Bab 18 Karakteristik Butir Karakteristik Butir Bab 18

Bab 18 Karakteristik Butir

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- Bab 18 Karakteritik Butir A. Dasar 1. Butir Di Dalam Pengukuran (a) Kedudukan Butir • Pada umumnya, alat ukur (ujian atau survei) terdiri atas sejumlah butir • Butir merupakan komponen dasar di dalam alat ukur dan pengukuran • Sekor butir adalah komponen dasar di dalam pensekoran pada pengukuran

---------------------------------------Karakeritik Butir --------------------------------------- Perangkat alat ukur dan butir – adalah butir – – – – Perangkat alat ukur

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- 2. Pembentukan Alat Ukur Alat ukur biasanya dibentuk melalui perakitan butir melalui tata cara tertentu Butir dapat diambil dari • Kumpulan butir yang sudah tersedia • Bank butir memiliki butir yang diseleksi dari kumpulan butir melalui prosedur tertentu Hanya butir yang memenuhi persyaratan yang disimpan di dalam bank butir Butir di dalam bank butir diadministrasi dan dipelihara menurut tata cara tertentu

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- Perakitan alat ukur dari kumpulan butir atau bank butir Perangkat alat ukur Kumpulan butir Seleksi berdasarkan karakteristik butir Bank butir Perangkat alat ukur

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- 3. Sekor Satuan Butir dan Sekor Responden Pensekoran • Perangkat alat ukur yang ditanggapi oleh para responden menghasilkan sekor butir Sekor satuan • Sekor satu butir dari satu responden merupakan sekor satuan (komponen dasar) • Nilai sekor satuan dapat terbentuk dari (a) sekor 1 untuk jawaban betul dan sekor 0 untuk jawaban salah, (b) sekor sesuai dengan nilai skala yang ditetapkan untuk tiap jawaban atau tanggapan Sekor responden • Biasanya merupakan jumlah sekor satuan pada responden bersangkutan • Di sini banyak digunakan sekor responden berupa jumlah jawaban betul

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- 4. Proporsi Jawaban Betul • Dalam hal jawaban betul (sekor 1) dan jawaban salah (sekor 0), dikenal proporsi jawaban betul • Proporsi jawaban betul dilakukan pada butir tertentu, misalkan, pada butir ke-i • Pada butir ke-i, kita kelompokkan responden berdasarkan sekor responden A. Seperti pada contoh 1, ada kelompok responden sekor 12, adalah kelompok responden sekor 11, dan seterusnya • Pada butir ke-i, proporsi jawaban betul pada kelompok responden sekor A, adalah Pi (A), yakni proporsi menjawab betul di kelompok itu • Misalkan pada butir ke-2, di kelompok responden sekor 7 ada 4 orang. Apabila 1 dari 4 responden itu menjawab betul, maka proporsi jawaban betul di kelompok itu adalah P 2 (7) = 1 / 4 = 0, 25 Artinya 25% responden menjawab betul butir itu

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- Contoh 1 Respon- Butir den ke-2 1 1 2 1 3 1 4 1 5 1 6 1 7 1 8 1 9 1 10 1 11 0 12 1 13 1 14 1 15 1 16 0 17 1 18 1 Sekor responden A 12 12 11 11 11 10 10 10 9 9 9 9 Responden 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Butir ke-2 1 1 0 0 0 Sekor responden A 8 8 8 7 7 6 6 5

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- Proporsi jawaban betul untuk butir ke-2 Sekor A 5 6 7 8 9 10 11 12 Proporsi jawaban betul P 2 (A) 0 / 1 = 0, 00 0 / 2 = 0, 00 1 / 4 = 0, 25 4 / 5 = 0, 80 6 / 7 = 0, 86 5 / 6 = 0, 83 3 / 3 = 1, 00 2 / 2 = 1, 00 P 2 (A) 1, 0 0, 8 0, 6 0, 4 0, 2 A 5 6 7 8 9 10 11 12

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- Contoh 2 Responden 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 Butir Sekor res 2 4 6 ponden A 1 1 1 12 1 1 0 11 1 1 1 11 1 1 0 10 1 1 1 10 1 1 0 10 0 1 1 10 1 0 0 9 1 0 1 9 0 0 1 9 1 0 0 9 Responden 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 Butir Sekor res 2 4 6 ponden A 1 0 1 8 1 0 0 8 0 0 0 7 0 0 1 7 0 0 0 7 1 0 0 7 0 0 0 6 0 0 0 5

