BAB 6 INTEGRASI VEKTOR PENDAHULUAN Pada bab ini

BAB 6. INTEGRASI VEKTOR PENDAHULUAN ü Pada bab ini terdapat 4 sub-bab yg perlu diperhatikan ü Ke-4 sub-bab itu merupakan dasar dari Integrasi Vektor ü Empat sub-bab yg harus dipelajari meliputi : 1. Integral biasa vektor ⇨ integral tak-tentu dan tertentu 2. Integral Garis (Kurva) ⇨ integral suatu lintasan 3. Integral Permukaan ⇨ integral luas bidang datar 4. Integral Volume ⇨ integral isi bidang tertutup

6. 1. INTEGRAL BIASA �

Bila A adalah gaya F pada sebuah partikel yg bergerak sepanjang C maka integral garis ini menyatakan usaha yg dilakukan oleh gaya. �

6. 2. INTEGRAL GARIS �

6. 3. INTEGRAL PERMUKAAN �

Integral-integral permukaan (luas) lainnya �

Ø Untuk menghitung integral permukaan (luas) akan lebih mudah �

6. 4. INTEGRAL VOLUME �

Karena B merupakan balok yg melingkupi benda ruang G, maka integral volume : �

Contoh soal Integrasi Vektor �

Jawaban contoh soal Integrasi Vektor �

4. B = 2 xz i – x j + y 2 k dan x = 0 , y = 0 , z = 4 dan z = x 2 �

Latihan soal/PR �

BAB. 7. MATRIKS (Matrices) Pendahuluan Ø Matriks merupakan sederetan bilangan berbentuk persegi panjang yg diapit oleh sepasang kurung siku dan memenuhi aturan 2 tertentu yg diberikan oleh operasi ini. Sebagai contohnya : a. 2 3 7 b. 1 3 1 1 – 1 5 2 1 4 4 7 6 Matriks a dapat dipandang sebagai matriks koefisien dari persamaan linier : 2 x + 3 y + 7 z = 0 dan x – y + 5 z = 0 bisa juga sebagai matriks lengkap persamaan linier takhomogen : 2 x + 3 y = 7 dan x – y = 5. . .

Matriks b, dapat dianggap baris 2 nya sebagai koordinat titik (1, 3, 1) dan (4, 7, 6). Ø. . . Matriks a 11 a 12 a 13 …. . a 1 n a 21 a 22 a 23 …. a 2 n …………… am 1 am 2 am 3 amn disebut matriks berordo m x n. bilangan/fungsi aij disebut elemen, contohnya : a 12, a 23 dst. Ø dalam penulisan subscript ganda, subscript pertama : baris dan subscript kedua : kolom. Jadi semua elemen pada baris kedua mempunyai 2 sebagai subscript pertama dan semua elemen pd kolom kelima mempunyai 5 subscript kedua, dst. Ø Dalam menunjukkan sebuah matriks kadang dipakai sepasang tanda kurung ( ), garis tegak ganda | |, tapi umumnya digunakan kurung siku ganda [ ] Ø . . .

7. 1. Matriks Bujur sangkar Bila m = n, (1, 1) adalah bujur sangkar dan akan disebut matriks bujur sangkar berordo n atau sebuah matriks bujursangkat n. Dalam suatu matriks bujur sangkar, elemen a 11, a 22, … amn disebut elemen diagonal. Jumlah elemen 2 diagonal matriks bujur sangkar A disebut trace A. Matriks Sama Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] disebut sama, A = B, jika dan hanya jika keduanya berordo sama serta setiap elemen yg seletak sama, yaitu jika dan hanya jika : aij = bij dimana i = 1, 2, 3, …m dan j = 1, 2, 3, …. n. Jadi dua matriks dikatakan sama jika dan hanya jika yg satu merupakan duplikat yg lainnya. Matriks Nol Matriks yg semua elemennya nol disebut matriks nol. Jadi A = 0

