BA 2 3 3 B AB3 3 2

-B)=A 2 - 3 3 +B (A-B)3 3 2 = A 3 2 A + B 3 A 3 B B - (A+B)(A 2 A = B + B B + 2 -2 A 2 +AB 2 =A A ( ) ) B B + (A (A B 2 2) Prodotti notevoli (pane quotidiano dell’algebra, dannazione… degli studenti) (A+B+ 2 C) =A 2 +B 2+C 2 +2 AB+ 2 AC+2 BC 2 (A+B) 3=A 3 B + +3 A 2 B+3 A 2 2 +2 AB 2 =A B +B 3 1 ) B + (A

IN QUESTA PRESENTAZIONE SARA’ TRATTATO: - QUADRATO DEL BINOMIO - QUADRATO DE TRINOMIO - DIFFERENZA DI DUE QUADRATI - CUBO DEL BINOMIO - PRODOTTO DELLA SOMMA O DIFFERENZA DI DUE MONOMI PER IL FINTO QUADRATO DEL BINOMIO PREREQUISITI: -CONOSCENZA DELL’ INSIEME Q E DELLE PROPRIETA’ DELLE SUE OPERAZIONI -CONOSCENZA DELLE PROPRIETA’ DELLE POTENZE 2

Vogliamo vedere il prodotto (2 x+3) a cosa è uguale; svolgiamolo nel modo che conosciamo: 4 x 2+6 x+6 x+9, sommiamo i due monomi uguali 6 x e 6 x, otteniamo il risultato 4 x 2+12 x+9. Cosa notiamo? (2 x+3)=(2 x+3)2=4 x 2+12 x+9 invece di avere quattro termini, come ci aspetteremmo, ne abbiamo tre. Proviamo con un altro esercizio (5 x 2 y-3)= =25 x 4 y 2 -15 x 2 y+9= 25 x 4 y 2 -30 x 2 y+9 Anche in questo caso, invece di avere quattro termini, come ci aspetteremmo, ne abbiamo tre. 3

Consideriamo il prodotto di una somma per una differenza e facciamo lo stesso ragionamento (2 xy+7 x)(2 xy-7 x) Svolgiamolo nel modo tradizionale: 4 x 2 y 2 -14 x 2 y+14 x 2 y-49 x 2 , elidendo i due monomi opposti -14 x 2 y+14 x 2 y, possiamo scrivere il risultato finale della moltiplicazione 4 x 2 y 2 - 49 x 2. Anche in questo caso invece di avere quattro termini, come ci aspetteremmo, ne otteniamo un numero inferiore, due. 4

Nel calcolo letterale spesso si incontrano moltiplicazioni tra particolari polinomi, i cui risultati, opportunamente semplificati, hanno una forma ricorrente, facilmente memorizzabile. A causa della frequenza con cui, si incontrano tali particolari moltiplicazioni, è bene tenere a mente i risultati, applicandoli subito senza passare attraverso l’applicazione delle regole generali. Questi particolari prodotti si chiamano “PRODOTTI NOTEVOLI ” e riguardano: il prodotto di un polinomio per se stesso, il prodotto di tre binomi uguali, il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza, ecc. 5

IL QUADRATO DEL BINOMIO (A+B)2=A 2+2 AB+B 2 (5 ab+2 b)2=(5 ab)2+2(10 ab 2)+(2 b)2= =25 a 2 b 2+20 ab 2+4 b 2 (A-B)2=A 2 -2 AB+B 2 (5 ab-2 b)2=(5 ab)2+2(-10 ab 2)+(-2 b)2= =25 a 2 b 2 -20 ab 2+4 b 2 6

Consideriamo due generici monomi che indichiamo con A e B; la loro somma è il binomio A+B. Per definizione di potenza si ha: XX = X 2 analogamente (A+B) =(A+B)2 Eseguendo il prodotto (A+B)=A 2+AB+BA+B 2 e sommando i termini AB e BA, uguali per la proprietà commutativa del prodotto, si ottiene: 7

2 (A+B) = 2 2 =A +2 AB+B 8

Oppure analogamente 2 (A-B) = 2 2 =A -2 AB+B 9

Le uguaglianze: (A+B)2=A 2+2 AB+B 2 (A-B)2=A 2 -2 AB+B 2 dicono che: il quadrato di un binomio è uguale al quadrato del primo monomio A 2, più o meno il doppio prodotto del primo monomio per il secondo 2 AB, più il quadrato del secondo monomio B 2. 10

COSA SIGNIFICA GEOMETRICAMENTE? (A+B)2=A 2+2 AB+B 2 11

Per interpretare geometricamente la formula (A+B)2=A 2+2 AB+B 2 Supponiamo che A e B siano due numeri positivi e considerato un quadrato di lato l=A+B, l’area misurerà A=(A+B)=(A+B)2 A + B A + (A+B)2 B 12

