Baccalaurat Professionnel Vente Commerce E Caudron SOURCE Grard
Baccalauréat Professionnel Vente – Commerce E. Caudron SOURCE : Gérard COQUET – LP Guynemer - Grenoble 1
Considérons la fonction f définie par f(x) = x² - 2 sur [-4, 5 ; 4, 5] 20 18 16 14 12 10 x 8 C Ax 6 4 2 0 -4, 5 -4 -3, 5 -3 -2, 5 -2 -1, 5 -1 - 0, 5 B 0 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 3, 5 4 4, 5 x -2 -4 X -4 -3 -2 -1 0 F(x) 14 7 2 -1 -2 1 -1 2 3 2 7 4 14 2
Considérons la fonction f définie par f(x) = x² - 2 sur [-4, 5 ; 4, 5] 20 18 16 14 12 10 x 8 C Ax 6 4 2 0 -4, 5 -4 -3, 5 -3 -2, 5 -2 -1, 5 -1 - 0, 5 B 0 0, 5 1 1, 5 2 2, 5 3 3, 5 4 4, 5 x -2 -4 Points de la courbe A B C Abscisse des points 3 6 0 0 -3 -6 Pente de la tangente x 2 3
Conclusion: • Le tableau de valeurs obtenu est celui d’une fonction linéaire g définie par g(x) = 2. x • Cette nouvelle fonction est appelée fonction dérivée de la fonction f ; Elle est notée f ’ f(x) = x² - 2 f’(x) = 2. x • La pente de la tangente en un point de la courbe, d’abscisse donnée, est appelée nombre dérivé de la fonction f Exemple: Pour x = 3 on a: f’(3) = 2 x 3 = 6 4
Dérivées des fonctions usuelles Fonctions dérivées f(x)= a. x + b f’(x) = a. x + b f(x) = x² f’(x)= 2 x ² f(x) = x 3 f’(x)= 3 x 2 f(x) = 1 x f’(x)= - 1 x 2 5
f(x) = u(x) + v(x) f(x) = a u(x) f’(x) = u’(x) + v’(x) f’(x) = a u’(x) Exercices d’entraînement 6
Exercices d’entraînement f(x) = x² + 5 f’(x) = 2. x J(x) = - x² + 1 J’(x) = - 2. x G(x) = 3 x² G’(x) = 3 x 2. x = 6. x H(x) = x 3 -1 H’(x) = 3 x² S(x) = 4 x²-5 x+2 S’(x) = 4 x 2 x - 5 = 8 x - 5 I(x) = -2 x 3+4 x²-5 x+7 I’(x) = -2 x 3 x²+4 x 2 x - 5 = -6 x²+8 x- 5 7
Lien entre la dérivée et les variations d’une fonction 1. Soit la fonction F(x)d’équation F(x) = x² +2 x + 1 représentée ci-dessous y 1 x O 1
y 1 x O 1 2. Compléter le tableau de variation de la fonction f(x) : X Variations de F(x) -4 -1 0 2
3. Calculer F’(x), la fonction dérivée de la fonction F(x) = x² +2 x + 1 F’(x) = 2 x+2 4. Calculer : F’( -4 ) = 2 x(-4)+2 =-6 F’(-1) = 2 x(-1)+2=0 F’(2) = 2 x 2+2 =6 F’( -4 ) est appelé nombre dérivé en -4 , F’(-1 ) est appelé nombre dérivé en -1 et F’(2) est appelé nombre dérivé en 2.
6. Synthétiser dans un seul tableau les deux tableaux précédents : X -4 2 -1 Signe de F’ (x ) Variations de F(x) - 0 + 9 9 0
DERIVÉES – BILAN n Soit f une fonction définie sur un intervalle I, et admettant une dérivée f’ sur I. • Si, pour tout x de I, f’(x)>0, alors f est croissante sur I. • Si, pour tout x de I, f’(x)<0, alors f est décroissante sur I. • Si, pour tout x de I, f’(x)=0, alors f est constante sur I. Une fonction atteint son extrema (maxima ou minima) lorsque sa dérivée s’annule [ F’(x)=0 ] 12
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