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- Proporsi jawaban betul untuk butir ke-4 Sekor A 5 6 7 8 9 10 11 12 Proporsi jawaban betul P 4 (A) 0 / 1 = 0, 00 0 / 2 = 0, 00 0 / 4 = 0, 00 0 / 5 = 0, 00 0 / 7 = 0, 00 6 / 6 = 1, 00 3 / 3 = 1, 00 2 / 2 = 1, 00 P 4 (A) 1, 0 0, 8 0, 6 0, 4 0, 2 A 5 6 7 8 9 10 11 12

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- Proporsi jawaban betul untuk butir ke-6 Sekor A 5 6 7 8 9 10 11 12 Proporsi jawaban betul P 6 (A) P 2 (A) 1, 0 0, 8 0, 6 0, 4 0, 2 A 5 6 7 8 9 10 11 12

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- Contoh 3 Respon- den 18 4 11 2 9 13 7 12 19 20 5 10 14 16 18 15 17 3 6 1 1 1 1 0 1 1 1 1 2 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0 3 1 1 1 1 0 0 Butir 4 5 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 6 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 7 1 1 0 0 0 0 0 0 8 1 0 1 1 0 0 0 0 Sekor responden A 8 7 7 6 6 6

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- Sekor Resp A 1 2 3 4 5 6 7 8 Proporsi jawaban betul pada butir 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0 0, 33 0, 50 1, 00 0 0 0, 25 0, 67 0, 50 1, 00 Buatlah grafik proporsi jawaban betul untuk setiap butir

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- B. Parameter Responden dan Parameter Butir 1. Parameter Responden • Sekor responden mencerminkan kemampuan responden sehingga sekor responden dan kemampuan responden merupakan parameter responden • Kemampuan responden merupakan suatu kontinum dari rendah ke tinggi • Biasanya sekor responden tinggi menunjukkan kemampuan tinggi dan sekor responden rendah menunjukkan kemampuan responden rendah • Biasanya, pada sekor responden tinggi atau kemampuan tinggi, proporsi jawaban betul juga tinggi

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- Biasanya terjadi Sekor responden tinggi. . . rendah Kemampuan responden tinggi. . . rendah Proporsi jawaban betul tinggi. . . rendah Pada karakteristik butir, proporsi jawaban betul dikenal sebagai probabilitas jawaban betul • Sekor responden = kemampuan responden ( ) • Proporsi jawaban betul = probabilitas jawaban betul P( )

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- 2. Probabilitas Jawaban Betul • Untuk butir ke-i, probabilitas jawaban betul berkaitan dengan kemampuan responden • Makin tinggi kemampuan responden , makin besar pula probabilitas jawaban betul • Hubungan di antara probabilitas jawaban betul pada butir ke-i dengan kemampuan responden adalah Pi ( ) = f ( ) 0 Pi ( ) 1 Sebagai probabilitas: Pi ( ) 1, 0 0, 8 0, 6 0, 4 0, 2 5 6 7 8 9 10 11 12

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- 3. Parameter Butir (a) Taraf Sukar Butir • Ada butir yang sukar, ada butir yang sedang, dan ada butir yang mudah • Taraf sukar butir merupakan suatu kontinum dari mudah ke sukar • Taraf sukar butir ke-i dinyatakan dengan bi • Makin tinggi taraf sukar butir bi, diperlukan kemampuan responden yang makin tinggi untuk dapat menjawabnya dengan betul > bi < bi Pi ( ) tinggi Pi ( ) rendah • Kontinum taraf sukar berimpit dengan kontinum kemampuan responden

---------------------------------------Karakteristik Butir ---------------------------------------Hubungan di antara kemampuan responden dan taraf sukar butir untuk butir ke-i >b > b; b –b>0 P( ) > 0, 5 <b < b; –b<0 b P( ) < 0, 5 =b b = b; P( ) = 0, 5

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- Probabilitas jawaban betul pada butir ke-i berhubungan dengan letak terhadap bi atau terhadap ( – bi) atau Pi ( ) = f ( – b) Ini dikenal sebagai kararteristik butir satu parameter Pi ( ) = f ( , bi) Nilai taraf sukar butir ke-i ditentukan oleh – bi = 0 atau bi = pada saat Pi ( ) = 0, 5 Pi ( ) 1, 0 0, 5 bi

