Balat KARMAIK SAYILARIN TANIMI Balat KARMAIK SAYILARIN ETL
Başlat KARMAŞIK SAYILARIN TANIMI Başlat KARMAŞIK SAYILARIN EŞİTLİĞİ Başlat SANAL BİRİMİN KUVVETLERİ Başlat KARMAŞIK SAYILARIN EŞLENİĞİ Başlat KARMAŞIK SAYILAR KÜMESİNDE İŞLEMLER Başlat KARMAŞIK DÜZLEM Başlat BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERİ Başlat KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK Başlat TOPLAMIN GEOMETRİK GÖSTERİMİ : Başlat ÇIKARTMANIN GEOMETRİK GÖSTERİMİ Başlat KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) BİÇİMİ Başlat ARGÜMENT Başlat TEST SORULARI
Konu Başlıkları KARMAŞIK SAYILARIN TANIMI TANIM: x 2+1 = 0 denkleminin gerçel sayılar kümesinde çözümü olmadığını biliyoruz. ( <0) x 2 +1 = 0 denkleminin çözülebildiği ve gerçel sayılar kümesini kapsayan daha geniş sayılar kümesi olan karmaşık sayılar kümesini oluşturacağız. Reel sayılar kümesinin kendisi ile çarpımı olan Rx. R kümesini C ile gösterelim. C = {a + bi ; a, b R ve i 2 = -1 } kümesine KARMAŞIK SAYILAR kümesi denir.
Konu Başlıkları Örnekler Elemanları a +bi şeklinde olan kümeye karmaşık sayılar kümesi adı verilir. C ile gösterilir. Her (a, b) karmaşık sayısı a+bi biçiminde yazılır ki bu yazılışa karmaşık sayının standart biçimi denir. z = a+bi şeklinde gösterilir. Herhangi bir z = a+bi karmaşık sayısında a reel sayısına z’nin gerçel (reel) kısmı , b reel sayısına da z’nin sanal (imajiner) kısmı denir. z = a+bi ise Re(z) = a ve Im(z) = b dir.
Konu Başlıkları ÖRNEKLER 1) z = 5 ise z = 5 + 0 i Re(z) = 5 ve Im(z) = 0 2) z = 3 i ise z = 0+3 i Re(z) = 0 ve Im(z) = 3 Re(z) = 1 ve Im(z) = -7 3) z = (-3 -4 i). (1+i) = 1 -7 i
Konu Başlıkları Örnekler KARMAŞIK SAYILARIN EŞİTLİĞİ İki karmaşık sayının karşılıklı olarak gerçel ve sanal kısımları kendi aralarında eşitse bu iki karmaşık sayı eşittir denir. z 1 = a+bi ve z 1 = z 2 = c+di karmaşık sayıları için; a = b ve c = d dir.
Konu Başlıkları ÖRNEKLER 1) z 1 = 2 x+3 i+y ve z 2 = xi+2+yi karmaşık sayıları eşit olduğuna göre (x, y) sayıları nedir? 2) 3 x+2 y+(2 x-y)i = 1 -4 i eşitliğini sağlayan x ve y sayılarını bulunuz. 3) 2 i+ 5 = 3 -2 xi+ 20. i-y ise x ve y’yi bulunuz.
Konu Başlıkları Örnekler SANAL BİRİMİN KUVVETLERİ n Z olmak üzere, i nin kuvvetleri aşağıdaki gibi hesaplanır. . . . .
Konu Başlıkları Örnekler SANAL BİRİMİN KUVVETLERİ n Z olmak üzere, i nin kuvvetleri aşağıdaki gibi hesaplanır. . . . .
Konu Başlıkları Örnekler SANAL BİRİMİN KUVVETLERİ n Z olmak üzere, i nin kuvvetleri aşağıdaki gibi hesaplanır. . . . .
Konu Başlıkları ÖRNEKLER 1) i 21 = ? 2) i 543 = ? 3) P(x) = 4 x 41 - 3 x 38 + 7 x 55 - 5 x 24 ise P(i) = ? 4) P(x) = x 3 + x - 1 olduğuna göre P( -4) = ?
Konu Başlıkları Örnekler KARMAŞIK SAYILARIN EŞLENİĞİ z = a+bi karmaşık sayısının eşleniği a-bi dir ve ile gösterilir. z = a+bi ise = a-bi dir.
