BAB 12 Medan Gravitasi 11212020 1 Para ahli

BAB. 12 (Medan Gravitasi) 11/21/2020 1

Para ahli astonomi jaman dahulu (kuno) berpendapat jika benda-benda langit beredar mengelilingi bumi (bumi sebagai pusat gerakan disebut pandangan geosentris). Pemahaman ahli astronomi sekarang menyatakan bahwa matahari sebagai pusat edar, (disebutnya sebagai heliosentris). Gerak edar (dikelilingi dan mengelilingi) benda-benda langit tersebut diatur oleh hukum yang disebut hukum gravitasi Newton (hukum yang mengatur ge rakan alam semesta). Tahun 1686 Newton mengemukakan bahwa tiap par tikel (materi) di alam selalu berinteraksi (tarik-menarik) dengan partikel lain. 11/21/2020 2

Gaya interaksi antar benda, besarnya berbanding lurus dengan massa benda dan berbanding terbalik dengan jarak kuadrat kedua massa benda terse-but, Persm di atas disebut hukum atraksi gravitasi Newton. G tetapan, nilai dihitung oleh Sir Henry Cavendish (1731 – 1810) besarnya (6, 672 ± 0, 004) 10 -11 N m 2 kg-2 atau m 3 kg-1 s-2. Tanda (-) menyatakan gaya tersebut tarik-menarik. Arah gaya F selalu lewat titik pusat kedua massa tersebut. 11/21/2020 3

Gaya yang garis kerjanya selalu lewat atau meninggalkan maupun menuju titik pusat disebut gaya sentral. Gaya sentral, besarnya tergantung hanya pada jarak pusat massa dan tidak tergantung pada arah disebut isotrop. 11/21/2020 4

Menghitung Nilai G. H. Cavendish menghitung (G) menggunakan alat yang di buat pada M M m ½ℓ M M tahun 1798 dengan menghitung torsi (hasil interaksi dua massa). Massa M = 12, 7 kg dan m = 9, 85 kg panjang ℓ = 52, 4 cm. Tali penggantung massa m melakukan osilasi dengan momen inersia pada pusat 1, 25. 10 -3 kg m 2 dengan perioda osilasi T = 769 s. 11/21/2020 5

Sudut 2θ antara dua posisi keseimbangan 0, 516 o. Jarak pusat dua bola besar kecil 10, 8 cm. Dengan data-data percobaan tersebut dihitung nilai G ! Misal tetapan putiran, tali penggatung benda massa m) adalah k sehingga perioda osilasi, Nilai momen putar = k θ nilai θ = 0, 258 o = 4, 5. 10 -3 rad. 11/21/2020 6

Besar momen puntir, = (8, 34. 10 -8 N m)(4, 5. 10 -3 rad) = 4, 75. 10 -10 N m. Nilai momen puntir seimbang dengan gaya gravita si. Gaya interaksi dua bola M dan m, untuk setiap bola sebesar, 11/21/2020 7

Hukum Gravitasi Newton Sir Isaac Newton mengemukakan hipotesisnya bahwa gerak planet-planet mengelilingi matahari karena gaya gravitasi yang dimilikinya (interaksi massa planet dan matahari). Gaya gravitasi, menurut Newton sebagai gaya uni versal yaitu berlaku untuk setiap pasangan dua benda (materi). Pengujian eksperimental hipotesis Newton terse but diterima sebagai teori/hukum yang disebut hukum gravitasi umum Newton (1687). 11/21/2020 8

Hukum Atraksi Dua Benda Dua benda massa m dan M terpisah sejauh r menu rut Newton kedua massa tersebut tarik menarik dengan gaya nilainya, M F r -F m Persm di atas (lihat gambar) menyatakan gaya yang bekerja dari M, (F) sedang dari m, (- F) dan vektor satuan yang berarah dari M menuju m dan persamaan tersebut hanya berlaku untuk benda titik. 11/21/2020 9

Atraksi Gravitasi (Sebagai Gaya Sentripetal) Sistem interaksi dua titik benda, gaya F merupakan interaksi dalam wujud gaya sentripetal. Jika partikel massa m, berputar berupa lingkaran gaya sentripetal berupa, 11/21/2020 10

