Ballottement des liquides dans les rservoirs cylindriques soumis
Ballottement des liquides dans les réservoirs cylindriques soumis à une oscillation harmonique Aude Royon-Lebeaud Thèse financée par le CNES et le CNRS Thèse encadrée par E. Hopfinger et A. Cartellier 15 mars 2005
Sommaire A. Introduction à la problématique B. Ballottement hors résonance C. Mode tournant D. Brisure à résonance E. Conclusions et Perspectives
A. 1 Motivations et position du problème A. Introduction à la problématique • A l’origine des sollicitations externes (vent, changement de trajectoire…) peuvent engendrer : – de forts mouvements du liquide et donc des efforts conséquents sur les structures – des phénomènes de brisure, donc une augmentation de la surface d’échange et des variations de pression significatives • Ceci a une forte incidence sur le pilotage • Initiation du projet franco-allemand COMPERE (2000) 3
Données du problème réel - Phase propulsée Hypothèse adiabatique Gaz H ~4 m A. Introduction à la problématique Coupole Anneau antiballottant Ergols 0. 1 10 -6< < 10 -6 m 2/s 10 -5 < / <3. 5 10 -5 m 3/s 2 h R~1 m ax Sollicitations latérales de basse fq f≈0. 5 -1 Hz de faibles amplitudes avec ax/az≈10 -3 az≈1 -4 g Vidange Cuve emboîtée 4
• Paramètres du problème A. Introduction à la problématique az=g Rayon de la cuve R ≈ 10 cm Liquide : eau (essentiellement) o Hauteur Onde h>R o Amplitude b o Tension superficielle / o Longueur λ / =72 10 -6 m 3/s 2 o Viscosité =10 -6 m 2/s Excitation sinusoïdale x(t)=Af cos t (ax=Af 2) 5
Similitude en isotherme hors brisure • Nombres adimensionnels Réel A. Introduction à la problématique – Le Bond Bo=ρg. R 2/ 106 – L’Ohnesorge Oh=√( 2/R ) 5 10 -5 Exp. 103 3 10 -4 – Profondeur du liquide h/R 0. 2 - 4 >1 – La fréq. d’excitation /√(g/R) ou / 11 0. 7 – 1. 7 – L’amplitude d’excitation Af/R 10 -3 - 10 -2 Conservation du Froude Fr=V/√(g. R)=Af/R 2/(g. R) • Similitude garantie pour les phénomènes à grandes échelles • Etude de l’influence de Af/R et / 11 suivant les 6 gammes associées au problème réel
A. 3 Modes et pulsations propres • Ondes de gravité en eau profonde A. Introduction à la problématique – Relation de dispersion 2=kg (1+k 2 R 2/Bo) tanh(kh)≈kg • Modes propres antisymétriques en cuve cylindrique k. R = 1. 84 , 5. 33 pour les deux 1 ers modes 11= √(1. 84 g/R) , 12= √(5. 33 g/R) 7
A. 2 Etat de l’art A. Introduction à la problématique • Abramson et al. (1966) : domaines d’existence des différents régimes 8
• Faltinsen et al. (2002) (cuve rectangulaire) et Miles (1984) A. Introduction à la problématique – Non-linéarité négative du mode plan – Domaine d’existence et non-linéarité positive du mode tournant Af=constant 9
A. Introduction à la problématique Objectifs • Etablir les amplitudes et le temps d’établissement du mode antisymétrique hors résonance • Spécifier le domaine d’existence du mode tournant et déterminer les conditions de transition • Caractériser le régime chaotique. Préciser les conditions de brisure. Détailler le scénario qui mène à la création d’interface 10
A. Introduction à la problématique A. 2 Banc expérimental • Cuve cylindrique – R=15 ou 7. 8 cm – remplie d’eau à h/R>1 • Excitation imposée par un moteur linéaire – réglage en amplitude et en fréquence depuis le PC – Fréquence ≈ 0 – 3 Hz – Amplitude ≈ 0 – 5 mm 11
A. Introduction à la problématique A. 4 Régimes d’ondes 12
• Instrumentation A. Introduction à la problématique – Déplacement de la table : sonde optique – Elévation de la surface libre : sondes capacitives – Déformation de la surface libre : visualisation en lumière blanche θ=0° Sondes capacitives θ=90° Caméra Sonde optique x(t)=Af cos t 13
A. Introduction à la problématique Courbes de résonance homothétiques avec Af/R=2. 7 10 -2 Af/R=0. 7 10 -2 14
• Comparaison des domaines d’existence avec les résultats de Faltinsen et al. (2002) Royon et al. Af/R=1. 3 10 -2 A. Introduction à la problématique 2 R Faltinsen et al. Af/L=1. 6 10 -2 2 L 15
Sommaire A. Introduction à la problématique B. Ballottement hors résonance 1. Installation du mode forcé 2. Analogie avec les oscillateurs 3. Régime stationnaire C. Mode tournant D. Brisure à résonance E. Conclusions et Perspectives