7. 2. Jumlah dan Selisih Matriks Jika A = [aij] dan B = [bij] , dua buah matriks m x n, maka jumlah atau selisih, A ± B didefinisikan sebagai matriks C = [cij], m x n, dengan tiap elemen C adalah jumlah atau selisih elemen A dan elemen B yg seletak. Jadi A ± B = [aij ± bij]. Contoh : A= 2 2 3 B= 2 3 1 2 1 4 -1 2 - 3 maka A + B = 2+2 2+3 3+1 4 5 4 2+(– 1) 1+2 4+(– 3) = 1 3 1. . . A–B=. 2– 2 2– 3 3– 1 2 – (– 1) 1 – 2 4 – (– 3) = 0 – 1 2 3 – 1 7

Ø Dua matriks berordo sama disebut bersesuaian untuk penjumlahan atau pengurangan Dua matriks berordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Contohnya : pada matriks a dan b di atas, tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan. Ø Jumlah dari k buah matris A adalah suatu matriks yg berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yg seletak. Contoh : A= 1 – 2 2 – 3 maka 3 A=A 3=A+A+A= 1 – 2 + 1 – 2 3 – 6 2 – 3 = 6 – 9 – 5 A = – 5 10 Ø . . – 10 15

Dengan asumsi bahwa matriks A, B dan C adalah bersesuaian untuk penjumlahan, dapat dinyatakan : 1. A + B = B + A Hukum Komutatif 2. A + (B + C) = (A + B) + C Hukum Asosiatif 3. k (A + B) = k. A + k. B = (A + B) k 4. Terdapat suatu matriks D sedemikian sehingga A + D = B Hukum 2 ini merupakan hasil dari hukum aljabar elementer yg mengatur penjumlahan bilangan dan polinom.

7. 3. PERKALIAN MATRIKS Ø Bila matriks A = [ a 11 a 12 a 13 …a 1 m ] yg berordo 1 x m dan matriks B = b 11 b 21. … bm 1 yg berordo m x 1. Maka hasil kali AB = C [a 11 b 11 + a 12 b 21 + a 12 b 31 + …… + a 1 m bm 1] yg berordo 1 x 1 Ø Perhatikan bahwa operasinya adalah elemen baris dikalikan elemen kolom yg sepadan lalu hasilnya dijumlahkan. Contoh : A = a 11 a 12 B = b 11 b 12 a 21 a 22 b 21 b 22 a 31 a 32 maka A B = a 11 a 12 b 11 b 12 a 21 a 22 b 21 b 22 = a 31 a 32. . .

. A B = a 11 a 12 b 11 b 12 a 21 a 22 b 21 b 22 = a 31 a 32 a 11 b 11 + a 12 b 21 a 11 b 12 + a 12 b 22 a 21 b 11 + a 22 b 21 a 21 b 12 + a 22 b 22 a 31 b 11 + a 32 b 21 a 31 b 12 + a 32 b 22 Ø Hasil kali AB terdefinisi atau A bersesuaian terhadap B utk perkalian hanya jika banyaknya kolom A sama dengan baris B. Bila A bersesuaian terhadap B utk perkalian, maka B tidak perlu bersesuaian terhadap A utk perkalian. Ø Dengan anggapan bahwa A, B, C bersesuaian utk jumlah dan hasil kali yg ditunjukkan, ada beberapa ketentuan : 5 A(B + C) = AB + AC Hukum Distributif 1 6. (A + B) C = AC + BC Hukum Distributif 2 7. A(B+C) = (AB)C Hukum Asosiatif. .

7. 4. Hasil-kali Matriks dengan Partisi �

Dalam sembarang partisi demikian diperlukan bahwa kolom 2 A dan baris 2 B dipartisi secara eksak dengan cara yg sama; tetapi �

Contoh soal Matriks 1. Bila matriks A =. . 1 2 1 0 dan B = 4 0 2 2 2 -5 2 1 Tentukan a. A + B b. A – B 2. Jika diberikan matriks P = 3 4 1 2 1 5 1 3 2 -2 3 -2 . . 1 2 3 4 5 6 dan Q = -3 -2 1 -5 4 3 Hitunglah R sedemikian rupa sehingga P + Q – R = 0 ? 3. a. Bila matriks K = [ 2 3 -1 ] dan L = 4. 5 6 . . . Tentukan K L ? .

