BAB 4 MEDAN BERUBAH TERHADAP WAKTU DAN PERSAMAAN

BAB 4 MEDAN BERUBAH TERHADAP WAKTU DAN PERSAMAAN MAXWELL

Hubungan antara ggl dan medan magnetik berubah terhadap waktu dirumuskan dalam bentuk integral hukum Faraday sebagai berikut: B n n B ATURAN TANGAN KANAN

HUKUM LENZ Arus yang diinduksikan selalu mempunyai berlawanan terhadap fluksi penyebab induksi (a) (b) (c) efek yang

Contoh soal 1 Loop konduktor melingkar pada Gambar 4 -2 terletak pada bidang datar z = 0. Loop ini memiliki jari-jari sepanjang 0, 1 m dan resistansi R sebesar 5 Ω. Jika diberikan B= 0, 20 sin 103 t az (T) maka tentukanlah besarnya arus i ! Penyelesaian: fluksi total yang menembus loop adalah (Wb) y Tegangan (ggl) di sekeliling loop adalah R (V) Dan arusnya adalah (A)

Medan magnetik sederhana yang bertambah eksponensial terhadap waktu dalam daerah yang berbentuk tabung r < b dengan B = Boektaz maka medan listrik yang dihasilkan adalah = 2πa. E ggl = a = ρ, ρ< b, maka dapat diketahui = - d ò B. ds =-k. Boektπa 2 dt E = -k. Boektρ aρ Dicari jawaban yang sama dengan metode yang berbeda ( X E)z = -k. Boekt =E =-k. Boektρ aρ

Hukum Ampere dan Arus Perpindahan Dalam medan statis Jc, = kerapatan arus konduksi; Jika divergensi diberlakukan mensyaratkan bahwa X H = Jc pada curl, identitas vektor --> untuk medan yang berubah terhadap waktu, divergensi J. adalah tidak sama dengan nol. Untuk medan magnetik statik X H = Jc XH=0= . Jc,

. Jc = Dengan menggunakan hukum Gauss X H = J+ G 0 =. J +. G. G = Ganti ρ dgn . D, . G = G= =

laju pergerakan muatan yang keluar dari suatu daerah sama dengan laju pengurangan muatan yang berada dalam daerah tersebut. X H = Jc + Jd Jc = σE Jc = ρv V Jika Jc = 0 XH=

Pada seluruh permukaan S pada persamaan Dengan memakai teorema Stokes, ic. = arus konduksi. i. D = arus perpindahan yang melewati suatu permukaan tetap S

Contoh soal 2 Tunjukkanlah bahwa i. C = i. D pada rangkaian Gambar 4. 3! Penyelesaian: oleh karena dua permukaan S 1 dan S 2 memiliki kontur batas yang sama C, maka Dengan mengasumsikan fluksi kapasitor dibatasi pada bahan dielektrik di antara pelat-pelat penghantar maka D = 0 disepanjang S 1. Dan oleh karena tidak terdapat muatan bebas pada bahan dielektrik, maka JC = 0 disepanjang S 1. Oleh karenanya, ic Rangkaian kapasitor yang berubah terhadap waktu Perlu diperhatikan bahwa adalah tidak sama dengan nol hanya pada bagian S 2 yang terletak di dalam bahan dielektrik.

Contoh soal 3 Ulangi contoh soal 2 tetapi dengan menggunakan analisis rangkaian! Penyelesaian: Kapasitansi kapasitor adalah Dimana A adalah luas area pelat dan d adalah jarak pemisah antar pelat. Arus Konduksi adalah Di lain pihak, medan elektrik pada bahan dielektrik, dengan mengabaikan efek penyebaran medan, adalah E = v/d. Dan oleh karenanya, dan arus perpindahan adalah [dengan menggunakan persamaan (8); D normal [terhadap pelat]

Kondisi Batas Dt 1 εr 1 Et 2 εr 2 Dt 2

ü Komponen tangensial dari medan elektrik E adalah kontinyu pada antarmuka (bidang batas) dielektrik. Dalam bentuk simbol, dan ü Dengan menerapkan hukum gauss dan Secara umum bidang batas (antarmuka) tidak memiliki muatan bebas sehingga

Contoh soal 4 Diberikan El = 2 ax — 3 ay + 5 az V/m pada bidang antarmuka tanpa muatan Gambar 4 -4. Carilah D 2 dan sudut-sudut θ 1 dan θ 2 ! Penyelesaian: Bidang batas adalah pada z = konstan. Komponen x dan y adalah tangensial sementara komponen z adalah normal. Dengan sifat kontinyuitas komponen tangensial E dan komponen D diperoleh, Bidang batas dielektrik.

