Banush Gersena Bergamaschini Roberto Campanale Maria Filomena Pellegrini

Banush Gersena Bergamaschini Roberto Campanale Maria Filomena Pellegrini Mariangela Pernigotti Andrea Ronconi Tommaso Salvitti Marco Sardelli Francesco

OSCILLATORE ARMONICO INDICE Un esempio di oscillatore armonico è dato da un carrello appoggiato ad una rotaia metallica con due respingenti ai suoi estremi: su tale rotaia viene fatto scorrere il carrello legato a molle che permettono di studiare il moto oscillatorio del carrello stesso. Il dispositivo si basa sulla legge di Hooke che dice che applicando una forza su un corpo materiale si ottiene uno spostamento direttamente proporzionale alla forza stessa. L’oscillatore armonico può essere di tre tipi: Libero Smorzato L’oscillatore come modello Forzato

L’oscillatore armonico libero è un sistema ideale nel quale non si tiene conto dell’esistenza dell’attrito: l’oscillazione ha perciò durata infinita. Nel nostro caso il carrello è collegato da entrambe le parti ad una molla e se viene. applicata su esso una forza dovrebbe avere moto perpetuo. L’oscillatore armonico smorzato è un sistema reale che, a causa dell’attrito, vede l’oscillazione fermarsi in breve tempo; nel sistema analizzato, l’attrito è rappresentato dall’attrito tra le ruote del carrello e la rotaia e dalla resistenza dell’aria, .

Nel nostro caso abbiamo a che fare con un oscillatore armonico forzato: il carrello è attaccato da un lato ad una molla a sua volta legata ad un motorino con un braccio rotante, mentre dall’altro una semplice molla; l’oscillazione prodotta con frequenze e quindi periodi regolabili può mostrare diversi comportamenti del corpo (il carrello) soggetto alla forza. Varia perciò l’ampiezza dell’oscillazione e si possono vedere chiaramente i fenomeni dei battimenti e della risonanza.

RISONANZA Se la frequenza della forza periodica esercitata dal motorino sul sistema dell’oscillatore armonico è opportuna, ovvero se la pulsazione della forza è approssimativamente uguale a quella dell’oscillazione propria del sistema, allora la forza applicata si somma alla naturale oscillazione del sistema dando vita al fenomeno della risonanza, amplificando l’ampiezza delle oscillazioni, fino ad un valore massimo (infinito se l’attrito fosse nullo).

Dal grafico è possibile notare che non si ha un’amplificazione dell’oscillazione solo per un preciso valore di pulsazione ma che l’oscillazione aumenta secondo una curva “a campana”, il cui massimo ha una ascissa prossima al valore della pulsazione libera.

L’OSCILLATORE COME MODELLO Il comportamento degli elettroni all’interno degli atomi può essere compreso attraverso il semplice modello dell’oscillatore armonico. L’elettrone infatti si può considerare come un sistema in continua oscillazione con pulsazione propria 0. Se l’elettrone viene sollecitato esternamente, ad esempio da una radiazione elettromagnetica (onda armonica), si verifica un fenomeno di risonanza, assimilabile a ciò che abbiamo riscontrato nell’oscillatore armonico forzato prima analizzato. W 2 Livello energetico superiore elettrone W 1 Livello energetico inferiore

Quando l’onda che interagisce con l’elettrone presenta pulsazione prossima al valore di pulsazione 0 dell’elettrone si verifica il fenomeno della risonanza e l’elettrone assorbe l’energia proveniente dalla radiazione elettromagnetica, in modo tale da passare al livello energetico superiore. A differenza dell’oscillatore armonico (il cui comportamento è definito secondo la meccanica classica), l’elettrone si comporta invece secondo i principi della quantistica e quindi, il salto di orbitale è possibile solo per determinati valori di energia quantizzati; viene quindi assorbita solo la quantità di energia necessaria per il salto di orbitale (compresa antro il range dato dalla larghezza della risonanza) e, se l’energia fornita è insufficiente, lo stato dell’elettrone rimane invariato. Dall’osservazione dei risultati sperimentali rilevati dall’oscillatore armonico è stato possibile osservare che l’elettrone entra in risonanza non solo con l’onda elettromagnetica di pulsazione uguale alla pulsazione 0 dell’elettrone ma con tutte le onde di pulsazione compresa in un intorno di tale valore. Visualizza il grafico