Konu Başlıkları ÖRNEKLER 1) z = 3+4 i 2) z = -2 -i ise z = 3 -4 i ise z = -2+i 3) z = 4 ise 4) z =-2 i ise z=4 z = 2 i
Konu Başlıkları Örnekler KARMAŞIK SAYILARIN İŞLEMLER TOPLAMA-ÇIKARMA İki karmaşık sayının toplamında ve çıkarmasında, gerçel kısımlar kendi aralarında, sanal kısımlar da kendi aralarında toplanır ve çıkarılır. z 1= a+bi ve z 2= c+di olsun. z 1+z 2 = (a+c)+(b+d)i z 1 - z 2 = z 1+(-z 2) = (a-c)+(b-d)i
Konu Başlıkları Örnekler KARMAŞIK SAYILARIN İŞLEMLER ÇARPMA Normal çarpma işlemi yapılır. İşlem neticesinde i’nin kuvvetlerinin değeri bulunarak yerine konur. z 1 = a+bi , z 2 = c+di olmak üzere; z 1. z 2 = (a+bi). (c+di) = (ac-bd)+(bc+ad)i
Konu Başlıkları Örnekler KARMAŞIK SAYILARIN İŞLEMLER BÖLME İki karmaşık sayının bölümünde pay ile paydanın eşleniği ile çarpılır. z 1 = a+bi ve z 2 = c+di ise z 1 = a+bi. c-di = (a+ib)(c+id) z 2 c+di c-di c 2+d 2
Konu Başlıkları ÖRNEKLER 1) z 1 = 3 -2 i ve z 2 = -4+5 i ise z 1 + z 2 = ? 2) z 1 = -2+6 i ve z 1+z = -4 i ise z’nin eşiti nedir?
Konu Başlıkları ÖRNEKLER 1) z 1 = 2+3 i , z 2 = 4 -5 i ise z 1. z 2 = ? 2) z = (2 -7 i) ise z 2 sayısı nedir? 3) -5. -8. -10 = ? 4) (1+i)35 sayısını a+bi biçiminde yazınız.
Konu Başlıkları ÖRNEKLER 1) z 1 = 4+3 i , z 2 =3+2 i ise z 1/z 2 = ?
Konu Başlıkları Örnekler KARMAŞIK DÜZLEM Analitik düzlemde x eksenini gerçel (reel) eksen, y-eksenini sanal (imajiner) eksen olarak aldığımızda oluşan düzleme karmaşık düzlem denir.
Konu Başlıkları ÖRNEK A = 2+3 i Sanal (imajiner) eksen 3 A 2 Reel eksen
Konu Başlıkları Örnekler BİR KARMAŞIK SAYININ MUTLAK DEĞERİ Iz. I = I x+yi I = (x 2+y 2) dir. Karmaşık düzlemde z = x+yi sayısına karşılık gelen noktanın orjine olan uzaklığına z karmaşık sayısının mutlak değeri (modülü) adı verilir. A=(x+yi) Iz. I O y x H
Konu Başlıkları UYARI 1. z C için Iz. I 0 2. Iz 1. z 2 I = Iz 1 I. Iz 2 I 3. z 1 z 2 4. zn = z Iz 1| = |z 2 I n 5. z = - z 6. | 1/z| = 1 / |z| (z 0) 7. | | z 1| - | z 2| | | z 1 + z 2| | z 1| +| z 2| Örnekler
Konu Başlıkları ÖRNEKLER 1. Aşağıdaki karmaşık sayıları düzlemde görüntüleyerek mutlak değerini bulunuz. A) z = 2 + 3 i B) z = - 5 i C) z= -3 2. ( -2 + 3 i ) • ( 8 +6 i ) = ? 3. ( z 1 = 5 3 - 6 i , z 2 = 2 11 + 5 i , z 3 = 1 +2 2 i ise z 1 =? z 2 z 3 4. z = x + y i karmaşık sayısı için z- z = - 1 + 2 i ise z = ? 5. z, bir karmaşık sayı olmak üzere ; z - 2 i = i. z + 1 ise Im (z) = ?
Konu Başlıkları Örnekler KARMAŞIK DÜZLEMDE İKİ NOKTA ARASINDAKİ UZAKLIK Karmaşık düzlemde iki nokta arasındaki uzaklık; y 1 A y 2 z 1=x 1+y 1 i B x 1 z 2=x 2+y 2 i x 2 | z 1 -z 2 | = |AB| = (x 1 -x 2)2+(y 1 -y 2)2
Konu Başlıkları Uyarılar ÖRNEKLER z 1= 2 -4 i ve z 2 = -4+4 i sayıları arasındaki uzaklık; z 1 = 2 -4 i sayısının görüntüsü M 1(2, -4) z 2 = -4+4 i sayısının görüntüsü M 2(-4, 4) | z 1 -z 2 | = (2 -(-4))2 + (-4 -4)2 = 100 = 10
Konu Başlıkları Örnekler UYARILAR z 0 C z y b , z 0=a+bi |z-z 0|=r , r R , z=x+yi |z-z 0|=r ise | (x+iy)-(a+bi) | = r z 0 (x-a)2+(y-b)2 = r ise a x (x-a)2+(y-b)2 = r 2 dir.
