Bab 7 Aturan Diferensiasi dan Penggunaannya dalam Statika

Bab 7 : Aturan Diferensiasi dan Penggunaannya dalam Statika Komparatif 7. 1 Aturan Diferensiasi Satu Variabel

7. 2 Aturan Diferensiasi yang Melibatkan Dua atau Lebih Fungsi dari Variabel yang Sama

Mencari Fungsi Pendapatan Marjinal dari Fungsi Pendapatan Rata-rata. Bila diketahui pendapatan rata-rata(AR) pertama kita cari fungsi pendapatan total (R) R = AR. Q MR = d. R = R’ d. Q Hubungan Antara Fungsi Biaya Marjinal dengan Biaya Rata-rata. C = Biaya total AC = Biaya rata-rata Fungsi C = C(Q) Fungsi AC = C(Q)/Q, Q > 0 Perubahan AC terhadap Q dapat dicari dengan mendiferensiasikan AC : d C(Q) = [ C’(Q). Q – C(Q). 1 ] = 1 C’(Q) C(Q) d. Q Q Q 2 Q Q

7. 3 Aturan Diferensiasi yang Melibatkan Fungsi – fungsi dari Variabel yang Berbeda

7. 4 Diferensiasi Parsial

7. 5 Aplikasi pada Analisis Statis - Komparatif • Model Pasar Q = a- b. P (a, b > 0) [ permintaan ] Q = -c + d. P (c, d > 0) [ penawaran ] Dengan penyelesaian P* = a + c Q* = ad – bc b+d Derivatif Parsial P* / P

• Model Pendapatan Nasional Ket : Y = Pendapatan Nasional C = Konsumsi T = Pajak Ekuilibrium Pendapatan : Derivatif Parsial Pendapatan :

• Model Input – Output X 1 * V 11 V 12 V 13 X 2* = V 21 V 22 X 3 * V 31 V 32 V 33 d 1 d 2 d 3 ∂x*j = vjk (j, k = 1, 2, 3) ∂dk Jika diketahui x* = Vd maka : V 11 V 12 V 13 ∂x* = V 21 V 22 ∂d V 31 V 32 V 33 = v = ( I – A )-1

7. 6 Catatan atas Determinan Jacobian

Bab 8 : Analisis Statis – Komparatif dari Model Fungsi-Umum 8. 1 Diferensial dan Derivatif dy/dx = f’(x) merupakan limit dari suatu hasil bagi selisih : ∆y = dy ∆x + ∂ ∆x atau ∆y = f’(x) ∆x + ∂ ∆x dx Diferensial dan Elastisitas-Titik Elastisitas titik permintaan : Ɛd = d. Q/Q = d. Q/d. P d. P/P Q/P Untuk semua fungsi total y = f (x), rumus elastisitas titik y terhadap x adalah : Ɛyx = dy/dx = fungsi marjinal y / x fungsi rata - rata

8. 2 Diferensial Total Fungsi tabungan : S = S(Y, i) S= tabungan Y= Pendapatan Nasional I = Suku Bunga Perubahan total dalam S : d. S = ∂S atau d. S = S di yd. Y + Sidi d. Y + ∂Y ∂i ∂S = d. S ∂Y d. Y i konstan

8. 3 Aturan – aturan Diferensial Misal : k = konstanta , u dan v = variabel x 1 dan x 2; maka berlaku : Aturan I dk = 0 Aturan II d(cun) = cnun-1 du Aturan III d (u ± v) = du ± dv Aturan IV d(uv) = v du + u dv Aturan V d u = 1 ( v du – u dv) v v 2 Aturan VI d ( u ± v ± w ) = du ± dv ± dw Aturan VII d (uvw) = vw du + uw dv + uv dw

8. 4 Derivatif Total Mencari Derivatif Total y = f (x, w) dimana x = g(w) y = f [ g (w), w] dy = dx = ∂y ∂x + ∂Y fx + fw dw ∂x dw ∂w dy = fxdx + fwdw Satu Variasi mengenai Derivatif Total Y = f (x 1, x 2, w) dimana x 1 = g(w) ; x 2 = h(w) dy = ∂y ∂x 1 + ∂y ∂x 2 + ∂y dw ∂x 1 dw ∂x 2 dw ∂w = ∂x f 1 1 + f 2 ∂x 2 + fw dw dw

Variasi Lain mengenai Derivatif Total y = f (x 1, x 2, u, v)dimana x 1 = g(u, v) x 2 = h(u, v) dy = ∂y ∂x 1 + ∂y ∂x 2 + ∂y du + ∂y dv dw ∂x 1 du ∂x 2 du ∂u du ∂v du = ∂y ∂x 1 + ∂y ∂x 2 + ∂y dv = 0 karena v tetap konstan ∂x 1 du ∂x 2 du ∂u du Deriviatif total parsial : = ∂y ∂x 1 + ∂y ∂x 2 + ∂y ∂x 1 du ∂x 2 du ∂u

8. 5 Derivatif dan Fungsi-fungsi Implisit dalil fungsi implisit dari persamaan simultan F 1 (y 1, . . . , yn ; x 1 , . . . , xm ) = 0 F 2 (y 1, . . . , yn ; x 1 , . . . , xm ) = 0. . . . Fn (y 1, . . . , yn ; x 1 , . . . , xm ) = 0 Pasti akan membentuk suatu himpunan fungsisungsi implisit Yi = f 1 (x 1. . . xm) Y 2= f 2 (x 1. . . xm). . . . Yn= fn (x 1. . . xm)

8. 6 Statika Komparatif dan Model-model Fungsi Umum Model pasar Qd = Qs Qd = D (P , Y 0) Qs = S(P) D (P , Y 0) – S(P) = 0 P * = P * (Y 0) D (P * , Y 0) – S(P *) = 0 [kelebihan permintaan = 0 dalam ekuilibrium] Pendekatan persamaan simultan

Penggunaan derivativ total Model pendapatan nasional (IS-LM) Kemiringan dari kurva IS Kemiringan kurva LM

8. 7 Memperluas Model : Suatu Ekonomi terbuka Ekspor neto. Misalkan X melambangkan ekspor, M melambangkakn impor, dan E memlambangkan nilai tukar )diukur sebagai harga domestikk dari mata uanga asing). Ekspor merupakan fungsi yang meningkat dari nilai tukar. X= X(E) di mana X’(E) > 0 . impor merupakan suatu fungsi yang menurun dari nilai tukar tapi merupakan fungsi yang meningkat dari pendapatan. M = K(r, rw) di mana My >0, Me <0 Aliran Modal. Aliran modal neto ke dalam suatu negara merupakan suatu fungsi dari suku bunga domestik r dan seklaigus juga dari suku bunga dunia rw. Misalakan K melambangkan aliran neto yang masuk sehingga K = K(r, rw) di mana Kr > 0, Krw < 0 Neraca pembayaran (balance of payment). Aliran masuk dan aliran keluar dari mata unang asing untuk suatu negar apada umumnya dipisahkan kedalam dua neraca: neraca berjalan (eksporo neto dari barang dan jasa) dan neraca modal (pembelian dari obligasi asing dan domestik). Bersama-sama kedua neraca tersebut membentuk neraca pembayaran. NP = neraca berjalan + neraca modal = [ X(E) – M(Y, E)] + K(r, rw)