BAB 3 PEMBUKTIAN VALIDITAS KALIMAT LOGIKA ASUMSI SALAH

BAB 3 PEMBUKTIAN VALIDITAS KALIMAT LOGIKA Ø ASUMSI SALAH § Perlu pembuktian nilai True untuk semua interpretasi (2 n) § Membutuhkan langkah pembuktian yang panjang § Akan lebih mudah membuktikan bahwa ada 1 interpretasi yang menyebabkan nilai kalimat salah Tidak valid • Asumsi salah tidak mungkin terjadi Valid Contoh Soal 3. 1 Buktikan validitas kalimat A : if ((not x) or (not y)) then (not(x and y)) Jawab : Bentuk kalimat implikasi A : A 1 A 2 (~ x ~ y) ~ (x y) Misalkan A diasumsikan salah yang berarti : Antsenden/premis/hipotesis A 1 benar (~ x ~ y) = T konklusi/konsekuen A 2 salah ~ (x y) = F

Ada dua cara pembuktian valid/tidak valid A : (~ x ~ y) ~ (x y) a. ) Dimulai dari konklusi dulu (A 2 = F) periksa apakah hipotesisnya (A 1 = T) ? b). Dimulai dari hipotesisnya dulu (A 1 = T) periksa apakah konklusinya (A 2 = F) ? a). Konklusi A 2 : ~ (x y) = F (x y) = T x = T dan y =T Periksa hipotesis A 1 : (~ x ~ y) = F F = F seharusnya A 1 = T Asumsi A = F tidak pernah terjadi kalimat A valid b) Hipotesis A 1 = (~ x ~ y) = T, ada beberapa kemungkinan : Hipotesis A 1 (~ x ~ y) = T Akibatnya pada konklusi A 2 ~ (x y) Kondisi A 2 yang diperoleh dari asumsi salah Kontradiksi ? Ya/tidak x = F dan y = F T F Ya x = F dan y = T T F Ya x = T dan y = F T F Ya Asumsi A = F tidak pernah terjadi kalimat A valid

Contoh Soal 3. 2 Buktikan validitas kalimat B : (if x then y) if and only if ((not x) or y) Jawab : Bentuk kalimat B biimplikasi B 1 B 2 (x y) (~x y) Misalkan B diasumsikan salah, maka ada 2 kemungkinan : a). hipotesis B 1 benar (x y) = T dan konklusi B 2 salah (~x y) = F b). hipotesis B 1 salah (x y) = F dan konklusi B 2 benar (~x y) = T (x y) = T dan (~x y) = F a 1). Dimulai dari hipotesis dulu Hipotesis B 1 (x y) = T Akibatnya pada konklusi B 2 (~x y) = F Kondisi yang diperoleh dari asumsi salah Kontradiksi ? Ya/tidak x = T dan y = T T F Ya x = F dan y = F T F Ya

(x y) = T dan (~x y) = F a 2). Dimulai dari konklusi dulu Konklusi B 2 (~x y) = F Akibatnya pada hipotesis B 1 (x y) x = T dan y = F F (x y) = F x = T dan y = F T Kontradiksi ? Ya/tidak Ya (x y) = F dan (~x y) = T b 1). Dimulai dari hipotesis dulu Hipotesis B 1 Kondisi yang diperoleh dari asumsi salah Akibatnya pada konklusi B 2 (~x y) = F F Kondisi B 2 yang diperoleh dari asumsi salah T Kontradiksi ? Ya/tidak Ya

b 2). Dimulai dari konklusi dulu Konklusi B 2 (~x y) = T (x y) = F dan (~x y) = T Akibatnya pada hipotesis B 1 (x y) Kondisi B 1 yang diperoleh dari asumsi salah Kontradiksi ? Ya/tidak x = F dan y = T T F Ya x = T dan y = T T F Ya x = F dan y = T T F Ya Jadi asumsi B = F tidak pernah terjadi kalimat B valid

Contoh Soal 3. 3 Buktikan validitas kalimat C : if (if x then y) then (if (not x) then (not y)) Bentuk kalimat C implikasi C 1 C 2 (x y) (~x ~ y) Misalkan C diasumsikan salah yang berarti : hipotesis C 1 benar (x y) = T konklusi C 2 salah (~x ~ y) = F (x y) = T dan (~x ~ y) = F Dimulai dari hipotesis dulu : Hipotesis C 1 (x y) = T Akibatnya pada konklusi C 2 (~x ~ y) Kondisi C 2 yang diperoleh dari asumsi salah Kontradiksi ? Ya/tidak x = T dan y = T T F Ya x = F dan y = T F F Tidak x = F dan y = F T F Ya

(x y) = T dan (~x ~ y) = F Dimulai dari konklusi dulu : Konklusi C 2 (~x ~ y) = F x = F dan y = T Akibatnya pada hipotesis C 1 (x y) T Kondisi C 2 yang diperoleh dari asumsi salah F Jadi asumsi C = F dapat terjadi kalimat C tidak valid Kontradiksi ? Ya/tidak Ya