. 3 b. Bila matriks K = [ 2 3 -1 ] dan L = 4 5 6 2 1 ] dan N = 4 -6 9 6 0 -7 10 7 5 8 -11 -8 . . Tentukan LK ? 3 c. Bila matriks M = [ 3. . . Tentukan MN ? 3 d. Bila matriks O =. . 2 3 4 1 5 6 dan P = 1 2 3 1 2 1 4 0 2 dan R = 3 1 -4 -2 2 . Tentukan OP ? 3 e. Bila matriks Q =. . Tentukan QR ? 5

. 4. Bila matriks A =. 1 -1 1 -3 2 -2 1 dan B = 1 2 3 -1 2 4 6 0 1 2 3 Tentukan AB dan BA ? 5 a. Bila matriks S =. 2 1 0 3 2 0 1 dan T = 1 1 2 0 1 1 0 2 3 1 1 Tentukan ST dengan metode parsial ? 5 b. Bila matriks U = 1 0 0 1 dan V =. 2 1 0 0 0 1 0 2 0 1 0 0 0 1 3 1 2 . Tentukan UV dengan metode parsial ?

Jawaban contoh soal Bab 7. Matriks 1. . . 1 2 1 0 4 0 2 2 2 -5 2 1 3 4 1 2 + 1 2 1 0 4 0 2 2 2 -5 2 1 . . 1 5 1 3 2 -2 3 -2 – 4 = 6 2 2 . 5 5 3 5 4 -7 5 -2 3 4 1 2 1 5 1 3 2 -2 3 -2 = . -2 -2 0 -2 3 -5 1 -1 0 -3 -1 3 . 2. P + Q – R = 0. . . 1 2 3 4 5 6 + -3 -2 1 -5 4 3 1– 3–a=0 a=-2 4– 5–d=0 d=-1 a b 0 – c d = 0 e f 0 2– 2–b=0 5+4–e=0 e=9 . 0 0 0 . . 3+1–c=0 c=4 6+3–f=0 f=9 .

Jadi R=. . -2 0 4 9 -1 9 3 a. KL = [ 2. . 3 b. LK =. . 4 5 6 3 c. MN = [ 3. . =. 3 -1] 4 5 6 = [ 2(4) + 3(5) +(-1)(6) ] = [ 17 ] [2 3 -1 ] = 2 1 ] 4(2) 4(3) 4(-1) 4(2) 5(3) 5(-1) 6(2) 6(3) 6(-1) 4 -6 9 6 0 -7 10 7 5 8 -11 -8 [3(4) + 2(0) + 1(5) 3(-6) + 2(-7) + 1(8) = [ 17 -24 36 18 ] = = 8 10 12 12 -4 15 -5 18 -6 . 3(9) + 2(10) + 1(-11) 3(6) + 2(7)+1(-8) ]

3 d. OP = . . 2 3 4 1 1 5 6 2 3 e. QR = . . 1 2 1 4 0 2 = 3 8 3 1 -4 -2 2 . . . 5 = 1(3) + 2(1) + 1(-2) 1(-4) + 2(5) + 1(2) 4(3) + 0(1) + 2(-2) 4(-4) + 0(5) + 2(2) 8 -12 4. EF = 1 -1 1. 20 29 3 . . 2(1) + 3(2) + 4(3) = 1(1) + 5(2) + 6(3) = -3 2 -1 1 2 2 3 4 6 -2 1 0 1 2 3 = 1(1)+(-1)(2)+1(1) . = 1(2)+(-1)(4)+1(2) 1(3)+(-1)(6)+1(3) -3(1)+2(2)+(-1)(1) (-3)(2)+2(4)+(-1)(2) (-3)(3)+2(6)+(-1)(3) (-2)(1)+1(2)+(0)(1) (-2)(2)+(1)(4)+(0)(2) (-2)(3)+1(6)+(0)(3)

