Az aranymetszs 1212020 KEA 1 AZ ARANYMETSZS MATEMATIKJA

AZ ARANYMETSZÉS MATEMATIKÁJA 12/1/2020 ©KEA 2

Definíció Aranymetszésről beszélünk, amikor egy mennyiséget, illetve egy adott szakaszt úgy osztunk két részre,

Képlet: n További vizsgálódásaink alapjául a következő számítás szolgál: a=M+m M: m=a: M M:

Matematikai meghatározás/ számítás x= (M+m)/M= M/M+m/M (törtek összeadásának szabálya) n x=M/M+m/M=1+m/M n x=1+m/M n

Így a következő egyenletet kapjuk x=1+ (1/x) /*x n x 2=x+1 /-x /-1 n

φ- szerkesztése Alexandriai Héron módszerével n n Héron (Kr. u. 65 -125) Görög matematikus,

n Adott egy AB-szakasz, melyet az aranymetszés arányainak megfelelően kell két részre osztanunk 12/1/2020

φ-tulajdonságai: φ0 n φ1 n φ2 n φ3 n φ4 n φ5 n φ6

Két egymást követő Fibonacci szám hányadosa φ felé konvergál n Fibonacci számok: n Leonardo

Az arany spirális n Ha Fibonacciszámokat úgy kezeljük, mint négyzetek oldalainak hosszát, és azokat

A szabályos ötszög n Belső szögeinek nagysága 108° Minden átlója egyforma hosszúságú Minden nem

ARANYMETSZÉS A HÉTKÖZNAPOKBAN 12/1/2020 ©KEA 17

Vannak-e szabályai a szépségnek? Miért látjuk szépnek a természetet? n Miért látunk szépnek egy

Az emberi faj n Arc elrendezése szimmetrikus n MIÉRT? n Evolúció n 12/1/2020 mozgásszervek

Hasonló, de nem tükörképe 12/1/2020 ©KEA 20

Testünk arányai n Altestünk magassága úgy aránylik a felsőtestünk magasságához , mint az altestünk

Aránytalan test n Nem „szép” 12/1/2020 ©KEA 24

Összefüggés egészség és „szépség között” Belső fejlődési folyamatok n Ferde növények, nem „szimmetrikus” állatok

φ a természetben- miért látjuk szépnek? n Gustav Fechner n 12/1/2020 Kísérlet ©KEA 27

φ az építészetben és a műveszetben n Jelentőségének oka: n Hit n 12/1/2020 φ

Da Vinci: Hermelines hölgy(1486) 12/1/2020 ©KEA 35

Rafaello Santi: Szixtuszi Madonna 12/1/2020 ©KEA 37

Fibonacci számok a természetben 12/1/2020 ©KEA 40

Miért a Fibonacci számok a leggyakoribbak a természetben? 12/1/2020 ©KEA 50

Gyümölcsök, növény „testek” felülete 12/1/2020 ©KEA 51

HONNAN ERED AZ ARANYMETSZÉS UNIVERZÁLIS SZIMBOLIKÁJA? 12/1/2020 ©KEA 53

n Ötszög= „élet alapelvének manifesztálódása” n Regenerativitás 12/1/2020 ©KEA 54

Vírusok formája: Pentagondodekaéder 12/1/2020 ©KEA 58

Felhasznált irodalom: n n n n n Bundschuh : Zahlentheorie Markus Fulmek, Christian Krattenhaler:

Slides: 61

Download presentation

Az aranymetszés 12/1/2020 ©KEA 1

AZ ARANYMETSZÉS MATEMATIKÁJA 12/1/2020 ©KEA 2

Definíció Aranymetszésről beszélünk, amikor egy mennyiséget, illetve egy adott szakaszt úgy osztunk két részre, hogy a kisebbik rész úgy aránylik a nagyobbikhoz, mint a nagyobbik rész az egészhez 12/1/2020 ©KEA 3

12/1/2020 ©KEA 4

Képlet: n További vizsgálódásaink alapjául a következő számítás szolgál: a=M+m M: m=a: M M: m=(M+m): M Legyen x=(M+m)/M 12/1/2020 ©KEA 5

Matematikai meghatározás/ számítás x= (M+m)/M= M/M+m/M (törtek összeadásának szabálya) n x=M/M+m/M=1+m/M n x=1+m/M n Mivel M: m=(M+m): M felírhatjuk a következőt: n n n M/m=x 1/x= m/M (1/x=1/(M/m)=(1/1)/(M/m)=m/M) Tehát x=1+m/M és 1/x =m/M 12/1/2020 ©KEA 6