Contoh. Satelit mengelilingi bumi karena gaya atraksi gravitasi. Hitunglah kelajuan satelit mengelilingi bumi. Diketahui massa satelit m serta massa bumi M ! Penyelesaian. Jika gerak satelit diasumsikan memenuhi bentuk lingkaran maka, Percepatan gravitasi bumi pada suatu tempat pada pemukaannya adalah nilai berat benda sehingga menjadi, 11/21/2020 11

r jari-jari bumi 6, 4. 106 m dengan demikian G M = go r 2, (nilai go = 9, 8 m s-2). Sehingga kelajuan satelit mengelilingi bumi, v = √go R = 7920 m s-1 11/21/2020 12

Contoh. Sebuah satelit bumi memiliki orbit lingkaran pada ketinggian 230 km dari permukaan bumi dengan periode 89 menit. Berapakah massa bumi ? Penyelesaian. (r jari-jari bumi 6, 37. 106 m) R = 6, 6 11/21/2020 . 106 m. 13

11/21/2020 14

Percepatan Gravitasi Persm interaksi dua benda dengan mengingat konsep gaya berat (m g), akhirnya dapat diperoleh pernyataan percepatan gravitasi bumi sebagai: Dalam persm, pernyataan R adalah jarak dari pusat bumi sampai pada benda yang dimaksud (m). Benda dipermukaan bumi dapat dianggap berja rak jari-jari bumi atau R (dengan go). 11/21/2020 15

Dengan demikian semakin jauh benda dari permukaan bumi nilai besaran g semakin kecil Hal ini, (h) jarak benda dari permukaan bumi. 11/21/2020 16

Tabel variasi go dengan ketinggian (permukaan bumi). No. tinggi (km) go (m s-2) 01. 0 9, 83 100 9, 53 02. 5 9, 81 400 8, 70 03. 10 9, 80 35. 700 0, 225 04. 50 9, 68 380. 000 0, 0027 11/21/2020 17

Contoh. Carilah variasi percepatan gravitas bumi (g) karena ketinggian (r) dengan R = r + h, (h adalah tinggi benda dari permukaan bumi). Penyelesaian. Persm di atas memberikan ilustrasi G M = go r 2 sehingga gravitasi bumi berbenbuk, 11/21/2020 18

deret binonium. Jika benda berada di permukaan bumi (nilai dapat diabaikan terhadap angka satu) sehingga posisi benda dapat dianggap pada permukaan bumi (gravitasi bumi go tetap). 11/21/2020 19

Bumi, melakukan rotasi akibatnya bentuk bumi tidak berupa bola ideal tetapi agak pipih. Nilai R permukaan kulit bumi tidak sama akibatnya nilai go di permukaan bumi berbeda-beda. Semakin tinggi tempat semakin kecil nilai go semakin tinggi garis lintang suatu tempat nilai go semakin besar. Nilai go terbesar berada di kutub bumi (utara maupun selatan) terkecil di katulistiwa. 11/21/2020 20

Tabel g berdasarkan garis lintang dari permukaan laut. No. garis lintang harga g 01. 0 o 9, 78039 50 o 9, 81071 02. 10 o 9, 78195 60 o 9, 81918 03. 20 o 9, 78641 70 o 9, 82608 04. 05. 30 o 40 o 9, 79329 9, 80171 80 o 9, 83059 9, 83217 11/21/2020 21

Contoh. Berapakah nilai percepatan gravitasi di bulan ? Kasus bulan mengelilingi bumi karena gaya atraksi gravitasi. Penyelesaian. Nilai percepatan gravitasi bumi diambil g = 9, 8 m s-2. R = 3, 84. 108 m, T = 2, 36. 106 s. Dengan data tersebut nilai as = 2, 72. 10 -3 m s-2 11/21/2020 22

Jika jari-jari bumi r = 6, 37. 106 m diperoleh, 11/21/2020 23

Contoh. Periode revolusi Yupiter k kali periode revolusi bumi (anggap orbit berupa lingkaran) tentukan perbandingan jarak Yupiter-Matahari dengan Bumi. Matahari kecepatan dan percepatan planet Yupiter dalam kerangka matahari. Penyelesaian. Planet berputar mengelilingi Matahari dengan peri ode T dan jari-jari R sehingga, 11/21/2020 24

Diketahui, karena T 2 ~ R 3 sehingga Percepatan Yupiter mengelilingi Matahari, g percepatan gravitasi bumi. 11/21/2020 25

11/21/2020 26

Medan Gravitasi Hukum atraksi gravitasi menyatakan bahwa dua partikel saling berinteraksi (tarik menarik). Pernyataan hukum tersebut mengindikasikan bahwa partikel (benda) yang berada di sekitar benda lain akan tertarik oleh benda tersebut. Artinya benda tersebut merubah sifat ruangan di sekitar benda, dan ruangan tersebut disebut memiliki medan gravitasi. Medan gravitasi di suatu titik didefinisikan sebagai gaya tiap satuan massa yang dialami oleh setiap benda di titik tersebut dan dirumuskan sebagai: 11/21/2020 27