. = 0. . 0 0 0 FE =. . . = 0 0 0 1 2 3 2 4 6 1 -1 1 -3 2 -1 1 2 3 -2 1 0 . = 1(1)+(2)(-3)+3(-2) 1(-1)+(2)(2)+3(1) 1(1)+(2)(-1)+3(0) 2(1)+4(-3)+(6)(-2) (2)(-1)+4(2)+(6)(1) (2)(1)+4(-1)+(6)(0) (1)(1)+2(-3)+(3)(-2) (1)(-1)+(2)(2)+(3)(1) (1)(1)+2(-1)+(3)(0) = -11 -22 -11 6 12 6 -1 -2 -1 Jadi EF ≠ FE

5 a. ST dengan metode Partisi : 1 1 1 0 2 1 1 0 0 1 2 3 1 2 + 0 2. . 1 0 3 2 2 1 1 1 1 1 2 1 1 S 11 T 11 + S 12 T 21 S 11 T 12 + S 12 T 22 ⩰ S 21 T 11 + S 22 T 21 S 21 T 12 + S 22 T 22 [2 3 1] 0 2 1 3 2 + 0 [2] 0 . . [1 0] . 4. + 3 3 7 5 5 + [ 1 ] [2 3 1] [1 0] 0 0 0 0 0 ] + [2 3 + 0 0 . . [1 1 1 0 1 ] [0]+[2] + [1] [2] .

. . 4 3 3 0 7 5 5 0 . . = . . 4 3 3 0 7 5 5 0 3 4 2 2 . [3 4 2 ] [2 ] 5 b. UV dengan metode Partisi. . 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 2 0 1 0 0 0 1 3 1 . . . . 1 0 0 0 1 4 1 2 6 3 4 9 3 7 1 0 0 0 1 . ⩰ [ U 11 V 11 . U 12 V 21 ] 2 + 1 2 3 [ 3 2 1] = 1 0 0 0 1 3 1 2 6 2 4 9 3 6

SOAL LATIHAN/PR Bab 7. MATRIKS 1. A = 1 2 -3. , B = 3 -1 2 dan C = 4 1 2 5 0 2 4 2 5 0 3 2 Hitunglah : a. A + B = ? dan A – C = ? b. D bila A – B + C = 0 ? 2. P = 1 3 2 Q= 1 4 1 0 R = 2 1 -1 -2. . 2 1 -3 4 -3 -1 2 1 1 -2 1 2 3 -1 -1 -1 2 -5 -1 0 Buktikan bahwa : PQ = PR 3. K = 1 0 0 0 L = 1 0. . . . 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 6 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 0 0 2 0 Hitunglah KL dengan metode Parsial ? 0 0 0 3 .

BAB 8. JENIS-JENIS MATRIKS Pendahuluan Ø Matriks dapat dibagi atas beberapa jenis, dalam SAP dibedakan atas 8(delapan) jenis Ø Ada delapan jenis matriks yg perlu dipelajari dalam kuliah Matriks yaitu yg akan dijelaskan secara singkat di bawah. . . 8. 1 MATRIKS SATUAN - Matriks bujur-sangkar A yg elemen 2 nya aij = 0 utk i ˃ j disebut segitiga atas - Matriks bujur sangkar A yg elemen 2 ny aij = 0 utk i < j disebut segitiga bawah - Matriks diagonal

. . . a 11 a 12 a 13 …a 1 n 0 a 22 a 23 … a 2 n 0 0 a 33 …. a 3 n … 0 , , , . …. …… 0 0 ann a 11 a 21 a 31 …. an 1 0 a 22 a 32 …. an 2 0 …… 0 0 … … 0 a 33 … … 0 …. …. …. an 3 … ann . . a 11 0 0 …. 0 0 a 22 0 …. 0 0 0 a 33 …. 0 = matriks diagonal = diag (a 11, a 22, a 33, …. . ann ) …. …. 0 0 0 ann - Bila dalam matriks diagonal D, a 11 = a 22 = …. = ann = k, D disebut matriks skalar. - Bila k = 1 matriks itu disebut matriks satuan atau matriks identitas, ditunjukkan oleh In. Misalnya : I 2 = 1 0 I 3 = 1 0 0. . 0 1 0 0 0 1

