BAB 4 FUNGSI KONTINU Definisi 4 1 1

BAB 4 FUNGSI KONTINU Definisi 4. 1. 1 Misalkan A , f : A , c A. Fungsi f dikatakan kontinu di titik c jika diberikan sebarang > 0 terdapat = ( , c) > 0 sehingga untuk setiap x A dengan |x – c| < berlaku | f (x) – f(c)| < . Jika f tidak kontinu di titik c, maka dikatakan f diskontinu di c.

Contoh 4. 1. 2 (a) f (x) = x 2 + 3 x, x kontinu disetiap titik dari . (b) diskontinu di x = 3. (c) diskontinu di x = 3. (d) diskontinu di x = 3.

Teorema 4. 1. 3 Misalkan f : A dan c adalah titik limit dari A. f kontinu di c Contoh 4. 1. 4 (a) diskontinu di setiap titik dari . (b) Misalkan f : kontinu pada , dan S = {x ; f (x) = 0 }. Jika (xn) S, dengan xn x 0, buktikan x 0 S. (c) Misalkan f : kontinu pada , dan f (r) = 0 untuk semua bilangan rasional r, buktikan bahwa f (x) = 0 untuk setiap x . (d) Misalkan g(x) = 3 x untuk x bilangan rasional dan g(x) = 3 + x untuk x bilangan irrasional. Tentukan titik kekontinuan dari g.

4. 2 Kombinasi Fungsi Kontinu Teorema 4. 2. 1 Jika f dan g kontinu di c titik limit A, maka (a) f kontinu di c. (b) f + g kontinu di c. . (c) f g kontinu di c. (d) f /g kontinu di c, asalkan g(c) 0. Teorema 4. 2. 2 Misalkan A, B , f : A dan g : B , dan f (A) B. Jika f kontinu di c dan g kontinu di f (c), maka g◦f kontinu di c.

4. 3 Fungsi Kontinu pada Interval Teorema 4. 3. 2 Jika I = [a, b] dan f kontinu pada I, maka f terbatas pada I. Definisi 4. 3. 3 Fungsi f dikatakan mempunyai nilai maksimum pada A, jika terdapat x* A sehingga f(x*) f(x) untuk semua x A. Fungsi f dikatakan mempunyai nilai minimum pada A, jika terdapat x* A sehingga f(x*) ≤ f(x) untuk semua x A.

Teorema 4. 3. 4 (Teorema Maksimum-Minimum) Jika f kontinu pada I = [a, b], maka f mempunyai maksimum dan minimum mutlak pada I. Teorema 4. 3. 5 (Teorema Akar) Jika f kontinu pada I = [a, b] dan ada , I sehingga f( ) < 0, maka terdapat c I sehingga f (c) = 0. c f(c)=0

Teorema 4. 3. 6 (Teorema Nilai Antara Bolzano) Jika f kontinu pada I dan ada , I, k �sehingga f( )< k < f( ) , maka terdapat c I sehingga f (c) = k. Akibat 4. 3. 7 Misalkan f kontinu pada I = [a, b]. Jika k �memenuhi inf f(I)< k < sup f(I) , maka terdapat c I sehingga f (c) = k. Teorema 4. 3. 8 Jika f kontinu pada I = [a, b], maka himpunan f(I) = { f(x) | x I } merupakan interval tertutup terbatas.

4. 4 Kontinu Seragam Perhatikan dua fungsi berikut: • Fungsi f (x) = 1/x kontinu pada interval (0, ). Diberikan sembarang c > 0 dan > 0. Untuk |x – c | <c/2 berlaku Pilih ( bergantung kepada c dan ). Jika |x – c| < berlaku

• Fungsi g (x) = 4 x untuk x �, kontinu pada �. Untuk sembarang > 0, dapat dipilih = /4 ( hanya bergantung kepada ) sehingga untuk setiap x, y dengan |x – y | < berlaku Definisi 4. 4. 1 Misalkan A , f : A . Fungsi f dikatakan kontinu seragam pada A jika diberikan sembarang > 0 terdapat = ( ) > 0 (hanya bergantung ) sehingga untuk setiap x, y A dengan |x – y| < berlaku | f (x) – f(y)| < .

Jelas bahwa jika f kontinu seragam pada A maka f kontinu pada A, tetapi fungsi yang kontinu pada A tidak perlu kontinu seragam pada A. Teorema 4. 4. 2 (Kriteria Kekontinuan Tak Seragam) Ketiga pernyataan berikut ekuivalen. (a) f kontinu tak seragam pada A (b) Terdapat 0 > 0 sehingga untuk setiap > 0 terdapat x , , y A dgn | x – y | < tetapi | f (x ) – f(y )| 0. (c) Terdapat 0 > 0 dan dua barisan (xn) dan (yn) di dalam A sehingga xn – yn 0 tetapi | f (xn) – f(yn)| 0.

Contoh 4. 4. 3 Tunjukkan bahwa fungsi f (x) = 1/x kontinu tak seragam pada (0, ). Teorema 4. 4. 4 (Teorema Kekontinuan Seragam) Jika I interval tertutup terbatas dan f : I kontinu pada I, maka f kontinu seragam pada I. Definisi 4. 4. 5 Misalkan A , f : A . Fungsi f disebut fungsi Lipschitz pada A jika terdapat K > 0 sehingga | f (x) – f(y)| < K|x – y| untuk setiap x, y A.

Teorema 4. 4. 6 Jika f : A fungsi Lipschitz pada A, maka f kontinu seragam pada A. Contoh 4. 4. 7 (a) Fungsi f (x) = x 2 kontinu seragam pada interval (0, 8). (b) Tidak semua fungsi kontinu seragam adalah fungsi Lipschitz, contoh x [0, 1] (c) Fungsi kontinu seragam pada [0, ).

. Teorema 4. 4. 8 Jika f : A kontinu seragam pada A dan (xn) barisan Cauchy dalam A, maka (f (xn)) barisan Cauchy. Teorema 4. 4. 9 Fungsi f kontinu seragam pada interval (a, b) jika dan hanya jika f dapat diperluas menjadi fungsi kontinu pada [a, b]. Contoh 4. 4. 10 (a) Fungsi f (x) = 1/x kontinu tak seragam pada interval (0, 8). (b) Fungsi g(x) = x sin(1/x) kontinu seragam pada (0, b).