11/21/2020 28

Contoh. Pada jarak berapakah dari pusat bulan, kuat medan gravitasi bumi dan bulan sama dengan nol ? Massa bumi M = 81 m, (m massa bulan). Jarak pusat bumi-bulan R = 60 r, (r jari-jari bumi). Penyelesaian. M R-x 11/21/2020 A x m Titik A, titik dimana resultan medan gravitasi nol. 29

11/21/2020 30

Energi Potensial (Gravitasi) Dua partikel massa M dan m yang terpisah sejauh r satu sama lain, (hasil interaksi dua benda) adalah, Arti fisis tanda negatif menyatakan bahwa kedua partikel saling tarik menarik (kedua benda saling terikat). Ep = - F. dr Potensial gravitasi titik massa pada suatu tempat dinyatakan sebagai nilai Ep tiap satuan massa. 11/21/2020 31

Titik massa M memberikan potensial gravitasi di setiap titik yang berjarak sejauh r dari pada benda tersebut (M) adalah, 11/21/2020 32

Mengukur Massa Bumi. Massa bumi pertama kali dihitung oleh Sir Henry Cavendish, yang ia sering katakan sebagai menimbang bumi. Diasumsikan bumi sebagai bola homogen massa M dan pada permukaan terdapat benda massa m. Gaya tarik bumi terhadap benda massa m adalah berat bendanya tersebut w = m g. Gaya berat (= atraksi dua benda yang terpisah sejauh R) dalam hal ini nilai R adalah r jari-jari bumi, F = G M m/r 2. 11/21/2020 33

dengan memasukkan nilai besarannya, Jika bumi berbentuk bola V = 1, 09 x 1021 m 3 massa jenis rata-rata bumi = 5, 5 x 103 kg m-3. Nilai massa jenis rata-rata bagian bumi dekat permu kaan (= air, tanah dan batuan) nilainya (< 5, 5 x 103 kg m-3) tentu bagian dalam 5, 5 x 103 kg m-3 artinya bagian dalam bumi tersusun oleh bahan-bahan yang lebih berat. 11/21/2020 34

Contoh. Jarak matahari (R) ± 25 000 tahun cahaya dari pusat galaksi dengan melakukan orbit bentuk lingkaran dengan periode (T) 17. 107 tahun, (pendekatan). Jarak bumi–matahari (r) 8! Cahaya. Carilah masa gravitasi galaksi dalam satuan massa matahari (pendekatan). Asumsikan gaya gravitasi matahari merupakan pendekatan dengan asumsi seluruh massa galaksi berada pusat. Penyelesaian. Gerak bumi-matahari, 11/21/2020 35

Gerak matahari-galaksi, Dari, Diketahui t adalah 24 jam akan menghasilkan nilai mg = ± 1, 53. 1011 M. 11/21/2020 36

Hukum Kekekalan Energi (Interaksi Gravitasi) Jika yang mempengaruhi gerakan gaya-gaya konservatif (gaya-gaya geseran tidak ada atau diabaikan), berlaku hukum kekekalan kenergi mekanik. E = Ek + Ep Sistem dua partikel, akan memiliki energi total, (E = Ek + Ep). Di dalam interaksi gravitasi bentuk persm energinya menjadi, Dalam kasus m M persm di atas menjadi, 11/21/2020 37

Bila partikel berputar dengan edar lingkaran (atau orbit tertutup lain), berarti gaya interaksi benda berupa gaya sentripetal, Bentuk edar (orbit) partikel ditentukan oleh nilai harga E (persamaan di atas). 11/21/2020 38

11/21/2020 39

Contoh. Analisis gerak benda (dalam atraksi medan gravitasi, k = G M m). M, massa matahari dan m benda (contoh masalah mekanika angkasa). Penyelesaian. Energi mekanik E = Ek + Ep dan dalam hal ini bentuk energi mekanik menjadi, Lintasan gerak akan berupa lingkaran, elips, parabola atau hiperbola hanya tergatung pada kecepatan benda yaitu v 2, (<, =, >) dari besaran 11/21/2020 40