8. 2 MATRIKS BUJUR SANGKAR KHUSUS Ø Bila A dan B matriks bujur sangkar sedemikian sehingga AB = BA, maka A dan B disebut komutatif atau dapat saling dipertukarkan. Ø Bila A dan B sedemikian sehingga AB = – BA, maka matriks A dan B disebut anti-komutatif Ø Matriks A dengan sifat Ak+1 = A dengan k bulat positif, disebut periodik Ø Bila k bilangan bulat positif terkecil utk mana Ak+1 = A. maka A disebut berperiode k Ø Bila k = 1 sehingga A 2 = A maka A disebut idempoten Ø Matriks A utk mana Ap=0 dengan p bilangan bulat positif disebut nilpoten Ø Bila p bilangan bulat positif terkecil utk mana Ap = 0 maka A disebut nilpoten berindex p

8. 4 TRANSPOSE MATRIKS Ø Matriks berordo m x m yg diperoleh dari penukaran baris dengan kolom matriks A, m x m disebut tanspose dari A dan dinyatakan oleh A. Misalnya : A= 1 2 3 ⇨ A’ = 1 4. . . 4 5 6. 2 5 3 6 Perhatikan bahwa elemen aij pada baris ke i dan kolom ke j dari A berada pada baris ke j dan kolom ke i dari A’. Ø Bila A’ dan B’ masing 2 transpose dari A dan B, dan jika k suatu skalar maka : a. (A’)’ = A b (k. A) = k. A’ c. (A + B)’ = A’ + B’ d. (AB)’ = B’ · A’

8. 3 MATRIKS BALIKAN (Matriks Invers) Ø Bila A dan B matriks bujur sangkar sedemikian sehingga AB = BA = I maka B disebut invers (balikan) dari A, B = A-1. Matriks B juga mempunyai invers, yaitu A, ditulis A = B-1 Misal : 1 2 3. 6 -2 -3 -1 1 0 -1 0 1 Ø Jika 1 0 0 = 0 1 0 0 0 1 . =I . 1 3 3 1 2 4 A and B matriks bujur sangkar berordo sama dengan invers masing 2 A-1 dan B -1 maka (AB)-1 = B-1 A-1 Ø Sebuah matriks sedemikian sehingga A 2 = I disebuat involuntari. Jadi matriks involuntari adalah balikannya sendiri. Misalnya matrik satuan.

8. 5 MATRIKS SIMETRI Matriks A sedemikian sehingga A’ = A disebut simetri. Jadi suatu matriks bujur sangkar A = [aij ] adalah simetri asalkan aij = aji untuk semua i dan j. Misalnya : A= 1 2 3. 2 4 -5 3 -5 6 . adalah simetri dan juga k. A untuk sembarang skalar k. Ø Jika A matriks bujur sangkar berordo n maka A + A’ adalah simetri Ø Matriks bujur sangkar A sedemikian sehingga A’ = – A disebut simetri miring. Jadi suatu matriks bujur sangkar A adalah simetri miring aij = – aji untuk semua nilai i dan j. Dan elemen 2 diagonal nol. Misalnya : A = 0 -2 3. . . 2 0 -3 -4 4 0 . adalah simetri miring dan juga k. A utk sebarang k.

8. 6 KONYUGAT SUATU MATRIKS �

3. Konyugat jumlah dua matriks adalah jumlah konyugatnya, yaitu �

8. 7 MATRIKS HERMITE �

8. 8 MATRIKS JUMLAH LANGSUNG Tetapkan A 1, A 2, …, As masing 2 adalah matriks bujur sangkar berordo m 1, m 2, …, ms. A = A 1 0 …. 0 0 A 2 … 0 = diag (A 1, A 2, …As) …………. . 0 0 As dari matriks diagonal disebut jumlah langsung dari As. Contohnya : tetapkan A 1 = 1 2 dan A 2 = 1 2 -1. . . 3 4 2 4 0 1 3 -2 Jumlah langsung A 1, A 2, A 3 adalah diagonal (A 1, A 2, A 3) =

. =. . 0 0 0 2 0 0 0 1 2 0 0 0 0 3 1 2 4 4 2 0 1 0 0 -1 3 -2 0. .