Így a következő egyenletet kapjuk x=1+ (1/x) /*x n x 2=x+1 /-x /-1 n x 2 -x-1=0 Egyértelműen kiszámítható a másodfokú egyenlet megoldó képletével) n ( n Levezetés a táblán x 1= (1+√ 5)/2≈1, 6180339887 n X 2=(1 -√ 5)/2≈-0, 6180339887 n Az (1+√ 5)/2 számot φ-vel jelöljük n ( nem lehet megoldás esetünkben) 12/1/2020 ©KEA 7

φ- szerkesztése Alexandriai Héron módszerével n n Héron (Kr. u. 65 -125) Görög matematikus, filozófus Megalkotta az első gőzgépet Művei: n n n 12/1/2020 Metrika Geometrika (előadásai alapján) Dioptrika ©KEA 8

n Adott egy AB-szakasz, melyet az aranymetszés arányainak megfelelően kell két részre osztanunk 12/1/2020 ©KEA 9

φ-tulajdonságai: φ0 n φ1 n φ2 n φ3 n φ4 n φ5 n φ6 n 12/1/2020 = = = = 1 φ φ1 +φ0 φ2 + φ1 φ3 + φ2 φ4 + φ3 φ5 + φ4 = = = = 1 φ φ+1 2 φ+1 3 φ+2 5 φ+3 8 φ+5 ©KEA 10

φ-tulajdonságai: 12/1/2020 ©KEA 11

Két egymást követő Fibonacci szám hányadosa φ felé konvergál n Fibonacci számok: n Leonardo Pisano/Leonardo di Pisa/Fibonacci n Képzési szabály: an=an-1+an-2 n 12/1/2020 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ©KEA 12

12/1/2020 ©KEA 13

Az arany spirális n Ha Fibonacciszámokat úgy kezeljük, mint négyzetek oldalainak hosszát, és azokat az ábrán megfelelő módon egymáshoz illesztjük az arany spirálist kapjuk. 12/1/2020 ©KEA 14

A szabályos ötszög n Belső szögeinek nagysága 108° Minden átlója egyforma hosszúságú Minden nem egy szögben összefutó átló az aranymetszésnek megfelelően metszi a másikat n Az oldal átló arány=φ n n 12/1/2020 ©KEA 15

Pentagramma 12/1/2020 ©KEA 16

ARANYMETSZÉS A HÉTKÖZNAPOKBAN 12/1/2020 ©KEA 17

Vannak-e szabályai a szépségnek? Miért látjuk szépnek a természetet? n Miért látunk szépnek egy arányos testet? n 12/1/2020 ©KEA 18

Az emberi faj n Arc elrendezése szimmetrikus n MIÉRT? n Evolúció n 12/1/2020 mozgásszervek ©KEA 19

Hasonló, de nem tükörképe 12/1/2020 ©KEA 20

Testünk arányai n Altestünk magassága úgy aránylik a felsőtestünk magasságához , mint az altestünk magassága a testmagasságunkhoz φ 12/1/2020 ©KEA 21

12/1/2020 ©KEA 22

12/1/2020 ©KEA 23

Aránytalan test n Nem „szép” 12/1/2020 ©KEA 24

n Maszájok n Modellek 12/1/2020 ©KEA 25

Összefüggés egészség és „szépség között” Belső fejlődési folyamatok n Ferde növények, nem „szimmetrikus” állatok n Átlagosnál sokkal „aránytalanabb „emberek n 12/1/2020 ©KEA 26

φ a természetben- miért látjuk szépnek? n Gustav Fechner n 12/1/2020 Kísérlet ©KEA 27

12/1/2020 ©KEA 28

φ az építészetben és a műveszetben n Jelentőségének oka: n Hit n 12/1/2020 φ isten(ek) műve ©KEA 29

Diadalív Róma 12/1/2020 ©KEA 30

Kheopsz piramis 12/1/2020 ©KEA 31

Városháza Lipcse 12/1/2020 ©KEA 32

Felhasznált irodalom: n n n n n Bundschuh : Zahlentheorie Markus Fulmek, Christian Krattenhaler: Diskrete Mathematik Wim Kleijne, Ton Konings: Der goldene Schnitt Dirk Stegmann: Der Goldene Schnitt Johannes Becker: Fibonacci und der goldene Schnitt Dr. Ruben Stelzner: Das Mysterium der Schönheit Albrecht Beutelspacher, Bernhard Petri: Der Goldene Schnitt Priya Hemenway: Divine Proportion Keszeg Attila : Molekulargenetik Mario Livio: The golden ratio