, sehingga menentukan nilai E. 11/21/2020 41

Contoh. Dengan kecepatan berapakah agar benda dilempar tegak lurus ke atas supaya dapat mencapai ketinggian jari-jari bumi ? Pelemparan dari permukaan bumi. Berapa kecepatan minimum benda yang dilepas tersebut agar tidak dapat ditarik kembali oleh bumi ? Penyelesaian. Dari soal diketahui (dapat diartikan) jika R = 2 r dan , V = 0. 11/21/2020 42

Agar benda tidak kembali ke bumi R = dan V ≥ 0. Jika r = 6, 37. 106 m dan g = 9, 8 m s-2 diperoleh nilai v ± 11, 2 km s-1 11/21/2020 43

Contoh. Pada kutub bumi sebuah benda dilempar ke atas secara tegak lurus dengan kecepatan v. Hitung ketinggian yang dapat dicapai benda jika jari-jari bumi r ! Geseran udara diabaikan dan nilai gravitasi bumi dianggap tetap. Penyelesaian. Mencapai titik tertinggi (v = 0) sehingga persm kekekalan energi menjadi, 11/21/2020 44

11/21/2020 45

11/21/2020 46

Gerak Planit (Dalam Medan Gravitasi) Tata surya kita terdapat deretan planet yaitu (1) merkurius (2) venus (3) bumi (4) mars (5) jupiter (6) saturnus (7) uranus (8) neptunus. 11/21/2020 47

Umumnya gerak benda langit karena adanya atraksi gravitasi (salah satu bentuk interaksi, gaya sentral). Gerak partikel karena gaya sentral salah satu bentuk lintasannya berupa elips (hukum pertama Kepler). Pada abad ke 16, lewat pengamatan Tycho Brahe (1546 – 1601) pada gerakan planet secara cermat, menghasilkan data dan dari data tersebut dianalisis oleh Johanes Kepler (1571 – 1630) sehingga tersusun hukum sebanyak tiga buah. 11/21/2020 48

Ketiga hukum tersebut dapat diturunkan (dibuktikan) dari gerakan benda langit (hasilnya ternyata benar) dan dipublikasikan tahun 1609 dan 1619. Hukum Kepler menyatakan sebagai berikut. 1. Edar lintasan planet (benda angkasa) berben 2. tuk elips dengan salah satu fokusnya ditempati 3. 2. Duamatahari. vektor posisi perjalanan planet relatif terha dap matahari (fokus) membuat luasan yang sama dalam waktu yang sama. 3. Kuadrat periode planet mengelilingi matahari se banding dengan pangkat tiga jarak rata-rata an tara planet-matahari, (T 2 r 3). 11/21/2020 49

Irisan Kerucut (Elips) Elips, merupakan grafik lengkung tertutup yang memiliki perbandingan jarak terhadap titik tetap (fokus) dengan garis direktrik tetap. Elips merupakan salah satu bentuk irisan kerucut Bentuk irisan kerucut ada empat macam yaitu: 1. lingkaran (kelonjongan e = 0), 2. elips (kelonjongan 0 < e < 1), 3. parabola (kelonjongan e = 1) 4. hiperbola (kelonjongan e > 1). 11/21/2020 50

Bentuk lintasan benda ditentukan oleh nilai energi atau nilai e. r P F! a b c ra F θ Q Kelonjongan (e) A D B d rp direktrik PQ = FD – FB PQ = d – r cos θ. ed = p, tetap 11/21/2020 51

Dalam kasus elips (grafik tertutup) titik A berhubungan dengan sudut θ = 0 dan titik A! berhubungan dengan θ = sehingga persm menjadi, Jika ra + rp = 2 a, (a setengah sumbu panjang), nilai a = ½ (rp + ra). 11/21/2020 52

Posisi terdekat dengan fokus (rp) disebut perige (perihelion) dan ra posisi terjauh dari fokus disebut apoge (aphelion). Akan berlaku, rp = a (1 - e) , 11/21/2020 53

Hubungan (E), (L) dalam Gerak Elips Hukum kekekalan energi, m v 2 + 2 Ep (r) = 2 E. 11/21/2020 54

11/21/2020 55

Persamaan di atas dipecah menjadi dua kelompok: (1) Persm yang bernilai tetap, 11/21/2020 56

(2) Persm yang tergantung pada r. 11/21/2020 57

Persm di atas menyatakan jika kelonjongan (e) tergantung pada energi serta momentum sudut. 11/21/2020 58

Nilai energi benda (E) menentukan bentuk lintasan orbitnya, Energi, E = Ep + Ek nilainya tetap lintasan akan tertutup, jika nilai Ek Ep dan lintasan akan terbuka jika Ek ≥ Ep. 11/21/2020 59

