BAB I VEKTOR DAN MATRIKS copyright by Naniek

BAB I VEKTOR DAN MATRIKS @copyright by Naniek - 2007

Kompetensi Vektor dan Matriks Mahasiswa mampu: 1. Memberikan contoh macam-macam vektor dan Matriks 2. Mengoperasikan jumlahan, pengurangan dan perkalian vektor ataupun matriks @copyright by Naniek - 2007 7

Pengantar Untuk mengawali belajar Aljabar Linear dan Matriks perlu diingat kembali pengertian dari vektor serta matriks, macam-macam vektor serta matriks kemudian melakukan operasi aljabar atas vektor dan matriks. Vektor dan matriks melandasi dalam belajar Aljabar, karena permasalahan-permasalah yang ada dibawa dulu dalam bentuk vektor atau matriks, kemudian diselesaikan secara aljabar, misalnya dipakai untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linear, Transformasi Linear. @copyright by Naniek - 2007 8

PENDAHULUAN l. VEKTOR l MATRIKS @copyright by Naniek - 2007

l Tidak secara lengkap terdefinisi sampai besar dan arahnya ditentukan • Contoh : pergerakan angin menunjukkan laju dan arah l l Laju angin dan arah angin membentuk besaran vektor yang disebut : KECEPATAN Vektor dapat disajikan secara geometris sebagai ruas garis berarah atau panah @copyright by Naniek - 2007 10

l l l Ekor panah disebut ttk pangkal Arah panah menentukan arah vektor Panjang panah menentukan arah vektor Ujung panah disebut ttk ujung Maka vektor v = V = AB @copyright by Naniek - 2007 11

VEKTOR EKUIVALEN l Vektor-vektor yang panjang dan arahnya sama v=w=z @copyright by Naniek - 2007 12

OPERASI VEKTOR l VEKTOR NOL l PENJUMLAHAN VEKTOR • Vektor yang panjangnya nol • Dinyatakan dengan O + @copyright by Naniek - 2007 13

VEKTOR NEGATIF l Adalah vektor yang besarnya sama tetapi arahnya terbalik/berlawanan @copyright by Naniek - 2007 14

PENGURANGAN VEKTOR l Jika v dan w adalah 2 vektor sebarang, maka selisih w dari v didefinisikan sebagai : v – w = v + (-w) - @copyright by Naniek - 2007 15

PERKALIAN VEKTOR l Jika v adalah suatu vektor tak nol dan k adalah suatu bilangan real tak nol (skalar), maka hasil kali kv didefinisikan sebagai vektor yang panjangnya (k*panjang v)dan yang arahnya sama dengan arah v jika k>0 dan berlawanan arah dengan v jika k< 0 @copyright by Naniek - 2007 16

MACAM-MACAM VEKTOR l l Vektor adalah larik berdimensi satu Vektor a dengan cacah n elemen ditulis : biasa disebut vektor kolom atau vektor saja dengan notasi ditulis: a = (ai) @copyright by Naniek - 2007 17

MACAM-MACAM VEKTOR l VEKTOR NOL • adalah vektor dengan semua elemennya bernilai nol l VEKTOR BASIS • adalah vektor dengan anggota ke I bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai nol @copyright by Naniek - 2007 18

SIFAT OPERASI VEKTOR l Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 2 atau 3 dan k serta l adalah skalar, maka hubungan berikut ini berlaku : • u+v=v+u • (u + v) + w = u + (v + w) • u+0=0+u=u • U + (-u) = 0 • k (lu) = (kl) u • K (u+v) = ku + kv • (k + l)u = ku + lu • 1. u = u @copyright by Naniek - 2007 19

NORMA SUATU VEKTOR l Panjang suatu vektor u sering disebut sebagai Norma u dan dinyatakan dengan ||u|| l Jika P 1(x 1, y 1, z 1) dan P 2(x 2, y 2, z 2) adalah 2 titik di dlm ruang berdimensi 3 maka jarak d antara kedua titik tersebut adalah norma vektor karena @copyright by Naniek - 2007 20