SPETTRI DI EMISSIONE Abbiamo analizzato le radiazioni elettromagnetiche emesse da una lampada a mercurio. Queste venivano fatte passare attraverso una fenditura di ingresso, focalizzate da una lente, quindi fatte passare attraverso un reticolo di diffrazione, che le scomponeva nelle varie lunghezze d’onda. Sullo schermo le radiazioni potevano essere fatte passare attraverso fenditure di diversa larghezza. Sapendo che esiste una relazione tra l’angolo di cui viene deviata la radiazione elettromagnetica e la sua lunghezza d’onda ( e cioè l= d sen(F), dove d è la distanza tra due righe del reticolo di diffrazione. E’ possibile (utilizzando un sensore di luce) ottenere un grafico dell’intensità luminosa in funzione della lunghezza d’onda.

SPETTRO DI EMISSIONE DEL MERCURIO A metà picco blu l=18, 214 nm A metà picco arancio l=14, 480 nm A metà picco viola l=13, 463 nm

Come si nota dal grafico vi è una dispersione di l dovuta a l = lspe + lint E’ possibile ridurre lspe diminuendo la larghezza delle fenditure di uscita. E’ tuttavia impossibile eliminare la dispersione di l in quanto esiste un lint (intrinseca) dovuto al principio di indeterminazione di Heisemberg: E = costante dove E è la differenza tra l’energia maggiore e l’energia minore in ogni picco e è l’intervallo di tempo durante il quale l’elettrone è nello stato eccitato (quando viene emessa la radiazione elettromagnetica).

Emissione La larghezza di picco è data dalla somma di un fattore intrinseco e di uno sperimentale. Possiamo diminuire quello sperimentale restringendo la fenditura d’uscita, ma non possiamo agire su quello intrinseco, ovvero é impossibile restringere la larghezza oltre un certo limite. La larghezza di picco intrinseca è spiegabile attraverso il principio d’indeterminazione di Heisenberg: Dove é l’indeterminazione nella pulsazione e quindi nell’energia della radiazione emessa, e rappresenta il tempo in cui l’elettrone rimane nel livello eccitato. In modo intuitivo possiamo, infatti, modellizare l’elettrone, nello stato eccitato, come un oscillatore smorzato che emette onde elettromagnetiche armoniche smorzate non periodiche. Tanto maggiore è lo smorzamento (ovvero minore il tempo di rilassamento), tanto maggiore è l’indeterminazione sul periodo e quindi sulla pulsazione.

INDICE Riassumendo possiamo quindi affermare che la pulsazione dell’onda è legata all’energia trasportata dall’onda stessa e quindi corrisponde alla larghezza della riga spettrale. Il tempo di smorzamento dell’oscillatore armonico corrisponde al tempo di permanenza dell’elettrone nello stato eccitato. Quindi il tempo di vita dell’elettrone nello stato eccitato e la larghezza in frequenza della riga emessa corrispondente sono legati da una relazione di proporzionalità inversa: Dw Dt = costante Principio di indeterminazione di Heisemberg

Cos’è uno spettro di assorbimento? Uno spettro di assorbimento è la misura di una proprietà fisica f in relazione alla frequenza n. In questa esperienza abbiamo analizzato gli spettri di assorbimento, come fenomeno dell’interazione radiazionemateria. L’assorbimento è stato effettuato da un corpo rigido, nel nostro caso un vetrino. sorgente monocromatore fibra ottica rilevatore La luce bianca prodotta dalla sorgente (una lampada allo xeno) passa nel monocromatore che contiene al suo interno un elemento dispersivo: un reticolo di diffrazione, che grazie a particolari angolature e ad un sistema di specchi scompone la luce bianca nei colori che la costituiscono e inoltre permette di selezionare un solo colore (una sola lunghezza d’onda).