Hukum-hukum Kepler. 1. Edar lintasan planet (benda angkasa) berbentuk elips dengan salah satu fokusnya ditempati mata 2. hari. 2. Dua vektor posisi, perjalanan planet relatif terhadap matahari (fokus) membuat luasan yang sama dalam waktu yang sama. 11/21/2020 60

y P! v r P dθ 0 r x Jika massa m bergerak dari titik P menuju P! (lihat gambar), dua vektor posisi dengan titik tangkap (0) membentuk segitiga 0 PP! dengan luas segitiga 0 PP!, d. A = ½ r 2 d. L = r x p. Besaran L partikel, dinyatakan dalam koordinat kutub menjadi, 11/21/2020 61

Persm m (d. A/dt) menyatakan partikel mas-sa m bergerak di bawah pengaruh gaya sentral dalam waktu yang sama (dt sama) dua buah vektor posisinya akan membentuk segitiga yang memiliki luas sama (luas 0 PP! = luas 0 P!P!!). Pernyataan tersebut (di atas) disebut hukum kedua Kepler 3. Kuadrat periode planet mengelilingi matahari se banding dengan pangkat tiga jarak rata-rata antara planet-matahari, (T 2 r 3). Momentum sudut partikel, massa (m), posisi (r) dan kecepatan (v) dinyatakan sebagai L = m v r. 11/21/2020 62

Bila partikel tersebut mengelilingi satu kali putaran dengan waktu T, (T disebut periode). Bila partikel bergerak dalam waktu T, artinya partikel telah menempuh sudut (0 – 2 ). Selanjutnya dengan nilai luas elips, diperoleh bentuk persm, 11/21/2020 63

Persm tersebut merupakan hukum ketiga Kepler yaitu T 2 ~ r 3. Jarak orbit suatu satelit (r), periode (T) dan massa (m) dan lewat interaksi antar planet-satelit kita dapat menghitung massa planet, dengan hubungan, 11/21/2020 64

Contoh. Satelit bumi berputar (orbit lingkaran) pada ketinggian 230 km di atas permukaan bumi dengan periode 89 menit. Berapakah massa bumi dari data tersebut ? Penyelesaian. Dalam hal ini r = R + h = 6, 37. 106 m + 230. 103 m = 6, 6 11/21/2020 . 106 m 65

Contoh. Komet Halley mengeliling matahari dengan periode 76 tahun (= 24. 108 s) dan memiliki jarak terdekat 89. 109 m. Berapakah jarak terjauh dari kelonjongan lintasannya ? Massa matahari 199. 1028 kg. Penyelesaian. Diketahui T = 24. 108 s; M = 199. 1028 kg, = 667. 10 -13 N m 2 kg-2. G , sumbu panjang elips. Dari rp = a - ae) dan ra = a + ae) ra = 2 a – rp. 11/21/2020 66

ra = 2 (27. 1011 m) - 89. 109 m = 53, 11. 1011 m 11/21/2020 67

Percepatan (koordinat kutub). Ada dua macam gaya, arah ke r dan θ. Besaran gaya tangensial adalah nol, (Fθ = 0). Gaya radial yang mengendalikan gerak (gerak dalam gaya sentral). 11/21/2020 68

11/21/2020 69

Persm di atas menyatakan gaya radial berbanding terbalik dengan jarak kuadrat. 11/21/2020 70

Contoh. Komet mendekati matahari dari luar angkasa dengan kecepatan v dan jarak tegak lurus matahari d. Hitunglah kecepatan maksimum dan jarak terdekat komet dalam mengelilingi matahari. Penyelesaian. r v m d M 11/21/2020 Persm gerak komet, vektor satuan dari matahari-komet sepanjang jarak r. 71

Jika awalnya komet sangat jauh dari matahari sehingga hanya memiliki Ek, (Ep = 0, karena r → ∞), Ek = ½ m v 2 dan L = m r x v, dan L = m v d. Pada saat dekat dengan matahari kecepatan maks vm dan jarak terdekat ro, tegak lurus sehingga dengan nilai L = m ro vm. Energi total, Jika dalam sistem tidak ada gaya luar yang berkerja dalam sistem berlaku hukum kekekalan energi dan momentum, 11/21/2020 72

Dari kedua persm di atas diperoreh, 11/21/2020 73

Catatan: (dalam koordinat katesian) Persm elips kelonjongan, dengan a > b Lingkaran a = b atau e = 0 Parabola. y 2 = 4 p x kelonjongan e = 1 jarak titik asal sampai fokus p Hiperbola 11/21/2020 kelonjongan 74