Come si vede dalla seconda figura, l’area del quadrato si può pensare composta dall’area di quattro figure, due quadrati disuguali di area A 2 e B 2 e due rettangoli uguali, entrambi di area AB A =(A+B)=(A+B)2 A A + B A = A 2+2 AB+B 2 + B A A (A+B)2 + B + A 2 B AB A + B 2 AB A + B B 13

QUADRATO DI UN TRINOMIO (A+B+C)2=A 2+B 2+C 2+2 AB+2 AC+2 BC (5 ab+2 b+1)2= =(5 ab)2+(2 b)2 +(1)2+2(10 ab 2)+2(5 ab)+2(2 b)= =25 a 2 b 2+4 b 2+1+20 ab 2+10 ab+4 b 14

Analogamente a quanto appena visto consideriamo tre generici monomi che indichiamo con A, B e C; la loro somma è il trinomio A+B+C. Per definizione di potenza si ha (A+B+C) =(A+B+C)2 Eseguendo il prodotto (A+B+C)= =A 2+AB+AC+BA+B 2+BC+CA+CB+C 2 e sommando i termini AB e BA, AC e CA, BC e CB, uguali per la proprietà commutativa del prodotto, si ottiene: (A+B+C)2=(A+B+C)= =A 2+B 2+C 2+2 AB+2 AC+2 BC 15

2 (A+B+C) = 2 2 2 A +B +C +2 AB+2 AC+2 BC 16

L’uguaglianza: (A+B+C)2=A 2+B 2+C 2+2 AB+2 AC+2 BC dice che: il quadrato di un trinomio è uguale al quadrato del primo monomio A 2, più il quadrato del secondo monomio B 2 e del terzo C 2, più il doppio prodotto del primo monomio per il secondo 2 AB, più il doppio prodotto del primo monomio per il terzo 2 AC, più il doppio prodotto del secondo monomio per il terzo 2 BC. 17

COSA SIGNIFICA GEOMETRICAMENTE? (A+B+C)2=A 2+B 2+C 2+2 AB+2 AC+2 BC 18

Per interpretare geometricamente la formula (A+B+C)2=A 2+B 2+C 2+2 AB+2 AC+2 BC Supponiamo che A, B e C siano due numeri positivi e considerato un quadrato di lato l=A+B+C, la cui area misura A=(A+B+C)2 A A + B + C + B (A+B+C)2 + C 19

Come si vede dalla seconda figura, l’area dello stesso quadrato, si può pensare composta dall’area di quattro figure, tre quadrati disuguali di area A 2, B 2, C 2 e sei rettangoli uguali a due di area AB, AC, BC A=(A+B+C)=(A+B+C)2 A = A 2+B 2+C 2+2 AB+2 AC+2 BC A A + B + C A=(A+B+C)2 + A 2 AB AC B AB B 2 BC + AC BC C 20

Una formula perfettamente analoga si trova per il quadrato di un polinomio di quattro o più termini e si ottiene così la regola generale: il quadrato di un polinomio di un numero di termini qualunque è uguale alla somma dei quadrati di tutti i termini e dei doppi prodotti di ciascuno di essi per ognuno dei termini che seguono. 21

PRODOTTO DELLA SOMMA DI DUE MONOMI PER LA LORO DIFFERENZA (A+B)(A-B)=A 2 -B 2 (3 ab+2 a)(3 ab-2 a)=(3 ab)2 -(2 a)2=9 a 2 b 2 – 4 a 2 22

Siano A e B due generici monomi; calcolando il prodotto della loro somma A+B per la differenza A-B, si ha: (A+B)(A-B)=A 2+AB-BA-B 2 Da cui, elidendo i monomi opposti AB e –AB, si ricava (A+B)(A-B)= A 2 -B 2 23

(A+B)(A-B) = 2 2 A -B 24

L’ uguaglianza (A+B)(A-B)= A 2 -B 2 dice che: il prodotto della somma di due monomi per la loro differenza è uguale al quadrato del primo monomio meno il quadrato del secondo monomio. 25

COSA SIGNIFICA GEOMETRICAMENTE? (A+B)(A-B)= A 2 -B 2 26

Per interpretare geometricamente la formula (A+B)(A-B)= A 2 -B 2 supponiamo che A e B siano due numeri positivi e considerato un rettangolo di lati l 1=A+B e l 2=A-B, la cui area misura A =(A+B)(A-B) l 2 = A l 1 = A + (A+B)(A-B) B l 1 = A + l 2 = A -B B B 27

Come si vede dalla seconda figura, l’area dello stesso rettangolo, si può pensare di ottenerla sottraendo dall’area A 2 di un quadrato e dall’area AB di un rettangolo l’area AB dello stesso rettangolo e l’area B 2 di un quadrato A= (A+B)(A-B) A B + A + B B A=(A+B)(A-B) A A 2 AB-B 2 A A= A 2+AB-BA-B 2 (AB) B 2 A A 28