B. Ballottement hors résonance 17
B. Ballottement hors résonance B. 1 Installation du mode forcé = 0. 86 11 = 1. 17 11 Dans ces deux cas: fort battement initial qui disparaît après environ 80 périodes 18
B. Ballottement hors résonance = 0. 86 11 Mode forcé Mode propre 1 • Composition en fréquence: – Fréquence d’excitation – Fréquence du mode propre 11 – Fréquence du battement - 11 • Evolution en temps : – Décroissance exponentielle du mode propre 1 – Maintien du mode forcé 19
B. 2. Analogie avec les oscillateurs • Modèle mécanique: – – oscillateur à 1 ddl amorti de fréquence propre 11 forcé à B. Ballottement hors résonance • Equation du mouvement : • Solution : x(t) = a e-κt cos( 11 t+α)+b cos( t+δ) – Amortissement exponentiel du mode propre – Maintien en amplitude du mode forcé 20
B. 3. Régime stationnaire pour différentes amplitudes de forçage B. Ballottement hors résonance 0. 3 10 -2<Af/R<2. 7 10 -2 21
B. 3 Régime stationnaire B. Ballottement hors résonance • Amplitude stationnaire (analogue aux oscillateurs) Coefficient empirique valable pour Af>Afc • Déphasage par rapport à l’excitation – < 11 système en phase – > 11 système hors phase 22
Mode forcé : Principaux résultats B. Ballottement hors résonance Analogie avec oscillateur linéaire amorti donne les principales propriétés : • Superposition initiale mode forcé et mode propre • Décroissance exponentielle du mode propre b=b 0 exp(-γ t) ou régime stationnaire • Temps d’installation du • Amplitude stationnaire=f(Af, / 11) 23
Sommaire A. Introduction à la problématique B. Ballottement hors résonance C. Mode tournant 1. Description du mode tournant 2. Etude de la transition D. Brisure à résonance E. Conclusions et Perspectives
C. Mode tournant D. Mode tournant 25
C. Mode tournant D. 1 Description du mode tournant 26
C. Mode tournant Af/R=2. 3 10 -2 –Mode robuste de très grandes amplitudes –Existence du mode jusqu’à 1. 3 11 –Croissance du déphasage avec l’excitation de 0 à /2 (mode tournant s’écroule) 27
D. 2 Etude de la transition Amplitude du mode tournant C. Mode tournant • Transition du mode 1 vers le mode tournant à fréquence fixée en augmentant l’amplitude d’excitation =1. 07 11 Amplitude d’excitation 28
C. Mode tournant Amplitude sur les sondes Sonde à 90° (amplitude du mode tournant) légère augmentation de Af Sonde à 0° (amplitude du mode plan) Temps Croissance exponentielle de l’amplitude du mode tournant à transition 29
Trajectoires de particules (vue de dessous. T exposition = 2π/ ) Af cos t 5 6 4 1 2 3 1 C. Mode tournant 3 4 2 (1 -2) Mise en place du mode tournant. (3 -5) Croissance de son amplitude (6) Mise en rotation du liquide 5 6 30
E. Conclusions et perspectives Mode tournant : Principaux résultats • Mode tournant existe pour ≈> 11 jusqu’à ≈1. 3 11 • Stable à de grandes amplitudes • Croissance exponentielle du mode • Transition sous-critique vers le mode tournant • Mise en rotation du liquide par l’onde azimutale 31
Sommaire A. Introduction à la problématique B. Ballottement hors résonance C. Mode tournant D. Brisure à résonance et régime chaotique 1. Description du régime chaotique 2. Croissance à résonance 3. Scénario de déstabilisation de l’interface E. Conclusions et Perspectives
D. Brisure à résonance et régime chaotique C. Brisure à résonance 33
D. Brisure à résonance et régime chaotique C. 1. Description du régime chaotique 34
Amplitude à 0° Amplitude à 90° =0. 98 11 D. Brisure à résonance et régime chaotique Temps –Phase 1 : croissance du mode 1 –Phase 2 : croissance du mode tournant suivi d’un court mode tournant stable –Phase 3 : brisure de l’onde 35
D. Brisure à résonance et régime chaotique C. 2. Croissance à résonance 36
Amplitude D. Brisure à résonance et régime chaotique Temps • Croissance linéaire: – Taux de croissance prédit par la théorie des oscillateurs linéaires 37
D. Brisure à résonance et régime chaotique • Modification du profil de l’onde et déstabilisation pour b>bc=g/ 2 i. e. a>g b<bc b>bc Profil théorique suivant Penney et Price (1952) 38
