Bab 3 Proof Strategy p Sequences and Summations

Bab 3 Proof Strategy p Sequences and Summations p Mathematical Induction p Recursive Definitions and Structural Induction p Recursive Algorithms p Program Correctness p

Sequences and Summations (Deret dan Penjumlahan) Bab 3 Sub-bab 3. 2

Deret p p p Adalah sebuah fungsi dari himpunan bagian integer ke suatu himpunan S. Himpunan bagian integer yang dimaksud adalah {0, 1, 2, 3, …} atau {1, 2, 3, …} Notasi an adalah term dari sebuah deret Notasi {an} menggambarkan sebuah deret S = { a 0, a 1, a 2, a 3, …, an } atau { a 1, a 2, a 3, …, an} Contoh : Sebuah deret {an} dimana an = 1/n n Maka deret tersebut adalah 1, 1/2, 1/3, 1/4, ….

Deret p Geometric progression: n a, ar 2, ar 3, …, arn dimana a adalah initial term dan r adalah common ratio n Contoh: Deret {bn} dimana bn =(-1)n maka deret tersebut adalah -1, 1, … p Arithmetic progression: n a, a+d, a+2 d, …, a+nd dimana a adalah initial term dan d adalah common difference merupakan bilangan real. n Contoh: Deret {sn} dimana sn =-1 + 4 n maka deret tersebut adalah -1, 3, 7, 11, … p String: a 1 a 2 a 3 … an Empty string = p

Fungsi/Formula dari Deret Apakah fungsi/formula yang bisa menggambarkan deret a 1, a 2, a 3, … ? 1, 3, 5, 7, 9, … an = 2 n - 1 -1, 1, -1, … an = (-1)n 2, 5, 10, 17, 26, … an = n 2 + 1 0. 25, 0. 75, 1, 1. 25 … an = 0. 25 n 3, 9, 27, 81, 243, … an = 3 n

Penjumlahan (summation) p p m disebut batas bawah, n disebut batas, j disebut indeks Double summation bisa dilihat sebagai berikut:

Tabel Penjumlahan

Cardinality p Himpunan A dan B mempunyai cardinality sama jika dan hanya jika ada 1 -1 -correspondence dari A ke B (pemetaan dari A ke B bijective) p Himpunan countable vs himpunan uncountable p Himpunan S disebut countable jika S berhingga atau cardinality S sama dengan cardinality Z+ p Himpunan yang tidak countable disebut uncountable

Definisi rekursif p p Definisi yang menggunakan “diri sendiri” dalam ukuran yang lebih kecil (definisi rekursif), dan penjelasan eksplisit untuk nilai awal (nilai basis). Contoh: definisi rekursif himpunan Ekspresi Aritmatika EA Basis: 1, 2, 3, 4, 5 EA Rekursif: jika a EA dan b EA, maka n n a a +b –b b b EA EA

Rekursif p Rekursif n n n perulangan terhadap diri sendiri, dengan ukuran lebih kecil Ada titik berhenti, apakah pada 0 atau pada 1 Secara prinsip mirip dengan induksi : Ada nilai awal p Ada rumus untuk selanjutnya p p Contoh n misal f didefinisikan sbb : p F(0) = 3 p F(n+1) = 2 f(n) + 3 p Tentukan f(1), f(2), f(3), f(4) p Jawab : • f(1) = 2 f(0) + 3 = 2 3 + 3 = 9 • f(2) = 2 f(1) + 3 = 2 9 + 3 = 21 • f(3) = 2 f(2) + 3 = 2 21 + 3 = 45 • f(4) = 2 f(3) + 3 = 2 45 + 3 = 93

Fungsi Rekursif Bagaimana mendefinisikan fungsi rekursif untuk fungsi faktorial f(n) = n!? p p p p f(0) = 1 f(n + 1) = (n + 1)f(n) f(0) f(1) f(2) f(3) f(4) = = = 1 1 f(0) 2 f(1) 3 f(2) 4 f(3) = = 1 1 2 1 3 2 4 6 = = 1 2 6 24

Fungsi Rekursif Contoh: fungsi Fibonacci Basis: fib(0) = 0; fib(1) = 1 Rekursif: fib(n) = fib(n – 1) + fib(n – 2) Ditulis dengan cara lain: n jika n = 0, 1 fib(n) = fib (n – 1) + fib (n – 2) jika n > 1

Fungsi rekursif Contoh bilangan fibonacci (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, …) p p p p p f(0) = 0, f(1) = 1 f(n) = f(n – 1) + f(n - 2) f(0) f(1) f(2) f(3) f(4) f(5) f(6) = = = = 0 1 f(1) f(2) f(3) f(4) f(5) + + + f(0) f(1) f(2) f(3) f(4) = = = 1 1 2 3 5 + + + 0 1 1 2 3 = = = 1 2 3 5 8