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- Makin sukar butir, maka makin ke kanan letak karakteristik butir seperti tampak pada diagram berikut P( ) butir j lebih sukar dari butir i 1, 0 i j 0, 5 bi bj P( ) 1, 0 i 0, 5 bi bj j

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- (b) Daya Beda Butir Ada butir yang memiliki ciri • dapat dijawab dengan betul oleh kebanyakan responden yang berkemampuan tinggi • tidak dapat dijawab dengan betul oleh kebanyakan responden yang berkemampuan rendah Butir demikian memiliki daya untuk membedakan responden berdasarkan kemampuan mereka Butir memiliki parameter berupa daya beda butir P( ) 1, 0 0, 5 Perbedaan besar Banyak jawab salah Banyak jawab betul

---------------------------------------Karakteristik Butir ---------------------------------------Makin besar daya beda butir, maka makin curam lengkungan karakteristik butir, seperti tampak pada diagram berikut P( ) 1, 0 Perbedaan kecil 0, 5 1 b 2 P( ) 1, 0 Perbedaan besar 0, 5 1 b 2

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- • Kecuraman pada lengkungan merupakan koefisien arah a pada fungsi a( b). Makin curam makin besar koefisien arah a • Pada butir ke-i, daya beda butir dinyatakan sebagai koefisien arah yang menunjukkan kecuraman pada lengkungan yakni ai sehingga Pi ( ) = f (ai ( bi)) • Di sini terdapat dua parameter butir: bi dan ai dan ini dikenal sebagai karakteristik butir dua parameter Pi ( ) = f ( , ai, bi) P( ) 1, 0 j i 0, 5 aj > ai 1 bi 2

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- (c) Tingkat Kebetulan Betul pada Butir • Pada butir pilihan ganda dapat saja terjadi bahwa jawaban betul dicapai melalui terkaan • Jawaban betul ini adalah kebetulan betul • Tingkat kebetulan menjawab betul pada butir ke-i dinyatakan dengan parameter butir ci dan merupakan probabilitas jawaban betul minimum Pi ( )min = ci P( ) 1, 0 0, 5(1 ci) (1 ci) 0, 5(1 ci) ci bi

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- • Di sini, taraf sukar butir bi tidak diperoleh melalui probabilitas jawaban betul Pi( ) = 0, 5 melainkan pada Pi( ) = ci + 0, 5 (1 ci) = 0, 5 (1 + ci) • Bentangan Pi ( ) tidak lagi dari 0 sampai 1, 0 melainkan dari ci sampai 1, 0 yakni selebar (1 ci) sehingga f (ai ( bi)) menjadi (1 ci) f (ai( bi)) dan probabilitas jawaban betul menjadi Pi ( ) = ci + (1 ci) f (ai ( bi)) • Di sini terdapat tiga parameter butir ai, bi, dan ci sehingga dikenal sebagai karakteristik butir tiga parameter Pi ( ) = f ( , ai, bi, ci)

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- 4. Tiga Model Karakteristik Butir (a) Model satu parameter (1 P) Bentuk umum P( ) = f ( , b) Bentuk khusus Pi ( ) = f ( bi) bi = pada Pi ( ) = 0, 5 (b) Model dua parameter (2 P) Bentuk umum P( ) = f ( , a, b) Bentuk khusus Pi ( ) = f (ai ( bi)) bi = pada Pi ( ) = 0, 5

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- (c) Model tiga parameter (3 P) Bentuk umum Bentuk khusus P( ) = f ( , a, b, c) Pi ( ) = ci + (1 ci ) f (ai( bi)) bi = pada Pi ( ) = ci + 0, 5 (1 ci) = 0, 5 (1 + ci) (d) Model Karakteristik Butir Selanjutnya model karateristik butir 1 P, 2 P, dan 3 P ini ditentukan oleh bentuk f ( , bi) f ( , ai, bi , ci) yang dipilih atau ditentukan bentuknya

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- C. Lengkungan Karateristik Butir 1. Model Ideal (a) Model Skala Sempurna Pi ( ) < bi Pi ( ) = 0 ≥ bi Pi ( ) = 1 bi Pi ( ) b 1 b 2 b 3 b 4

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- (b) Model Jarak Laten Pi ( ) 1, 00 d 0, 75 0, 50 0, 25 c bi < bi Pi ( ) = c ≥ bi Pi ( ) = d