HASIL KALI TITIK l Jika u, v, dan w adalah vektor-vektor dalam ruang berdimensi 2 atau 3 dan θ adalah sudut antara u dan v, maka hasil kali titik atau hasil kali dalam Euclidean u. v didefinisikan sebagai : @copyright by Naniek - 2007 21

MENCARI SUDUT ANTAR VEKTOR Jika u dan v adalah vektor-vektor tak nol dan adalah sudut antara kedua vektor tersebut, maka • Θ lancip jika dan hanya jika u. v > 0 • Θ tumpul jika dan hanya jika u. v < 0 • Θ =π/2 jika dan hanya jika u. v = 0 @copyright by Naniek - 2007 22

MATRIKS • Kompetensi • Macam-macam Matriks • Operasi Matriks @copyright by Naniek - 2007 23

Kompetensi Mahasiswa mampu: • Mendefinisikan matriks • Memberikan contoh macam-macam matriks • Mengoperasikan jumlahan, pengurangan dan perkalian matriks. @copyright by Naniek - 2007 24

Pengantar • Mengawali belajar aljabar linear dan matriks perlu diingatkan kembali pengertian matriks, macam-macam matriks, serta operasi aljabar atas matriks. Hal ini karena persoalan nantinya dibawa kedalam bentuk matriks, kemudian bagaimana menyelesaikannya. @copyright by Naniek - 2007 25

MATRIKS • Adalah larik berdimensi dua (karena mempunyai baris dan kolom) • Susunan elemen. Baris=m elemen yg disusun menurut baris & kolom serta merupakan satu kesatuan. @copyright by Naniek - 2007 Kolom=n 26

MACAM-MACAM MATRIKS • Matriks Nol – Adalah matriks dengan semua elemennya bernilai nol. – O=(0) • Matriks Bujur Sangkar – Adalah suatu matriks dimana cacah baris dan cacah kolomnya sama – A = ( aij ) dengan i = 1, 2, 3, . . . n j = 1, 2, 3, . . . n @copyright by Naniek - 2007 27

MACAM-MACAM MATRIKS • Matriks Persegi Panjang – Adalah matriks dengan cacah baris dan cacah kolom tidak sama. – A = (aij) dengan i = 1, 2, . . n j = 1, 2, . . m • Matriks Diagonal – Adalah matriks bujur sangkar dengan elemen pada diagonal utama bernilai real dan elemen-elemen lainnya bernilai nol – A = ( aij ) dengan aij = 0 untuk i ≠ j aij = real untuk i = j @copyright by Naniek - 2007 28

MACAM-MACAM MATRIKS • Matriks Satuan (identitas) – Adalah matriks bujursangkar dengan elemen -elemen pada diagonal utama bernilai 1 dan elemen lainnya bernilai nol – A = ( aij ) dengan aij = 1 untuk i = j aij = 0 untuk i ≠ j • Matriks Segitiga Atas – Adalah matriks bujur sangkar dengan elemen-elemen dibawah diagonal utama nol dan elemen-elemen lainnya bernilai real – A = ( aij ), dengan aij = 0 untuk i > j aij = untuk i ≤ j, ε Real @copyright by Naniek - 2007 29

MACAM-MACAM MATRIKS • Matriks Transpose – Adalah matriks dimana susunan elemen-elemen berkebalikan antara posisi baris dan kolom – A=(aij); AT =(aji) • Matriks Simetris – Adalah matriks dimana susunan elemen-elemen antara matrik dengan transpose nya sama – A=AT; maka A adalah matriks simetris @copyright by Naniek - 2007 30

OPERASI ALJABAR ATAS MATRIKS • • Operasi Perkalian Skalar Operasi Penjumlahan Operasi Pengurangan Operasi Perkalian @copyright by Naniek - 2007 31

