B R Y Y P L A T

B R Y Ł Y P L A T O Ń S K I E

Matematyka w starożytności utożsamiana była z jednym z jej działów – GEOMETRIĄ. W dzisiejszych czasach uważa się starożytną Grecję za miejsce w którym powstały podstawy matematyki, opisane w takich księgach jak Elementy Euklidesa.

Tak naprawdę ta wiedza jest w większości starsza i pochodzi od innych, wcześniejszych cywilizacji. Na przykład, twierdzenie Pitagorasa znane było Egipcjanom jeszcze przed narodzinami Euklidesa (wykorzystywali ten fakt do wyznaczenia kąta prostego przy budowie piramid).

Tymi bryłami były czworościan foremny, sześcian, ośmiościan foremny i dwudziestościan foremny. Platon zauważył, że tylko te cztery bryły spełniają te warunki. Później jego uczeń, Teajtetos, odkrył jeszcze jedną taką bryłę - dwunastościan foremny.

W tym momencie zostało stwierdzono, że więcej takich brył już nie ma. Później było to udowodnione na kilka sposobów.

Grecy uznali bryły platońskie za idealne i zostały one wykorzystane w różnych filozofiach, ideologiach i kultach. Najbardziej popularną ideologią było utożsamianie tych brył jako żywiołów.

Były trzy żywioły niestałe: ogień (czworościan), powietrze (ośmiościan) i woda (dwudziestościan). Stały żywioł ziemi był reprezentowany przez sześcian o kwadratowych ścianach. Dwunastościan - bryła o pięciokątnych ścianach - był symbolem połączenia pierwszych czterech i symbolizował cały Wszechświat.

Jest on też jednym z dowodów na to, iż nie ma więcej niż 5 wielościanów foremnych. Powyższy opis ilustruje tabela pobrana z Wikipedii:

Bryły platońskie zdobią park w miejscowości Steinfurt w Niemczech ( zdjęcie ze strony twojamatematyka. cba. pl).

Dwie dwudziestościenne kości do gry należące do dynastii Ptolemeuszowskiej można oglądać w jednej z sal egipskich British Museum w Londynie.

Pierwszych pięć od lewej strony kostki do gry są bryłami platońskimi

Fakt: W przestrzeni trójwymiarowej brył platońskich jest tylko pięć. Spróbujemy to uzasadnić. Wiadomo, że suma wszystkich kątów płaskich w narożu wielościanu powinna być mniejsza od 360°.

W przypadku bryły zbudowanej z samych trójkątów, możemy rozważyć tylko 3 różne wielościany:

W przypadku bryły zbudowanej z samych czworokątów, istnieje tylko jeden przypadek takiego wielościanu, gdyż 3 x 90° = 270° < 360°, (bo większe, chociażby następny (4 x 90° = 360°) byłyby większe lub równe kątowi pełnemu).

W przypadku bryły zbudowanej z samych pięciokątów , również istnieje tylko jeden przypadek, gdyż 3 x 108° = 324° < 360°.

By DTR, CC BY-SA 3. 0, https: //commons. wikimedia. org/w/index. php? curid=2231561

Bryły platońskiej w przestrzeni trójwymiarowej mającej sześciokąty foremne jako ściany, nie istnieje, gdyż 3 x 120° = 360°.

Siatka wielościanu przedstawieniem wielościanu na jest płaszczyźnie. Powstaje przez "rozcięcie" niektórych jego krawędzi tak, aby dało się rozłożyć ściany na płaszczyźnie. Na ogół można to zrobić na wiele różnych sposobów.

Siatkę można wykonać dla dowolnego wielościanu wypukłego, dla niewypukłych wielokąty mogą nachodzić na siebie. Siatki można wyciąć z papieru i sklejając odpowiednie krawędzie skonstruować ponownie powierzchnię wielościanu.

SIATKI dla wielościanów platońskich

LITERATURA: 1. H. S. M. Coxeter, Wstęp do geometrii dawnej i nowej, PWN, Warszawa 1967. 2. grafiki z ogólnie dostępnych stron internetowych. 3. www. geogebra. org https: //www. geogebra. org/m/QSkrft 2 b#material/sy. Tx 5 AJy