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- 2. Model Linier Pi ( ) 1, 0 0, 5 ci bi bi Pi ( ) = ci + ai ( bi) 0 ≤ Pi ( ) ≤ 1 Pada bi = 0 Pi ( ) = ci + ai Pada ci = 0 Pi ( ) = ai ( bi)

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- 3. Model Nonlinier (a) Data Empirik • Sebagian besar data empirik menunjukkan lengkungan nonlinier

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- (b) Model Ojaif Normal • Peningkatan P( ) terhadap peningkatan kemampuan dipandang sebagai berdistribusi probabilitas ojaif normal • Lengkungan karakteristik butir menjadi berbentuk ojaif normal (c) Model Logistik • Perhitungan pada model ojaif normal cukup rumit sehingga dicarikan model serupa dengan perhitungan yang lebih sederhana • Ditemukan bentuk yang mirip melalui pendekatan ke fungsi logistik sehingga menjadi model logistik

---------------------------------------Karakeristik Butir --------------------------------------- 4. Komparasi Model Terdapat tiga macam model berupa model ideal, model linier, dan model nonlinier • Model ideal P( ) 1, 0 Ini adalah model terbaik atau sempurna karena secara jelas membagi dua responden menurut kemampuan mereka (batas jelas) Sukar sekali untuk (praktis tidak dapat) menemukan butir seperti ini

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- • Model linier P( ) Ini adalah model yang cukup dilakukan melalui perhitungan yang sederhana Sukar untuk (praktis tidak dapat) menemukan model linier

---------------------------------------Karakteritik Butir --------------------------------------- • Model Nonlinier P( ) Ini terletak di antara model ideal dan model linier dan paling sering ditemukan pada butir Kita perlu menentukan model nonlinier yang bagaimana yang paling memadai Biasanya model nonlinier berbentuk ojaif atau berbentuk lengkungan S

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- D. Keterampilan Matematika 1. Fungsi Eksponensial • Konstanta e dinamakan juga sebagai konstanta eksponensial, memiliki nilai tetap e = 2, 71828 … dapat diteruskan sampai tidak ada batas • Di dalam pemakaian, e sering dibatasi sampai 2 atau 3 digit pecahan desimal e = 2, 72 atau e = 2, 718 • Fungsi eksponensial menggunakan e dalam bentuk seperti ex atau ef(x)

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- • Nilai fungsi eksponensial ex dapat langsung ditemukan melalui kalkulator elektronik Misalnya e 0, 5 dapat langsung ditemukan di dalam kalkulator Casio melalui AC ex Shift 0 5 = Terbaca bahwa hasilnya adalah 1, 6487 … AC bertujuan mengosongkan isi memori kalkulator

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- Contoh 4 Dengan kalkulator, carilah nilai berikut e-1, 5 = e-2, 75 = e-1, 0 = e-1, 87 = e 0, 5 = = e 1, 5 = e 1, 75 = e 2, 0 = e 2, 25 = e 2, 75 = e 2, 9 = e 3, 0 = e 3, 75 = e 4, 0 =

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- 2. Fungsi Logaritma • Logaritma berkaitan dengan pangkat dan akar pada bilangan, misalnya 32 = 9 • Pangkat bersangkutan dengan pertanyaan 32 = ? ? = 32 • Akar bersangkutan dengan pertanyaan ? 2 = 9 ? = √ 9

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- • Logaritma bersangkutan dengan pertanyaan 3? = 9 ? = 3 log 9 Di sini, 3 dinamakan basis logaritma Kalau basis logaritma adalah 10, biasanya 10 itu tidak perlu ditulis 10? = 100 ? = log 100 Kalau basis logaritma adalah e, maka logaritma ini dinamakan logaritma naturalis dan ditulis sebagai ln e? = 1, 6487 ? = ln 1, 6487

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- • Nilai logaritma dapat langsung dihitung pada kalkulator elektronik Perhitungan log (yakni basis 10) Misalnya untuk log 25 pada kalkulator Casio AC log 2 5 = Hasilnya adalah 1, 3979 … Ini berarti bahwa 101, 3979… = 25

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- Contoh 5 Dengan kalkulator elektronik, carilah nilai log sebagai berikut log 15 = log 27, 5 = log 50, 5 = log 58 = log 75 log 83 = = log 100 = log 118 = log 1350 = log 2750 = log 0, 75 = log 0, 025 = log 0, 50 = log 0, 95 = log e log = =