Komponen-komponen yang tidak diketahui sekarang dapat diperoleh berdasarkan relasi D 2 = ε 0εr 2 E 2 dimana diperoleh Untuk memperoleh sudut-sudut θ 1 dan θ 2, untuk medan magnetik, perhatikanlah antarmuka Gambar di samping yang menunjukkan batas antara material 1 dan material 2. Permukaan tertutup pada batas antara dua buah material.

Sifat dari kerapatan medan magnetik, B, normal dapat ditentukan dengan menggunakan sebuah silinder lingkaran kanan kecil yang diposisikan pada antarmuka seperti tampak pada gambar di atas. Oleh karena garis-garis fluksi magnetik kontinyu maka Ujung 1 Sisi lengkung Ujung 2 Sekarang, jika dimisalkan bahwa kedua ujung silinder saling mendekat satu sama lain dengan tetap menjaga antarmuka di antara keduanya, maka area dari sisi lengkung silinder akan menuju nol sehingga ujung 1 ujung 2

Variasi H tangensial pada sebuah bidang antarmuka dapat diperoleh dengan menerapkan Hukum Ampere di sekeliling lintasan rektangular tertutup seperti tampak pada Gambar 4 -6 di bawah ini. Lintasan tertutup pada batas antara dua buah material.

Dengan mengasumsikan tidak ada arus pada bidang antarmuka dan dengan menciutkan bidang rektangular ke arah batas material diperoleh di mana Untuk arus perpindahan, S adalah area yang dibatasi oleh kontur rektangular. Pada saat kontur rektangular diciutkan, area S akan menuju nol sehingga

Untuk arus konduksi, terdapat konfigurasi yang membentuk lembaran arus K (A/m) pada bidang batas (Lihat Gambar). Dalam hal ini, penciutan area rektangular selalu mengandung arus permukaan. Dalam terminologi arus konduksi, dengan demikian diperoleh Bidang batas dengan arus permukaan.

Dengan menyamakan kedua sisi Hukum Ampere menggunakan rumusan di atas diperoleh Atau Karena K merupakan sebuah vektor, persamaan ini akan lebih baik dinyatakan dengan menggunakan pernyataan vektor yang sekaligus menunjukkan arah, (H 1 - H 2) X an 12 = K Di mana vektor satuan normal an 12 berarah dari 1 ke 2. Untuk kasus bidang antarmuka dielektrik-dielektrik yang bersifat nonkonduktif (tidak membentuk arus permukaan), K sama dengan nol dan H tangensial adalah kontinyu di bidang batas. Ht 1 = Ht 2

Contoh soal 5 Daerah 1 didefinisikan sebagai x < 0 dan memiliki permeabilitas relatif μr 1 = 3 Sementara daerah 2 didefinisikan sebagai x > 0 dan memiliki permeabilitas relatif μr 1 = 5. Tidak ada satu daerah pun yang bersifat konduktif. Jika diberikan maka carilah H 2 dan B 2! Penyelesaian: Karena bidang batas berada pada x = 0, maka komponen x adalah normal dan komponen y dan z adalah tangensial. Dengan menggunakan B = μH, Untuk material non konduktif, H tangensial dan B normal adalah kontinyu Suku-suku yang tidak diketahui:

Persamaan Maxwell Secara kolektif, hukum Faraday, hukum Ampere (dengan arus perpindahan), dan hukum Gauss untuk medan elektrik dan magnetik dikenal sebagai persamaan Maxwell. Pada Tabel 4 -1, bentuk umum dari persamaan Maxwell ditampilkan dimana muatan dan arus konduksi ada pada suatu wilayah tertentu. Untuk ruang hampa dan material non-konduktif lainnya (konduktivitas σ = 0), di mana tidak terdapat muatan (ρ = 0) dan arus konduksi (Jc = 0), persama Maxwell mengambil bentuk seperti ditunjukkan oleh Tabel persamaan Maxwell.

