91/2 maka nilai x adalah. . . a. 25 c. 5 e. 15 b. -5 d. 16

8. Dalam suatu barisan geometri U 1 + U 3 = p dan U 2 + U 4 = q maka U 4 =. . . a. p 3/ ( p 2 + q 2 ) c. ( p 3 + q 3 ) / ( p 2 + q 2 ) e. q 2 / ( p 2 + q 2 ) b. q 3 / ( p 2 + q 2 ) d. p 2 / ( p 2 + q 2 ) 9. Diketahui x 1 dan x 2 adalah akar – akar positif persamaan kuadrat x 2 + ax + b = 0. Jika 12, x 1, x 2 adalah tiga suku pertama barisan aritmatika dan x 1, x 2, 4 adalah tiga suku pertama barisan geometri, maka diskriminan persamaan kuadrat tersebut adalah. . . a. 6 c. 15 e. 54 b. 9 d. 30

10. Tiga bilangan positif membentuk barisan geometri dengan rasio r > 1. Jika suku tengah ditambah 4, maka terbentuk sebuah barisan aritmetika yang jumlahnya 30. Hasil kali ketiga bilangan ini adalah. . . a. 64 c. 216 e. 1000 b. 125 d. 343

4. DERET GEOMETRI BENTUK UMUM DERET GEOMETRI

CONTOH 1

JAWAB

CONTOH 2

JAWAB

5. SISIPAN CONTOH : Antara dua suku yang berurutan pada barisan 3, 18, 33, … disisipkan 4 buah bilangan sehingga Berbentuk barisan Aritmetika yang baru. Jumlah 7 suku pertama dari barisan yang terbentuk Adalah…. . A. 78 D. 87 B. 81 E. 91 C. 84

PEMBAHASAN 3, Yang disisipkan , , 18 a=3

6. DERET GEOMETRI TAK HINGGA Jika deret itu Konvergen maka gunakan rumus -1 < r < 1 Jika yang ditanyakan Jumlahnya gunakan rumus

CONTOH 1 Sebuah bola tenis dijatuhkan kelantai dari tem pat yang tingginya 1 meter. Setiap kali setelah Bola itu memantul, ia mencapai ketinggian yang sama dengan duapertida dari tinggi yang dicapai nya sebelum pantulan terakhir. Panjang lintasan Bola itu sampai ia berhenti adalah…. . A. 2 m D. ~ B. 3 m E. Semua salah C. 5 m

Soal Jika ada tiga buah bilangan. Tiga buah bilangan tersebut berurutan yang berjumlah 12 dan merupakan suku-suku deret aritmatika. Jika bilangan yang ketiga ditambah 2, maka diperoleh deret geometri. Hasil kali ketiga bilangan tersebut adalah? a. 0 atau 24 b. 0 atau 48 c. 12 atau 24 d. 24 atau 36 e. 36 atau 48

Sebuah tali dibagi menjadi 6 bagian yang panjangnya membentuk suatu barisan geometri. Jika tali yang paling pendek adalah 3 cm dan yang paling panjang 96 cm maka panjang tali semula adalah a. 183 cm b. 185 cm c. 187 cm d. 189 cm e. 191 cm

Suku ke-n suatu deret geometri adalah 4 -n. Maka jumlah tak hingga deret tersebut sama dengan a. 3 b. 2 c. 1 d. 1/2 e. 1/3