BAB 5 Trigonometri Standar Kompetensi q Menggunakan perbandingan

BAB 5 Trigonometri Standar Kompetensi: q Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri dalam pemecahan masalah. Kompetensi Dasar: q Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri. q Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri. q Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri dan penafsirannya.

UKURAN SUDUT Ukuran Sudut dalam Derajat Satu derajat (ditulis = 1 ) didefinisikan sebagi ukuran besar sudut yang disapu oleh jari-jari lingkaran dalam jarak putar sejauh 1 putaran. 360 1 = 1 putaran 360

Ukuran-ukuran sudut yang lebih kecil dari ukuran derajat, dinyatakan dalam ukuran menit dan ukuran detik. a. 1 derajat = 60 menit atau 1 menit = Ditulis: 1 = 60’ b. 1 menit = 60 detik atau 1’ = 1 60 atau 1 detik = atau 1” = derajat Ditulis: 1’ = 60” 1 60 ‘ 1 60 menit

Ukuran Sudut dalam Radian panjang busur PQ MP Nilai perbandingan panjang busur PQ MP = panjang busur P Q MP dinyatakan dalam ukuran radian. Nilai perbandingan panjang busur PQ r = r MP = 1 Satu radian (ditulis: 1 rad didefinisikan sebagi ukuran sudut pada bidang datar yang berada di antara dua jari-jari lingkaran dengan panjang busur sama dengan panjang jari-jari lingkaran.

Mengubah Ukuran Sudut dari Derajat ke Radian dan Sebaliknya Besar sudut PMQ dalam ukuran radian panjang busur PQ MP r Q PMQ = r sebab panjang busur PQ = setengah kelilingkaran PMQ = 180 r M radian Kesimpulan: a. 1 = radian 180 3, 14159 c. 1 ~ = 180 radian = 0, 017453 radian atau b. 1 radian = 180 d. 1 radian ~ = 180 3, 14159 = 57, 296 P

Perbandingan-perbandingan Trigonometri B β c a C = sisi di hadapan sudut a hipotenusa = a c b) cos a = sisi di dekat sudut a hipotenusa = b c c) tan a = sisi di hadapan sudut a sisi di dekat sudut a = b a a) sin a b a A d) cot a e) sec a = = f) cosec a = sisi di dekat sudut a sisi di hadapan sudut a hipotenusa sisi di dekat sudut a hipotenusa sisi di hadapan sudut a = = b c a

1. Rumus Kebalikan a) sin a = b) cos a = c) tan a = d) cot a = e) sec a = 1 cosec a = a) tan a = b) cot a = 1 sec a 1 cot a 1 tan a 1 cos a f) cosec a 2. Rumus Perbandingan 1 sin a cos a sin a

Menentukan Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut Khusus (sering pula disebut sebagai sudut istimewa) adalah suatu sudut di mana nilai perbandingan trigonometrinya dapat ditentukan secara langsung tanpa menggunakan daftar trigonometri atau kalkulator. Sudut-sudut khusus : 0 , 30 , 45 , 60 , dan 90. Lingkaran Satuan a) sin b) cos c) tan y = PP = y, 1 = OP = x = x, dan OP 1 y = PP = x , dengan catatan x 0 OP

1. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 0 a) sin 0 = y b) cos 0 = 1, dan c) tan 0 = sin 0 = 0 cos 0 1 0 P(1, 0) 1 x

2. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 30 (OP )2 + (PP)2 = (OP)2 (OP )2 = (OP)2 (PP )2 (OP )2 = 12 ( 12 )2 = OP = 1 2 3 4 3 OP menyatakan absis titik P atau x = Untuk a = 30 maka koordinat titik P adalah ( 12 sin 30 = 1 2 cos 30 = 1 2 tan 0 = 3 sin 30 = cos 30 1 2 3 = 1 3 3 3 ), sehingga diperoleh: 1 2 3.

3. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 45 y (OP )2 + (PP)2 = (OP)2 x 2 + y 2 = 1 P(x, y) 1 0 45 x y x P 2 x 2 = 1 x 2 = x= 1 2 1 = 3 Karena x = y, maka y = Untuk 1 3 1 2 3 2. = 45 maka koordinat titik P adalah (1 2 , 1 2 ), sehingga diperoleh: 2 sin 45 = 1 2 2 cos 45 = 1 2 2 , dan tan 0 = sin 45 = cos 45 1 2 2 3 = 1 2

4. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 60 y P(x, y) 1 OP = y 0 60 x P 1 2 Q(1, 0) x Untuk ( 1 2 , 1 2 = 60 maka koordinat titik P adalah 3 ), sehingga sin 60 = 1 cos 60 = 1 tan 60 = 2 1 2 , 1 2 3 = (cos 60 , sin 60 ) 3 2 sin 60 = cos 60 1 2 3 1 2 = 3

5. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 90 y Jika sudut = 90 , maka kaki sudut OP berimpit dengan sumbu Y positif atau titik P berada pada sumbu Y positif. P(0, 1) 1 0 90 x Koordinat titik P adalah (0, 1), sehingga (0, 1) = (cos 90 , sin 90 ) sin 90 = 1 cos 90 = 0, dan 1 (tidak didefinisikan) tan 0 = sin 90 = cos 90 0

Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut di Semua Kuadrat (ja ra k) Y P(x, y) x 2 +y 2 A r= 0 a) sin α b) cos α c) tan α y (ordinat) x (absis) y ordinat = = r jarak x = absis = r jarak y ordinat = = x absis x d) cot α = absis = x y ordinat e) sec α = jarak = r x ordinat f) cosec α = jarak = r y ordinat

Tanda-Tanda Perbandingan Trigonometri Sudut-Sudut di Semua Kuadrat Y II I sin, positif cosec, positif semua positif 0 III X IV tan, positif cos, positif cot, positif sec, positif

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut-sudut Berelasi 1. Definisi Sudut-Sudut Berelasi Misalkan suatu sudut besarnya α. Sudut lain yang besarnya (90 α) dikatakan berelasi dengan sudut α dan sebaliknya. Sudut-sudut lain yang berelasi dengan sudut α adalah sudut-sudut yang besarnya: a. (90 + α ) b. (180 α ) c. (270 α ) d. (360 α ) e. α

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (90 - α ) a) sin (90 α ) Y Q 0 b) cos (90 α ) Q(x, y) α 1 1 α x P(x, y) y P c) tan (90 α ) x d) cot (90 α ) e) sec (90 α ) y = r y = = 1 = x = y y = = x = 1 = y = f) cosec (90 α ) = cos α sin α cot α tan α cosec α 1 = sec α x

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (90 + α ) x a) sin (90 + α ) = 1 y b) cos (90 + α ) = 1 c) tan (90 + α ) = x y d) cot (90 + α ) = y x e) sec (90 + α ) = 1 y = cos α = y = sin α 1 = x = cot α y = xy = tan α = 1 = cosec α y f) cosec (90 + α ) = 1 = sec α x

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (180 α ) y = sin α 1 b) cos (180 α ) = x = cos α 1 1 c) tan (180 α ) = x = tan α y y a) sin (180 α ) = d) cot (180 α ) = y -x = y = cot α x e) sec (180 α ) = 1 = sec α x x f) cosec (180 α ) = 1 = cosec α y

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (180 + α ) a) sin (180 + α ) = sin α b) cos (180 + α ) = cos α c) tan (180 + α ) = tan α d) cot (180 + α ) = cot α e) sec (180 + α ) = sec α f) cosec (180 + α ) = cosec α

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (270 α ) a) sin (270 α ) = cos α b) cos (270 α ) = sin α c) tan (270 α ) = cot α d) cot (270 α ) = tan α e) sec (270 α ) = cosec α f) cosec (270 α ) = sec α

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (270 + α ) a) sin (270 + α ) = cos α b) cos (270 + α ) = sin α c) tan (270 + α ) = cot α d) cot (270 + α ) = tan α e) sec (270 + α ) = cosec α f) cosec (270 + α ) = sec α

Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut ( α ) a) sin ( α ) = b) cos ( α ) = y 1 x = y 1 = sin α = cos α 1 y c) tan ( α ) = = y = tan α x x d) cot ( α ) = = = cot α y y 1 = sec α x 1 f) cosec ( α ) = 1 = = cosec α y y e) sec ( α ) =

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (n 360 α ) a) sin (n 360 α ) = sin ( α ) = sin α b) cos (n 360 α ) = cos ( α ) = cos α c) tan (n 360 α ) = tan ( α ) = tan α d) cot (n 360 α ) = cot ( α ) = cot α e) sec (n 360 α ) = sec ( α ) = sec α f) cosec (n 360 α ) = cosec ( α ) = cosec α

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (n 360 + α ) a) sin (n 360 + α ) = sin α b) cos (n 360 + α ) = cos α c) tan (n 360 + α ) = tan α d) cot (n 360 + α ) = cot α e) sec (n 360 + α ) = sec α f) cosec (n 360 + α ) = cosec α

Identitas Trigonometri Identitas trigonometri dasar merupakan hubungan kebalikan a) sin α = b) cos α = 1 1 atau cosec α = cosec α sin α 1 sec α c) tan α = 1 cot α atau sec α = 1 cot α atau cot α = 1 tan α

Identitas Trigonometri Identitas trigonometri dasar yang diperoleh dari hubungan teorema Pythagoras a) sin α + cos 2 α = 1 b) 1 + tan 2 α = sec 2 α c) 1 + cot 2 α = cosec 2 α

Grafik Fungsi Trigonometri 1. Grafik Fungsi y = sin x (0 x 360)

2. Grafik Fungsi y = cos x (0 x 360)

3. Grafik Fungsi y = tan x (0 x 360)

Aturan Sinus C c b = = sin A sin B sin C a Q P b Persamaan ini disebut aturan sinus atau dalil sinus. a A c B R Dalam tiap segitiga ABC, perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut yang berhadapan dengan sisi itu mempunyai nilai yang sama. c b = = sin A sin B sin C a

Aturan Kosinus a 2 = b 2 + c 2 2 bc cos A b 2 = a 2 + c 2 2 ac cos B c 2 = a 2 + b 2 2 ac cos C Persamaan-persamaan ini disebut aturan kosinus atau dalil kosinus.

Pada segitiga ABC berlaku aturan kosinus yang dapat dinyatakan dengan persamaan a 2 = b 2 + c 2 2 bc cos A b 2 = a 2 + c 2 2 ac cos B c 2 = a 2 + b 2 2 ac cos C

Jika dalam ABC diketahui sisi-sisi a, b, dan c (ss. ss), maka besar sudut-sudut A, B, dan C dapat ditentukan melalui persamaan: cos A = b 2 + c 2 a 2 2 bc cos B = a 2 + c 2 b 2 2 ac 2 + b 2 c 2 a cos C = 2 ab

Luas Segitiga dengan Dua Sisi dan Satu Sudut Diketahui L = 1 bc sin A 2 L = 1 ac sin B 2 L = 1 ab sin C 2

Luas Segitiga dengan Dua Sisi dan Sebuah Sudut di Hadapan Sisi Diketahui Langkah 1: Tentukan besar sudut-sudut yang belum diketahui dengan memakai aturan sinus. Langkah 2: Setelah semua sudut diketahui, hitunglah luas segitiga dengan menggunakan salah satu rumus di atas.

Luas Segitiga dengan Dua Sudut dan Satu Sisi Diketahui Luas ABC jika diketahui besar dua sudut dan panjang satu sisi yang terletak di antara kedua sudut itu dapat ditentukan dengan menggunakan salah satu rumus berikut. L= L= L= a 2 sin B sin C 2 sin A b 2 sin A sin C 2 sin B c 2 sin A sin B 2 sin C

Luas Segitiga dengan Ketiga Sisinya Diketahui Luas ABC jika diketahui panjang ketiga sisinya (sisi a, sisi b, dan sisi c) dapat ditentukan dengan rumus: L = s(s a)(s b)(s c) dengan s = 1 (a + b + c) = setengah keliling ABC. 2