Contoh soal Jenis Matriks 1. Buktikan bahwa matriks A =. . 2. Bila B =. . 1 1 5 2 -2 -1 3 6 -3 3. Diketahui matriks P =. 2 -2 -4 -1 3 1 -2 4 -3 adalah idempoten ? buktikan bahwa matriks B nilpoten berordo 3 2 3 6 5 4 -1 dan Q = . 4 5 2 3 1 0 Tentukan : a. PQ b. P’Q’ (transpose P dikali transpose Q) ? 4. Jika K = 1 – 2 i - i dan L = 2 – 2 i i. . 3 . . Hitunglah : 2 + 3 i 2 2 – 3 i

Jawaban contoh soal Jenis 2 Matriks 1. . . 2 -2 -4 -1 3 4 1 -2 2 -2 -1 3 1 -2 -3 2(2)+(-2)(-1)+(-4)(1). . -1(2)+3(-1)+4(1) 1(2)+(-2)(-1)+(-3)(1) -4 4 -3 . = . 2(-2)+(-2)(3)(-4)(-2) 2(-4)+(-2)(4)+(-4)(-3) -1(-2)+3(3)+4(-2) -1(-4) +3(4)+4(-3) 1(-2+(-2)(3)+(-3)(-2) 1(-4)+(-2)(4)+(-3) = 2 -2 -4 -1 3 4 1 -2 -3 2. B 2 = B B = 1 1 3 5 2 6 -2 -1 -3 . . . . = 1 1 3 5 2 6 -2 -1 -3 1(3)+1(6)+3(-3) 5(1)+2(5)+6(-2) 5(1)+2(2)+6(-1) 5(3)+2(6)+6(-3) (-2)(1)+(-1)(5)+(-3)(-2)(1)+(-1)(2)+(-3)(-1) (-2)(3)+(-1)(6)+(-3) 1(1)+1(5)+3(-2) 1(1)+1(2)+3(-1)

. =. . 0 0 0 3 3 9 -1 -1 -3 B 3 = B 2 B =. . . . 0 0 0 3 3 9 -1 -1 -3 1 1 5 2 -2 -1 0 3(1)+3(5)+9(2) (-1)(1)+(-1)(3)+(-3)(-2) 0 0 0 0 0 3 a. PQ = 2 3 6 5 4 -1 4 5 2 3 1 0 3 6 -3 0 0 3(1)+3(2)+(9)(1) 3(3)+3(6)+9(-3) (-1)(1)+(-1)(2)+(-3)(-1)(3)+(-1)(6)+(-3) = = 2(4)+3(2)+6(1) 2(5)+3(3)+6(0) 5(4)+4(2)+(-1)(1) 5(5)+4(3)+(-1)(0) 20 19 27 21

SOAL LATIHAN/PR JENIS 2 MATRIKS 1. Buktikan bahwa matriks P =. . 2. Bila matriks Q =. . 1 -3 2 -2 2 0 -6 9 -3 3. Buktikan bahwa matriks A =. . . dari matriks B = 2 -3 -5 -1 4 1 -3 5 -4 adalah idempoten ? . . buktikan bahwa matriks Q nilpoten ? 1 2 3 2 5 7 -2 -4 -5 adalah balikan (invers) 3 -2 -1 -4 1 -1 2 0 1 4. Buktikan bahwa matriks D, adalah matriks Hermite ?

. D=. . 1 1+i 2+3 i 1 - i 2 -i 2 -3 i i 0

BAB 9. DETERMINAN MATRIKS BUJUR SANGKAR