Konu Başlıkları Örnekler UYARILAR 1. | z-z 0| = | z-(a+bi)| = r denklemi analitik düzlemde merkezi M(a, b) ve yarıçapı r-olan çember denklemidir. 2. | z-z 0| = | z-(a+bi)| < r ifadesi merkezi (a, b), yarıçapı r olan çemberin iç bölgesidir. 3. |z-z 0| = | z-(a+bi)| > r ifadesi merkezi (a, b), yarıçapı r olan çemberin dış bölgesidir.
Konu Başlıkları ÖRNEKLER 1. {z| z C ve |z- (2+3 i)|=3}Kümesini karmaşık sayı düzleminde gösteriniz. 2. |z+1+i| 3 Kümesini karmaşık sayı düzleminde gösteriniz. 3. |z-i| > 3 Kümesini karmaşık sayı düzleminde gösteriniz. 4. |z+i| 2 Kümesini karmaşık sayı düzleminde gösteriniz. 5. z 0 =3+4 i ise A={z| z C ve |z- z 0|=3} kümesini karmaşık düzlemde gösteriniz 6. { z| z C ve |z+3 i| |z+6 -5 i| } kümesini karmaşık düzlemde gösteriniz. 7. x, y R olduğuna göre z=x+yi dir. 1 |z-1+i| 2 ifadesini karmaşık düzlemde gösteriniz.
Konu Başlıkları TOPLAMIN GEOMETRİK GÖSTERİMİ : z 1=a+bi z 1+z 2=(a+c)+(b+d)i z 2=c+di 0, z 1, z 2 ve z 1+z 2 bir parelel kenarın köşeleridir. d z 1+z 2 b z 1 ca
Konu Başlıkları ÇIKARTMANIN GEOMETRİK GÖSTERİMİ z 1=a+bi nin görüntüsü A, z 2=c+di nin görüntüsü B, d -z 2=-c-di dir. z 1 - z 2=(a-c)+(b-d)i z 2 b c a 0, z 1, -z 2 ve z 1 - z 2 bir parelel kenarın köşeleridir. -z 2 z 1
Konu Başlıkları KARMAŞIK SAYININ KUTUPSAL (TRİGONOMETRİK) BİÇİMİ z=x+yi karmaşık sayısının düzlemdeki görüntüsü M(x, y) ve |OM|=r=|z|= x 2+y 2 |z| =r M OMA ‘de x x=r. Cos , (x=|z|. Cos ) r y Sin = y=r. Sin , (y=|z|. Sin ) r z=x+yi 0 x y. A Cos = z=r. Cos +r. i. Sin = r(Cos +i. Sin )= r. Cis z=r(Cos +i. Sin ) veya z=r[Cos( +2 k )+i. Sin( +2 k )] , z=x+yi
Konu Başlıkları Örnekler ARGÜMENT 0 o 2 olmak koşulu ile açısına z’nin esas argümenti denir. ve Arg(z)= biçiminde yazılır. Arg( z )=Argz-1=2 -Argz z=x+yi karmaşık sayısının argümentinin esas ölçüsü bulunurken z=x+yi karmaşık düzlemde işaretlenerek hangi bölgede olduğu araştırılır. � I. Bölgede ise Argz= � II. Bölgede ise Argz= - � III. Bölgede ise Argz= + � IV. Bölgede ise Argz= 2 -
ÖRNEK: Yandaki z karmaşık sayısının kutupsal biçimi; r=|z|=6 ve =180 o-20 o=160 o olduğundan, y z 6 20 o z=6(Cos 160 o+i. Sin 160 o) dır. SORULAR: 1 3 z i sayısının esas argümenti nedir ? � = + 2 2 � z= 2 2 - 2 2 i sayısının esas argümenti nedir ? � z=1 - 3 i sayısını kutupsal biçimde yazınız. � z = -3 2 +3 6 i ise (-z) sayısını kutupsal biçimde yazınız. � z = -2 i sayısını kutupsal biçimde yazınız. eşitliğini sağlayan z karmaşık sayısının görüntülerini �Arg(z+2)= 4 çiziniz. x
ifadesinin eşiti aşağıdakilerden hangisidir?
ise (x, y) ikilisi aşağıdakilerden hangisidir?
Karmaşık düzlemde, şekildeki çemberi aşağıdaki kümelerden hangisi belirtir? {z: |z-i|=1, z C} {z: |z+i|=1, z C} {z: |z-i|<1, z C} {z: |z-i|=2, z C} {z: |z-i|>1, z C}
değeri aşağıdakilerden hangisidir?
- Slides: 38