BAB III Kerapatan Fluks Listrik Hukum Gauss dan

BAB III Kerapatan Fluks Listrik, Hukum Gauss, dan Divergensi Oleh : Rifka Agustina Kusuma Pratiwi Jurusan Teknik Elektro 135060301111001 MASUK

KERAPATAN FLUKS LISTRIK HUKUM GAUSS DIVERGENSI

KERAPATAN FLUKS LISTRIK SEJARAH PERCOBAAN FARRADAY KERAPATAN FLUKS LISTRIK

Sejarah Percobaan Farraday - Tahun 1837 michael faraday melakukan percobaan memakai 2 buah bola konsentris, dan diantara kedua bola tersebut diisi dengan bahan isolator yang kemudian dikenal dengan DIELEKTRIK -Faraday menemukan adanya perpindahan muatan dari bola dalam ke bola luar tanpa memandang jenis dielektriknya, atau disebut fluks listrik NEXT

Percobaan Farraday • Muatan positif akan menginduksi muatan negatif Terdapat hubungan bahwa antara fluks listrik dan muatan adalah berbanding lurus • Ψ=Q Ψ = fluks listrik Q = muatan bola dalam Note: fluks listrik merupakan besaran skalar BACK

Kerapatan Fluks Listrik • Kerapatan Fluks listrik D merupakan vektor medan. Arah dari D pada setiap titik merupakan arah garis fluks pada titik tersebut dan besarnya sama dengan banyaknya garis fluks yang menembus permukaan yang normal pada garis tersebut dan dibagi dengan luas permukaan tersebut. NEXT

Ini adalah gambar dari fluks listrik diantara 2 buah bola yang sepusat konsentris yang bermuatan. Arah dan besar D bukan merupakan fungsi dari bahan dielektrik yang terdapat di antara kedua bola tersebut. NEXT

• Dari gambar sebelumnya, di dapat rapat persamaan fluks listrik pada titik r meter dari titik muatan yaitu : • Bila dibandingkan dengan intensitas medan listrik radial dari sebuah muatan titik dalam ruang hampa adalah : • Maka dalam ruang hampa menjadi : NEXT

• Persamaan di atas tidak hanya berlaku untuk ruang hampa dan tidak terbatas pada medan muatan satu titik saja. Untuk distribusi muatan ruang yang umum dalam ruang hampa adalah • Hubungan ini diturunkan dari medan muatan titik dengan cara yang sama, dari persamaan sebelumnya maka didapatkan : BACK

HUKUM GAUSS BUNYI HUKUM GAUSS DISTRIBUSI MUATAN PADA PERMUKAAN TERTUTUP HUKUM GAUS PADA PERMUKAAN BOLA PEMAKAIAN HUKUM GAUSS PADA BEBERAPA DISTRIBUSI MUATAN SIMETRIS PEMAKAIAN HUKUM GAUSS

Bunyi Hukum Gauss ØHukum gauss menyatakan: “Fluks listrik yang menembus setiap permukaan tertutup sama dengan muatan total yang dilingkungi oleh Permukaan tersebut” BACK

Distribusi Muatan Pada Permukaan Tertutup • Gambar di samping gambar kerapatan fluks listrik DS di P yang disebabkan oleh muatan Q. • Jika muatan totalnya adalah Q maka Q coulomb fluks listrik akan menembus permukaan benda tersebut. • Pada setiap titik permukaan tersebut terdapat vektor kerapatan fluks listrik D akan berharga Ds dengan subskrip s untuk menandai bahwa D harus diambil dari permukaan dan Ds umumnya akan berubah besar dan arahnya dari titik satu ke titik yang lainnya pada permukaan benda tersebut. NEXT

• Pada setiap titik P, tinjau unsur pertambahan permukaan diambil Ds yang membentuk sudut dengan. Fluks yang menembus merupakan perkalian antara komponen normal dari Ds dengan. • Pada setiap titik P, tinjau unsur pertambahan permukaan ∆S dan ambil Ds yang membentuk sudut θ dengan ∆S. Fluks yang menembus ∆S merupakan perkalian antara komponen normal dari Ds dengan ∆S. ∆Ψ = fluks yang menembus ∆S = DS, norm. ∆S = DS cosθ ∆S = Ds. ∆S NEXT