PERKALIAN DENGAN SKALAR K=2 k. A = @copyright by Naniek - 2007 32

PENJUMLAHAN MATRIKS A= 1 2 3 6 + + 2 B= 3 4 6 A+B = 3 6 = 12 6 @copyright by Naniek - 2007 33

PENGURANGAN MATRIKS A= 1 2 3 6 - 2 B= 3 4 6 A-B = -1 -2 = 00 @copyright by Naniek - 2007 34

PERKALIAN MATRIKS • A=(aij) dengan i=1, 2, 3, …, m dan j=1, 2, 3, …, n • B=(bjk) dengan j=1, 2, 3, …, n dan k=1, 2, 3, …, p Maka : A x B = (aij) x (bjk) @copyright by Naniek - 2007 35

PERKALIAN MATRIKS A = 1 2 3 B = 0 4 5 x + x = 9 x + x = 16 x + x = 3 x + x = 13 x + x = 8 x + x = 14 1 -4 0 4 2 1 0 1 2 Ax. B= @copyright by Naniek - 2007 36

Program MATLAB (1) >> a=[ 2 4 3 6; -12 9 -32 50; 1 4 8 12; 10 3 9 -12] % membentuk matriks a= 2 4 3 6 -12 9 -32 50 1 4 8 12 10 3 9 -12 >> b=diag(a) % Membentuk matriks diagonal dari matriks a b= 2 9 8 -12 @copyright by Naniek - 2007 37

Program MATLAB (2) >> I=eye(4) % Membentuk matriks satuan berukuran 4 I= 1 0 0 0 0 1 >> c=triu(a) % Membentuk matriks segitiga atas dari a c= 2 4 3 6 0 9 -32 50 0 0 8 12 0 0 0 -12 @copyright by Naniek - 2007 38

Program MATLAB (3) >> d=tril(a) % Membentuk matriks segitiga bawah dari matriks a d= 2 0 0 0 -12 9 0 0 1 4 8 0 10 3 9 -12 >> e=a' % Membentuk transpose matriks e= 2 -12 1 10 4 9 4 3 3 -32 8 9 6 50 12 -12 @copyright by Naniek - 2007 39

Program MATLAB (4) >> f=a+e % Mencari jumlahan matriks f= 4 -8 4 16 -8 18 -28 53 4 -28 16 21 16 53 21 -24 @copyright by Naniek - 2007 40

Program MATLAB (5) >> g=a*f % Mencari perkalian matriks g= 84 290 70 163 552 3804 238 -1587 196 476 272 108 -140 -914 -152 796 >> j=inv(a) % Mencari invers matriks j= -0. 8878 0. 1113 0. 3557 0. 3756 1. 2050 -0. 0991 -0. 4995 -0. 3100 0. 0783 -0. 0312 0. 0344 -0. 0566 -0. 3799 0. 0446 0. 1973 0. 1097 @copyright by Naniek - 2007 41

Rangkuman • Dua buah matriks dapat di jumlahkan atau dikurangkan jika matriks tersebut mempunyai ukuran sama. • Matriks A dapat dikalikan dengan matriks B, jika jumlah kolom matriks A = dengan jumlah baris matriks B • Jumlahan matriks berlaku hukum komutatif • Perkalian dua buah matriks belum tentu hukum komutatif berlaku. • Operasi pembagian dalam matriks tidak ada definisi @copyright by Naniek - 2007 42

Soal-soal (1) 1. Tulislah contoh matriks persegi panjang berukuran 5 x 3 2. Jika diketahui matriks bujur sangkar berukuran 5, berilah contoh matriks sbb: – Matriks bujur sangkar – Matriks diagonal – Matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah 3. Berilah dua buah contoh matriks simetris @copyright by Naniek - 2007 43

Soal-soal (2) 4. Jika diketahui A= ; B= Hitunglah: A + BT; BT – A; AB; BA. @copyright by Naniek - 2007 44