Tabel Persamaan Maxwell, Bentuk Umum

Tabel Persamaan Maxwell, Bentuk Umum

Tabel Persamaan Maxwell untuk Medium Ruang Hampa

ü Medan magnetik B yang berubah terhadap waktu dapat menginduksikan arus dalam sebuah loop konduktif tertutup. ü Dalam hukum Ampere, Maxwell menambahkan arus perpindahan yang memenuhi sifat konservasi muatan. ü E tangensial selalu kontinyu pada bidang batas di antara dua buah material. ü B normal selalu kontinyu pada bidang batas di antara dua buah material.

Soal-soal dan Penyelesaiannya Soal 1 Di dalam sebuah material di mana σ = 5, 0 S/m dan εr = 1, intensitas medan elektriknya adalah E = 250 sin 1010 t V/m. Carilah kerapatan arus konduksi dan arus perpindahan serta frekuensi di mana keduanya memiliki magnituda yang sama! Penyelesaian: Kerapatan arus konduksi adalah Jc = σE = 1250 sin 1010 t A/m 2 Dengan asumsi bahwa arah medan tidak berubah terhadap waktu maka, Untuk JC = JD, kita inginkan σ = ωε atau

Soal 2 Sebuah area seluas 0, 65 m 2 pada bidang datar z = 0 dikelilingi oleh filamen konduktor. Carilah tegangan induksi jika diberikan Penyelesaian: Lihat Gambar. . !!! Tegangan induksi diberikan oleh hukum Faraday sebagai yang menembus luas bidang permukaan loop konduktif Medan berkurang pada setengah siklus pertama fungsi kosinus. Arah i dalam loop tertutup adalah sedemikian hingga melawan berkurangnya medan ini. Jadi arus haruslah memiliki arah seperti terlihat dalam gambar

Soal 3 Pada daerah I (Lihat Gambar), B 1 = 1, 2 ax + 0, 8 ay + 0, 4 az T. Carilah H 2, (yaitu H pada z = 0+) dan sudut-sudut di antara vektor-vektor medan tangen terhadap bidang antarmuka! Penyelesaian: Tulislah H, tepat di bawah B 1. Kemudian tulislah komponen H 2 dan B 2 yang mengikuti secara langsung dua aturan yaitu B normal adalah kontinyu dan H tangensial adalah kontinyu pada bidang antarmuka tanpa arus. Masalah batas medan magnetik

Sehingga suku-suku yang tak diketahui dapat ditentukan sebagai Sudut θ 1 adalah 900 – α 1, dimana α 1 adalah sudut antara B 1 dan normal az. Oleh karenanya, αl = 74, 5° dan θ 1 = 15, 5°. Dengan cara serupa diperoleh, θ 2 = 76, 5°.

Soal 4 Sebuah lembaran arus K = 6, 5 az A/m pada x = 0 memisahkan daerah 1, x < 0 di mana H 1 = 10 ay dan daerah 2, di mana x > O. Carilah H 2, pada x = 0+! Penyelesaian: Dari uraian soal tidak disinggung tentang permeabilitas dari kedua daerah, Meskipun demikian, oleh karena H 1 seluruhnya tangensial, perubahan dalam permeabilitas tidak akan memiliki efek [(Bn 1 = 0, Bn 2 = 0) dan oleh karenanya, H 2 n = 0]. Dengan demikian, Jadi, H 2 = 16, 5 ay A/m

Soal 5 Diberikan H = Hme. J(ωt + βz)ax dalam medium ruang hampa. Carilah E! Penyelesaian: Dengan menggunakan hukum Ampere (tidak ada arus J) Dan