IL CUBO DEL BINOMIO (A+B)3=A 3+3 A 2 B+3 AB 2+B 3 (x +2 y)3 =(x)3+3(x)2(2 y)+3(x)(2 y)2+(2 y)3= =x 3+6 x 2 y+12 xy 2+8 y 3 (A-B)3=A 3 -3 A 2 B+3 AB 2 -B 3 (1 -2 a)3=(1)3+3(1)2(-2 a)+3(1)(-2 a)2+(-2 a)3= =1 -6 a+12 a 2 -8 a 3 29

Consideriamo la somma di due generici monomi che indichiamo con A e B. Per definizione di potenza si ha: X 2 X = X 3 Analogamente (A+B)2(A+B)=(A+B)3 Essendo (A+B)2=A 2+2 AB+B 2 moltiplichiamo il quadrato del binomio per la somma (A+B): (A 2+2 AB+B 2) (A+B)= =A 3+A 2 B+2 AB 2+B 3 sommando i termini simili A 2 B e 2 A 2 B, 2 AB 2 e AB 2, si ottiene: (A+B)3= A 3+3 A 2 B+3 AB 2+B 3 30

3 (A+B) = 3 2 2 3 =A +3 A B+3 AB +B 31

Oppure analogamente 3 (A-B) = 3 2 2 3 =A -3 A B+3 AB -B 32

Le uguaglianze (A+B)3=A 3+3 A 2 B+3 AB 2+B 3 (A-B)3=A 3 -3 A 2 B+3 AB 2 -B 3 dicono che: il cubo di un binomio è uguale al cubo del primo monomio A 3, più il triplo prodotto del quadrato del primo monomio per il secondo 3 A 2 B, più il triplo prodotto del primo monomio per il quadrato del secondo 3 AB 2, più il cubo del secondo monomio B 3. 33

COSA SIGNIFICA GEOMETRICAMENTE? (A+B)3=A 3+3 A 2 B+3 AB 2+B 3 34

Per interpretare geometricamente la formula (A+B)3=A 3+3 A 2 B+3 AB 2+B 3 Supponiamo che A e B siano due numeri positivi e considerato un cubo di lato l=A+B, il cui volume misurerà V=(A+B)(A+B)=(A+B)3 35

V =(A+B)(A+B)=(A+B)3 A + A A + B B A B 36

Come si vedrà dalla figura che segue il volume del cubo si può pensare costituito dal volume di quattro figure, due cubi disuguali di volume A 3 e B 3 e sei prismi a tre uguali, di volume A 2 B e AB 2 V=A 3+3 A 2 B+3 AB 2+B 3 37

A B + + B A A + B B + A 38

B 3 A 2 B AB 2 A 3 39

PRODOTTO DELLA SOMMA O DIFFERENZA DI DUE MONOMI PER IL FINTO QUADRATO DEL BINOMIO (A+B)(A 2+AB+B 2) =A 3+B 3 (3 a+1)(9 a 2 -3 a+1)= (3 a)3+(1) 3 =27 a 3+1 (A-B)(A 2 -AB+B 2) =A 3 -B 3 (x – 2 y)(x 2+2 xy+4 y 2) =(x)3 -(2 y)3=x 3– 8 y 3 40

Altri prodotti notevoli frequenti e di grossa utilità sono il prodotto della somma di due monomi per il finto quadrato di binomio (A+B)(A 2+AB+B 2) (A-B)(A 2 -AB+B 2) Effettuando i prodotti e le opportune semplificazioni si ottiene 41

2 2 (A+B)(A -AB+B ) = = 3 3 A +B 42

2 2 (A-B)(A +AB+B ) = = 3 3 A -B 43

Le uguaglianza (A+B)(A 2 -AB+B 2) = A 3+B 3 (A-B)(A 2+AB+B 2) = A 3 -B 3 dicono che: moltiplicando la somma algebrica di due monomi per il trinomio costituito dal quadrato del primo monomio meno o più il prodotto del primo per il secondo più il quadrato del secondo è uguale al cubo del primo monomio A 3 più il cubo del secondo monomio B 3. 44

RICAPITOLANDO ECCO TUTTI I CASI POSSIBILI 45

QUADRATO DEL BINOMIO (A+B)2= A 2 + 2 AB + B 2 (A−B)2= A 2 − 2 AB + B 2 QUADRATO DEL TRINOMIO (A+B+C)2= A 2 + B 2 + C 2 + 2 AB + 2 AC + 2 BC PRODOTTO DELLA SOMMA DI DUE MONOMI PER LA LORO DIFFERENZA (A+B)(A−B)=A 2 − B 2 CUBO DEL BINOMIO (A+B)3= A 3 + 3 A 2 B + 3 AB 2 +B 3 (A−B)3= A 3 − 3 A 2 B + 3 AB 2 − B 3 PRODOTTO DELLA SOMMA O DIFFERENZA DI DUE MONOMI PER IL FINTO QUADRATO DEL BINOMIO (A−B)(A 2 + AB + B 2) = A 3− B 3 (A+B)(A 2 − AB + B 2) = A 3+ B 3 46

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