• Fluks total yang menembus permukaan tertutup : • Rumusan matematis hukum Gauss sebagai berikut : • Muatan yang dapat terdiri dari beberapa muatan titik, dalam hal ini : • Muata Garis : NEXT

• Muatan Permukaan : • Muatan volume : BACK

Hukum Gauss Pada Koordinat Bola • Pemakaian hukum Gauss untuk medan muatantitik pada sebuah permukaan bolatertutup dengan jari-jari a dan D arahnya tegak lurus pada permukaan bolapada setiap titik di permukaan tersebut dan besarnya tetap di setiap titik-titik tersebut. • Pada permukaan bola didapat : NEXT

• Unsur differensial luas pada permukaan bola dalam koordinat bola adalah : • Atau bisa juga menggunakan : • Kemudian integrannya menjadi : • Mengarahkan pada integral permukaan tertutup • Bats integrasinya telah dipilih sehingga integrasi dapat dilakukan pada seluruh permukaan bola sekali saja sehingga persamaan integrasinya menghasilkan : BACK

PEMAKAIAN HUKUM GAUSS PADA BEBERAPA DISTRIBUSI MUATAN SIMETRIS • Pemakaian hukum Gauss bergantung dari simetri, dan jika kita tidak dapat menunjukkan adanya simetri, maka kita tidak dapat menggunakan hukum Gauss untuk mencari pemecahan. Kedua pertanyaan di atas merupakan suatu “keharusan”. • Dari penjelasan sebelumnya, bahwa hanya komponen radial D yang ada atau : • Dan komponen ini hanya merupakan fungsi ρ NEXT

• Permukaan Gauss untuk muatan garis tak berhingga yang merupakan tabung lingkaran yang panjangnya L dan mempunyai jari-jari ρ. D besarnya tetap dan arahnya selalu tegak lurus pada permukaan tabung di setiap titik pada permukaan tersebut. • Maka akan diperoleh • Jika dinyatakan dalam rapat muatan ρL , muatan total yang terlingkung adalah : NEXT

• Akan menghasilkan : • Atau bisa juga : NEXT

• Kedua tabung konduktor sesumbu membentuk suatu kabel sesumbu yang menimbulkan kerapatan fluks listrik dalam tabung. • Tabung lingkaran yang panjangnya L dan berjejari ρ dimana a<ρ<b dipilih sebagai permukaan Gauss dan akan kita dapatkan : • Muatan total pada konduktor dalam yang panjangnya L ialah : • Dari hasil tersebut maka diperoleh : , (a < ρ < b) NEXT

• Hasil ini dapat dinyatakan dlm muatan persatuan Panjang. karena konduktor dlm bermuatan 2πaρs coulomb jika panjangnya 1 meter, jadi dengan Menuliskan ρL = 2πєps, kita dapatkan, • Karena tiap garis fluks listrik yang berawal dari muatan positif pada tabung dalam harus berakhir pada muatan negative pada permukaan dalam dari tabung luar, maka muatan total pada permukaan tersebut haruslah NEXT

• Dan muatan permukaan pada tabung luar ialah, • Jika kita memakai tabung dengan jari-jari dimana ρ, ρ>b , muatan total yang dilingkunginya menjadi nol, karena ada muatan yang besarnya sama tetapi tandanya berlawanan pada masing-masing tabung konduktor. Jadi, • Hasil yang sama akan didapatkan untuk ρ < a. Jadi kabel sesumbu atau kapasitor sesumbu tida mempunyai medan eksternal, dan tak ada medan pada bagian dalam dari tabung pusat (dalam). BACK

Pemakaian Hukum Gauss • Marilah kita ambil titik P di gambar. Harga D pada titik P dapat dinyatakan dalam komponen kartesian, Do = Dxo ax + Dyo ay + Dzo az. Sebagai permukaan tertutupnya kita pilih persegi kotak yang pusatnya P dan panjang sisinya ∆x, ∆y dan ∆z, dan menurut hukum Gauss, NEXT

