Bari 240907 UMI Bari 240907 STRUTTURE COMPLESSE e

Bari 24/09/07 UMI, Bari 24/09/07 STRUTTURE COMPLESSE e GEOMETRIA CONFORME Simon Salamon http: //calvino. polito. it/~salamon

Bari 24/09/07 Org oppure Geometria Hermitiana conformemente piatta

Bari 24/09/07 oppure Geometria Hermitiana senza tantissimi tensori

Bari 24/09/07 Il caso classico: dimensione 2 Strutture complesse ortogonali Il caso Euclideo: dimensione 4 Teoremi di tipo Liouville Classificazione di quadriche

Bari 24/09/07 Superficie di Riemann Ogni superficie reale ammette una metrica Riemanniana indotta:

Bari 24/09/07 Superficie di Riemann La scelta di un versore normale definisce una struttura complessa sullo spazio tangente: anche nel senso analitico…

Bari 24/09/07 Coordinate isoterme Teorema Esistono coordinate per cui diventa una varietà complessa e una funzione olomorfa

Bari 24/09/07 Coordinate isoterme Teorema Esistono coordinate per cui In dimensione (reale) 2, una struttura conforme orientata è equivalente ad una struttura complessa

Bari 24/09/07 Coordinate isoterme Teorema Esistono coordinate per cui La curvatura Gaussiana è

Bari 24/09/07 La proiezione di Mercatore Se allora è la proiezione stereografica sul piano equatoriale

Bari 24/09/07 Il caso classico: dimensione 2 Strutture complesse ortogonali Il caso Euclideo: dimensione 4 Teoremi di tipo Liouville Classificazione di quadriche

Bari 24/09/07 Dimensioni superiori Sia una varietà orientata con una struttura conforme fissata Problema Trovare (anche su ) una struttura complessa ortogonale(SCO):

Bari 24/09/07 Scelte puntuali Data la scelta di determina un sottogruppo cioè un punto dello spazio è la varietà di spinori “puri”

Bari 24/09/07 Isomorfismi speciali

Bari 24/09/07 Spazi “twistor” è lo spazio totale di un fibrato su una sfera con fibra

Bari 24/09/07 Via un “ottavo” della curvatura è una SCO su Si annulla una componente, chiamata del tensore di Weyl. Inoltre per è conformemente piatta se ammette 8 SCO “indipendenti”

Bari 24/09/07 Via un “ottavo” della curvatura dim 4 Il tensore determina le possibili SCO su Ogni superficie di Del. Pezzo ammette una struttura bi-Hermitiana dim 6 ? è conformemente piatta se ammette 8 SCO “indipendenti”

Bari 24/09/07 Il caso classico: dimensione 2 Strutture complesse ortogonali Il caso Euclideo: dimensione 4 Teoremi di tipo Liouville Classificazione di quadriche

Bari 24/09/07 Deformazioni Una struttura complessa ortogonale su è determinata da un’applicazione con il seguente sistema di integrabilità è una funzione olomorfa in

Bari 24/09/07 Tre soluzioni esplicite definita su tutto definita su è una funzione olomorfa in

Bari 24/09/07 Tre soluzioni esplicite definita su tutto definita su Problema Su quali altri domini esistono strutture complesse ortogonali (SCO)?

Bari 24/09/07 Il “grafico” di una SCO è una submersione Riemanniana. La geometria di è compatibile con lo splitting

Bari 24/09/07 Il “grafico” di una SCO Lemma Data una SCO su la sua immagine è una superficie complessain. Viceversa, ogni sezione complessa in ha la forma dove è una SCO su è una submersione Riemanniana. La geometria di è compatibile con lo splitting

Bari 24/09/07 Le soluzioni precedenti Un piano contiene esattamente una fibra La quadrica contiene per

Bari 24/09/07 Il caso classico: dimensione 2 Strutture complesse ortogonali Il caso Euclideo in dimensione 4 Teoremi di tipo Liouville Classificazione di quadriche

Bari 24/09/07 Strutture “intere” I seguenti teoremi (di S. S. + J. Viaclovsky) caratterizzano le soluzioni di tipo Teorema 0 Sia una SCO definita su. Allora (cioè ) è costante

Bari 24/09/07 Strutture “intere” Teorema 1 Sia una SCO su un aperto Se allora è conformemente costante (e si estende a ) Teorema 0 Sia una SCO definita su. Allora (cioè ) è costante

Bari 24/09/07 Strutture “intere” Teorema 1 Sia una SCO su un aperto Se allora è conformemente costante (e si estende a ) Misura di Hausdorff

Bari 24/09/07 Eliminazione delle singolarità Il grafico di è un insieme analitico Shiffman 1968 è analitico Basato su Bishop 1964, generalizzazione di Remmert-Stein 1955

Bari 24/09/07 Eliminazione delle singolarità Il grafico di è un insieme analitico Shiffman 1968 è analitico Chow, Mumford è algebrico, di deg 1

Bari 24/09/07 Quadriche “reali” Teorema 2 Sia una SCO su (che non estende a ). Il grafico di in è contenuto in una quadrica con dove agisce su ammette una metrica Kählerianacompleta conformementepiatta

Bari 24/09/07 Il caso classico: dimensione 2 Strutture complesse ortogonali Il caso Euclideo in dimensione 4 Teoremi di tipo Liouville Classificazione di quadriche

Bari 24/09/07 Superfici quadriche in CP 3 Si consideri una quadrica nondegenere è bi-olomorfa a

Bari 24/09/07 Il gruppo conforme Problema Trovare le orbite di sullo spazio delle quadriche Il risultato dovrebbe dipendere da parametri reali

Bari 24/09/07 Il gruppo conforme Problema Trovare le orbite di sullo spazio delle quadriche Basta studiare l’azione del sottogruppo sullo spazio delle matrici reali 3 x 3 SVD Diagonalizzazione

Bari 24/09/07 Forma canonica Teorema 3 Qualsiasi quadrica nondegenere in è equivalente a quella associata a per qualche

Bari 24/09/07 Il luogo discriminante in S 4 …è l’unione dove

Bari 24/09/07 2 -tori in S 4 Teorema 4 Sia una quadrica nondegenere. Ci sono tre possibilità: è una circonferenza in è un 2 -toro liscio snodato è un 2 -toro pinzato in

Bari 24/09/07 Il caso generico ha 2 componenti è un 2 -toro liscio snodato COROLLARIO Esiste una SCO con dominio massimale un toro solido

Bari 24/09/07 Problemi aperti Caratterizzazione conforme dei 2 -tori disciminanti in Studio di superfici cubiche e quartiche in contando rette “verticali” Un teorema di Liouville per basato sull’area

Bari 24/09/07 Bibliografia Apostolov-Gauduchon-Grantcharov, PLMS 1999 Atiyah-Hitchin-Singer, P Roy Soc Lond 1978 Bishop, Mich Math J 1964 Hitchin, ar. Xiv: math/0608213 Pontecorvo, Diff Geom Appl 1992 Salamon-Viaclovsky, ar. Xiv: 0704. 3422 Schoen-Yau, Invent Math 1988 Shiffman, Mich Math J 1968 Slupinski, J Geom Phys 1996 Tricerri-Vanhecke, TAMS 1981