Ø POHON SEMANTIK § Misalkan suatu kalimat logika A terdiri dari 3 proposisi p, q dan r § Pohon semantik dimulai dengan cabang tertinggi untuk proposisi pertama (p) § Cabang tertinggi ini terdiri cabang kiri (T) dan cabang kanan (F) 1 p=T 2 p=F 3 p=T F p=F 3 p=T q=T 4 p=F q=F 3 5 §Perhatikan cabang kiri No. 2 : • Bila dengan p = T nilai kebenaran dari A sudah dapat ditentukan (bernilai benar atau salah), maka cabang No. 2 ini tidak bercabang, misalkan nilainya salah • Bila belum dapat ditentukan, maka cabang ini akan bercabang lagi, yaitu cabang kiri (T) dan cabang kanan (F) untuk proposisi kedua q

§Perhatikan cabang kiri No. 4 : • Bila dengan p = T dan q = T nilai kebenaran dari A sudah dapat ditentukan (bernilai benar atau salah), maka cabang No. 4 ini tidak bercabang, misalkan nilainya benar • Bila belum dapat ditentukan, maka cabang ini akan bercabang lagi, yaitu cabang kiri (T) dan cabang kanan (F) untuk proposisi ketiga r p=T q=T T p=F q=F 5 p=F p=T 3 q=T r=T 6 q=F r=F 3 5 7 • Langkah-langkah tersebut di atas diulangi lagi untuk cabang-cabang lain • Kalimat logika dikatakan valid bila semua cabangnya bernilai benar, bila ada cabangnya yang bernilai salah, maka kalimat tsb dikatakan tidak valid

• Bila semua cabang bercabang lagi, maka pohon semantiknya menjadi : p=F p=T q=T r=T T q=F r=F T r=T T q=F q=T r=F T r=T T r=F F r=T T • Metoda pohon semantik dapat lebih efisien dari metoda tabel kebenaran r=F T

Contoh Soal 3. 4 Tentukan validitas kalimat G : if (if x then y) then (if (not x) then not y) Jawab : 1 Bentuk kalimat G implikasi : G 1 G 2 G : (p q) (~ p ~ q) Periksa cabang No. 2 : Bila p = T, maka ~ p = F G 2 : (~ p ~ q) = T apapun nilai q Bila (~ p ~ q) = T, maka G = T apapun nilai G 1 : (p q) Nilai G sudah dapat ditentukan, yaitu bernilai T p=F 3 2 1 p=T T p=F 3

Bentuk kalimat G implikasi : G 1 G 2 G : (p q) (~ p ~ q) Periksa cabang No. 3 : Bila p = F, maka G 1: (p q) = T apapun nilai q ~ p = T, nilai G 2 : (~ p ~ q) tergantung pada nilai q Bila ~ q = T, maka G 2 = T dan bila ~ q = F, maka G 2 = F Bila G 2 = T, maka G = T dan bila G 2 = F, maka G = F Jadi nilai G belum sudah dapat ditentukan, cabang No. 3 bercabang lagi p=T T p=F q=T 4 q=F 5

Bentuk kalimat G implikasi : G 1 G 2 G : (p q) (~ p ~ q) § Periksa cabang No. 4 : Bila p = F dan q = T, maka G 1: (p q) = T dan G 2 : (~ p ~ q) = F Akibatnya G : G 1 G 2 bernilai salah (F) § Periksa cabang No. 5 : Bila p = F dan q = F, maka G 1: (p q) = T dan G 2 : (~ p ~ q) = T Akibatnya G : G 1 G 2 bernilai benar (T) p=T T p=F q=T F q=F T Karena ada cabang yang bernilai salah, maka kalimat G tidak valid

1 Contoh Soal 3. 5 Tentukan validitas kalimat B : [p (q r)] [(p q) r] p=T p=F Jawab : Bentuk kalimat B biimplikasi : B 1 B 2 No p 2 q r 3 2 Nilai B 1, B 2 dan B Langkah berikut T B 1 tergantung pada nilai q, r B belum dapat ditentukan Bercabang 4 dan 5 3 F B 1 = T dan B 2 = T apapun nilai q, r B=T 4 T T Bila r = T, maka B 1 = T dan B 2 = T Bila r = F, maka B 1 = F dan B 2 = F B=T 5 T F B 1 = T dan B 2 = T apapun nilai r B=T p=T Karena semua cabang nilainya benar, maka kalimat B valid p=F T Lebih efisien dari tabel kebenaran T T

Latihan Soal 3. 1 Buktikan validitas kalimat D : if(if(not x) then y) then if(not y) then x) and (x or y) D : (~ x y) ( (~y x) (x y)) Latihan Soal 3. 2 Tentukan validitas kalimat (p q) (~p r) (q r) dengan menggunakan asumsi salah

1 Latihan Soal 3. 3 Tentukan validitas kalimat B : [p (q r)] [(p q) r] p=T p=F Jawab : 2 Bentuk kalimat biimplikasi B 1 B 2 B 1 : [p (q r)] No p 2 T 3 F q r B 2 : [(p q) r] Nilai B 1, B 2 dan B Langkah berikut 3

Latihan Soal 3. 4 Periksalah validitas kalimat p (p q) dengan menggunakan pohon semantik Jawab : Bentuk kalimat OR Eksklusif A = A 1 A 2 p q T T F T F T T F F F 1 p=T 2 p=F 3