La luce scomposta passa attraverso una fenditura e grazie ad una fibra ottica colpisce il rilevatore. Variando le lunghezze d’onda, considerate in un intervallo compreso tra 300 e 700, abbiamo raccolto i dati dell’intensità luminosa I 0, ottenendo il seguente grafico:

Successivamente abbiamo interposto un vetrino giallo tra la fibra ottica e il rilevatore e abbiamo ripetuto le misurazioni dell’intensità luminosa IT nello stesso intervallo di lunghezza d’onda, così da poter vedere l’assorbimento da parte del corpo rigido. ASS O RBI ME NT O Abbiamo messo in relazione i diversi valori di I 0 e IT, calcolandone il rapporto. Abbiamo poi costruito un grafico ponendo in relazione il rapporto delle intensità luminose e la lunghezza d’onda. TRASMISSIONE

Possiamo notare che si può avere trasmissione di luce solo quando si è giunti ad una certa lunghezza d’onda che, nel nostro caso, è intorno ai 500 nm. Dal punto di vista energetico, la relazione tra lunghezza d’onda ed energia è inversamente proporzionale. Infatti: E= hn= hc/l Quindi, per lunghezze d’onda maggiori a 500 nm l’energia non è sufficiente a far saltare l’elettrone al livello superiore. In particolare nell’ultima parte del grafico, dove non si ha affatto assorbimento di energia, l’intensità iniziale I 0 resta invariata dopo il passaggio attraverso il vetrino: I 0 = IT. Nella parte in “salita”, invece, si riscontra un progressivo eccitamento degli elettroni che non hanno ancora energia necessaria per compiere il salto. E’ proprio a partire da lunghezze d’onda più piccole di 500 nm che l’elettrone compie il salto al livello superiore. W 2 Livello energetico superiore elettrone W 1 Livello energetico inferiore

I dati raccolti hanno rilevato che fasci di luce con particolari lunghezze d’onda non vengono registrate dal rilevatore, essendo state assorbite dal vetrino. Questo assorbimento non è stato però netto. Si può notare che il passaggio dall’assorbimento alla trasmissione è simile ad una parte del grafico della risonanza. L’unica differenza è che non si ha il successivo ritorno a valori tendenti all’asse delle x. Ciò si può interpretare considerando che gli atomi che costituiscono il vetrino (corpo solido), avendo legami molto forti, sovrappongono i livelli energetici su cui viaggiano gli elettroni in modo da creare non un unico livello ma una banda estesa in energia, che non riusciamo sperimentalmente ad esplorare nella sua interezza. INDICE

L’obiettivo di questa esperienza è quello di verificare sperimentalmente l’equazione che regola la legge motoria di un particolare corpo rigido che presenta notevoli proprietà di simmetria: il giroscopio. Il giroscopio è un disco capace di ruotare intorno ad un asse fisso, che passa attraverso il centro dello stesso. Ragionando nel discreto, la rotazione intorno al suo asse è caratterizzata dalla somma vettoriale dei singoli momenti angolari Li di tutti i punti che lo costituiscono:

Momento angolare e momento di una forza L’altra grandezza fisica fondamentale è il momento di una forza necessaria per modificare il momento angolare: Mentre gira il giroscopio è soggetto ad una variazione. Quindi per modificare il momento angolare è necessaria una forza perpendicolare alla direzione del momento angolare stesso. Quindi se l’angolo con cui ruota è piccolo d. L=LdØ d. L·dt--1=LdØ ·dt--1=LW dove W è dato dalla velocità angolare con cui gira il giroscopio. Essendo L=I , dove è dato dalla velocità angolare del disco, si ha: (1) mgd=Iw. W dove I è dato dal momento di inerzia dell’intero sistema

da cui W=mgd. I-1 -1 I=mr 2(ga-1 -1)=0, 0131 Kg m 2 m=0, 035 Kg r=0, 029 m g=9, 81 ms-2 a=2, 20· 10 -2 ms-2 d=21, 34· 10 -2 m =32, 66 rad/s W=0, 723 rad/s La pulsazione prevista teoricamente dalla equazione (1) risulta W = 0, 7299 rad/s: il risultato teorico e quello sperimentale sono per tanto consistenti. essere

INDICE Il giroscopio e lo spin Il giroscopio è un ottimo esempio per rappresentare il momento angolare intrinseco dell’elettrone (spin 1/2; 1/2), con la differenza che il giroscopio può assumere infinite posizioni mentre la direzione del momento angolare dell’elettrone è quantizzata.