C. 3. scénario de déstabilisation de l’interface D. Brisure à résonance et régime chaotique a et b Déstabilisation de courte longueur d’onde type Rayleigh -Taylor c Superposition d’une instabilité de grande longueur d’onde d-f Croissance de la grande longueur d’onde à l’origine de la création 39 d’interface
• Caractéristiques expérimentales des ondes – ≈1/2 largeur de la cuve ou largeur de la cuve – Pulsation identique à celle de l’onde antisymétrique D. Brisure à résonance et régime chaotique • Instabilité transverse observée de type Faraday excitée par l’onde plane antisymétrique à fréquence 2 11 40
D. Brisure à résonance et régime chaotique • Diagramme de stabilité des ondes de Faraday (Benjamin et Ursell 1954) (théorie non-visqueuse) 4 2 6 12 41
D. Brisure à résonance et régime chaotique Paquets fluide retardés Déformation en chapeau Splashing Entraînement d’air et création de gouttes 42
• Déformation du profil et triplement de périodes Jiang et al. (1998) : oscillation vertical d’un canal 2 D (l<<L) D. Brisure à résonance et régime chaotique Mode A t=0, 3 T … Mode B t=T, 4 T … Mode C t=2 T, 5 T … 43
Et en 3 D (l=L) η< ηmax Vue face Vue côté C η< ηmax Vue face Vue côté Amplitude D. Brisure à résonance et régime chaotique Vue face Vue côté Pseudo-période Temps de création d’interface Temps 44
Cuve Ronde D. Brisure à résonance et régime chaotique Instabilité Faraday Splashing Paquets fluide retardés Entraînement d’air et création de gouttes 45
Régime chaotique : Principaux résultats • Régime chaotique quasi-périodique – de pseudo-période 1/30 < chaos< 1/10 croissant avec Af – d’amplitude moyenne croissant avec Af D. Brisure à résonance et régime chaotique • La croissance en amplitude à résonance linéaire • Déstabilisation du front pour b>bc=g/ 2 (Af>Afc) • Déstabilisation du front par instabilité de type Faraday • Entraînement d’air et création de gouttes par splashing et déferlement de l’onde 46
Sommaire A. Introduction à la problématique B. Ballottement hors résonance C. Brisure à résonance D. Mode tournant E. Conclusions et Perspectives
• Une analogie avec oscillateur linéaire amorti donne les principales propriétés du mode forcé : – Superposition initiale des mode forcé et mode propre, – Décroissance exponentielle du mode propre – Amplitude stationnaire=f(Af, / 11)) E. Conclusions et perspectives • Le mode tournant existe pour ≈> 11 : – Grande amplitude. – Transition sous-critique. Croissance exponentielle. Mise en rotation du liquide par l’onde azimutale. • Le régime chaotique est quasi-périodique. Il comprend : – Un court mode tournant – Un mode plan déferlant : phase de croissance en amplitude linéaire, déstabilisation par onde transverse de type Faraday, modification du profil de l’onde, d’où par splashing et déferlement génération de gouttes et de bulles 48
Transposition possible aux réservoirs de fusée en respectant Af/R et / 11 • Détermination des temps caractéristiques – Temps d’installation du régime forcé stationnaire – Temps de transition vers le mode tournant – Temps d’amortissement E. Conclusions et perspectives • Efforts – A partir de l’amplitude en mode forcé : F varie en b 2 – Etude expérimentale et numérique de EADS pour le mode tournant • Création d’interface – Identification des phénomènes – Estimation de temps caractéristique des phases de brisure du régime chaotique ? Possible mise en défaut de la similitude 49
• Perspectives – Détermination du champ de vitesse en vue de l’élaboration d’un scénario pour la modification du profil de l’onde E. Conclusions et perspectives – Etude de l’influence du taux de remplissage – Estimation de la quantité d’interface créée ? ? – Etude pour des sollicitations impulsionnelles 50
Merci de votre attention 51
D. Brisure à résonance • Evolution des caractéristiques du mode chaotique en fonction de Af à =(1 -ε) 11 52
Régime chaotique à faible Af 53
Amortissement libre =1. 21 11 =0. 81 11 • Transfert d’énergie 2 -3 périodes après l’arrêt. conservation du rapport Energie cinétique / Energie potentielle donc bi/bf≈( 11/ )2 • Décroissance exponentielle de l’amplitude b=b 0 exp(-γ t) 54
Amortissement en eau peu profonde 55
Effet d’un dôme 56
Effet d’un anneau 57
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