• Supaya kita dapat menghitung integral tersebut pada permukaan tertutup, maka integralnya harus dipecah menjadi enam integral, yaitu satu integral pada tiap permukaan, • Tinjau integral yang pertama secara terperinci. Karena unsur permukaannya sangat kecil, D dapat dianggap tetap dan, NEXT

• Disini kita hanya harus mengaproksimasi harga Dx pada permukaan depan tersebut. Permukaan dapat berjarak ∆x/2 dari P, jadi (laju perubahan Dx terhadap x) • Rumusan ini dapat diperoleh lebih formal dengan memakai suku tetapan dan suku yang mengandung turunan pertama dalam uraian deret Taylor dari Dx disekitar P. Kita dapatkan sekarang, NEXT

• Sekarang kita tinjau integral pada permukaan belakang, • Dan • Jika kita gabungkan kedua integral tersebut maka, NEXT

• Dengan proses serupa kita dapatkan • Dan hasilnya dapat kita gabungkan sehingga kita dapatkan • atau Muatan yang terlingkung dalam volume ∆v: BACK

Divergensi • Sekarang kita akan mendapatkan hubungan eksak dari rumus sebelumnya dengan membuat unsur volume ∆v menuju nol. Kita tulis persamaannya sebagai berikut : • Atau jika diambil limitnya, NEXT

• Jelas bahwa suku yang terakhir ialah kerapatan muatan ruang ρ, jadi • Rumus sebelumnya mengandung banyak informasi untuk dibicarakan sekaligus, kita pisahkan menjadi 2 bagian : • atau NEXT

• Di sini A dapat menyatakan kecepatan, gradien temperatur, gaya, atau medan vektor yang lain. • Divergensi A didefinisikan sebagai berikut : • Divergensi vektor kecepatan fluks A ialah banyaknya aliran fluks yang keluar dari seluruh permukaan tertutup persatuan volume yang menuju ke nol. NEXT

• Divergensi positif menunjukkan adanya sumber kuantitas vektor tersebut pada titik yang ditinjau • Divergensi negatif menunjukkan adanya sink (sungap) • Rumusan divergensi pada setiap koordinat : • Cartesian: • Tabung: • Bola : NEXT

Persamaan Pertama Maxwell (Elektrostatika) • Ruas kiri adalah div D dan ruas kanan adalah kerapatan muatan volume, • pernyataan tersebut merupakan persamaan pertama Maxwell jika persamaan tersebut dipakai untuk elektrostatika dan medan magnet tunak, dan persamaan tersebut menyatakan bahwa fluks listrik persatuan volume yang meninggalkan volume yang menuju nol sama dengan kerapatan muatan volume di tempat tersebut. NEXT

• Operasi divergensi dengan menggunakan rumus sebelumnya menghasilkan skalar. • Operator del adalah operator vektor • Tinjaulah . D , yang menyatakan, • kita tinjau perkalian titik antara vektor satuan; dengan membuang 6 suku nol, kita dapatkan NEXT

• Kemudian tanda kurangnya kita buang dan kita lakukan operasi diferensial • hasilnya dikenal sebagai divergensi D, sehingga diperoleh • operator vektor titik hanya dipakai dalam kaitannya dengan divergensi, tetapi akan kita temui dalam beberapa operasi yang sangat penting. Salah satunya adalah u dengan u suatu scalar yang menghasilkan NEXT

• Operator tidak mempunyai bentuk khusus dalam sistem koordinat yang lain. Jika kita meninjau D dalam koordinat tabung, maka. D tetap menyatakan divergensi D, atau • Tinjaulah rumusan hukum Gauss berikut, • dan mengambil, • Kemudian mengganti ρ melalui persamaannya, NEXT

• kita dapatkan, • Rumusan pertama dan terakhir menyatakan teorema divergensi • Yang dapat dinyatakan : “Integral komponen normal dari setiap medan vektor pada seluruh permukaan tertutup dengan integral divergensi vektor tersebut dalam seluruh volume yang terlingkung oleh permukaan tertutup tersebut. ” FINISH