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- Perhitungan ln (yakni basis e) Misalnya ln 2, 75 pada kalkulator Casio AC ln 2 7 5 = Hasilnya adalah 1, 0116 … Contoh 6 Dengan kalkulator elektronik, carilah nilai ln 0, 75 = ln 0, 90 = ln 1, 25 = ln 15 = ln 20 = ln 27, 5 = ln 50 = ln 75 = ln 150 =

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- 3. Diferensial Di dalam matematika, diferensial adalah bilangan yang sangat kecil mendekati ke 0 x 1 x 2 x = x 2 – x 1 Jika x 2 x 1 maka x 0 ini dikenal sebagai diferensial dx Cara yang sama berlaku untuk variabel lainnya, misalnya, y y 0 dikenal sebagai dy

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- 4. Hasibagi (quotient) diferensial Pembagian di antara dy dan dx dikenal sebagai hasilbagi diferensial atau juga sebagai y’ Kalau y = f (x), maka hasilbagi diferensial menjadi atau juga sebagai f’(x) Dengan demikian, hasilbagi diferensial adalah hasilbagi dari bilangan sangat kecil yang mendekati 0 Terdapat sejumlah rumus untuk menghitung hasilbagi diferensial

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- • Hasilbagi diferensial (dikenal juga sebagai turunan pertama) bergantung kepada fungsi yang dideferensialkan • Beberapa rumus umum a = konstanta

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- 5. Hasilbagi diferensial sebagai sudut garis singgung y Garis singgung B y A x C x y ----- berkaitan dengan besarnya sudut x Jika x 0 maka B bergerak ke A dy maka ----- merupakan sudut pada garis dx singgung di titik A

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- 6. Titik Minimum, Titik Maksimum, dan Titik Balik Pada titik minimum dan maksimum garis singgung menajdi horizontal sehingga sudut singgung menjadi nol y y x Pada titik minimum atau titik maksimum, karena sudut singgung adalah noi, maka dy ------ = 0 dx x

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- Titik Balik adalah titik ketika grafik membalik, misalnya, dari melengkung ke kanan membalik menjadi melengkung ke kiri y x Pada titik balik, garis singgung horizontal sehingga sudut singgung menjadi 0 yakni dy ----- = 0 dx

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- 7. Integrasi Di dalam matematika, integrasi adalah proses penjumlahan sedjumlah bilangan yang sangat kecil mendekati 0 Notasi integrasi adalah ∫, misalnya, ∫ydx y y x 1 dx x 2 x Luas yang sangat kecil adalah y dx Jumlah dari semua luas y dx dari x 1 sampai x 2 adalah luas seluruh gambar

--------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- Integrasi pada distribusi probabilitas normal baku Integrasi ini menghasilkan luas pada histogram distribusi probabilitas normal baku Luas ini bergantung kepada letak z 1 dan nilainya dijadikan tabel fungsi distribusi bawah untuk berbagai nilai z 1 (lihat tabel) z 1 –∞ z 1 z

---------------------------------------Karakteristik --------------------------------------- Contoh 10 Nilai ini dapat dilihat pada tabel fungsi distribusi (bawah) pada distribusi probabilitas normal baku Dapat juga dicari pada program komputer tentang statistika seperti Minitab Fungsi distribusi (bawah) pada distribusi normal baku merupakan kumulasi distribusi (luas histogram pada distribusi probabilitas normal baku) dari – ∞ sampai suatu nilai z 1 = – 1, 13 n (z; 0, 1) -1, 13 z

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- 8. Perhitungan integral Secara umum integrasi adalah kebalikan dari hasilbagi diferensial Hasilbagi diferensial dan integral C = suatu konstanta (karena hasilbagi diferensial konstanta sama dengan 0) C dapat ditentukan kemudian

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- Contoh 11 Tampak di sini bahwa jika hasilbagi diferensial diintegralkan maka hasilnya kembali asal Asal adalah y = x 4 dan setelah didiferensial serta diintegralkan maka hasilnya kembali ke y = x 4

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- • Integral definit adalah integral yang diberi batas nilai dari sesuatu ke sesuatu Misalkan integrasi dilakukan dari x 1 sampai ke x 2 maka bentuknya adalah Contoh 12

---------------------------------------Karakteristik Butir --------------------------------------- • Rumus umum beberapa integral • Diferensial diintegral akan kembali asal sehingga jika y didiferensialkan dan kemudian diintegralkan maka hasilnya akan kembali ke y