avec 08052017 Ateliers Ph M Observatoire de Lyon

avec 08/05/2017 Ateliers - Ph. M – Observatoire de Lyon – 2016 -17 Visualisation des mouvements dans le Système solaire

Introduction Les objets du Système solaire sont continuellement en mouvement. Le Soleil et les planètes tournent sur eux-mêmes et sont en orbites autour du barycentre du système, les lois de Kepler régissant les périodes orbitales. Chacun possède sa propre vitesse de rotation. On se propose, en simplifiant la structure du Système solaire, d’avoir une vision globale des mouvements et rotations : - faire apparaître les mouvements des planètes sur leurs orbites - les voir tourner sur elles-mêmes avec leurs périodes propres. La simulation portera sur le Soleil et les six planètes visibles à l’oeil nu de Mercure à Saturne. 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 2

Données de départ Les données utiles à la construction sont contenues dans le fichier datarot_syssol. ggb qui sert de fichier de départ. Le plan de référence du Graphique x. Oy est le plan de l’écliptique, la direction Ox est la direction du point vernal. Les ordres de grandeur des orbites et des planètes sont très différents. Pour rendre visible l’ensemble, deux échelles seront utilisées et la grandeur du Soleil sera minimisée. Lancer Geogebra et ouvrir le fichier datarot_syssol. ggb. 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 3

Données de départ Matrice rotation référentiel équatorial vers référentiel écliptique : Mε = {{1, 0, 0}, {0, cos(ε°), sin(ε°)}, {0, -sin(ε°), cos(ε°)}} - tps curseur temps de 0 à 12000 jours - ua l’unité astronomique en mètres - ε l’inclinaison de l’équateur terrestre sur l’écliptique (en degrés). 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 4

Données Tableur : caractéristiques Soleil et Planètes 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 5

Echelles distances et rayons des objets Les demi-grands axes des planètes sont donnés en unités astronomiques. L’échelle des orbites des planètes sera le million de kilomètres : orbite de la Terre = 150. L’échelle des rayons des planètes sera le millier de kilomètres : rayon Terre = 6. 371 Le rayon du Soleil sera en plus divisé par 50. Pour simplifier la construction des objets des 6 planètes, le travail sera organisé en séquences : périodes orbitales, périodes de rotation, demi-grands axes, rayons équatoriaux. Les nouveaux objets, points, cercles, axes…, seront des séquences construites avec ces éléments de base. 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 6

Partie I Construction 2 D des orbites et planètes 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 7

Séquences données Création des séquences de données : – Périodes de révolution (années) Prevol = (B 2: B 7)*365. 25 – Périodes de rotation (jours) Prot = B 15: B 20 – Demi-grands axe des orbites (en millions de km) aorb= (C 2: C 7) ua / 100000 – Rayon des planètes (en milliers de km) rpla = (J 2: J 7) / 1000000 Le nombre de planètes à tracer npla = Longueur[aorb] Sauver avec un nouveau nom personnalisé de fichier. 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 8

Construction du Soleil Le premier objet placé est le Soleil, au centre du graphique. En réalité il suit une petite orbite complexe autour du barycentre sous l’influence gravitationnelle des planètes, Jupiter et Saturne principalement. Il est au centre du système représenté par le point S (dim. 1 et jaune) : S = (0, 0, 0) – période de rotation du Soleil (jours) Psol = B 24 – cercle solaire (jaune ocre, transparence 25%, sans label) : rsol = J 11 / 1000000 / 50 csol = Cercle[(0, 0), rsol] 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 9

Orbites, points centres et cercles des planètes a) Orbites des planètes b) Les orbites des planètes sont assimilées à des cercles avec pour centre celui du Soleil. Tracer la séquence les orbites circulaires corb = Séquence[Cercle[(0, 0), Elément[aorb, i]], i, 1, npla] b) Positions angulaires des planètes sur leurs orbites : Dans la représentation, l’origine du temps est arbitraire, les positions à t = 0 des planètes aussi. Leur position angulaire sera prise nulle au temps origine. 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 10

Orbites, points centres et cercles des planètes Les planètes tournant uniformément avec leur période propre de révolution, les vitesses angulaires valent : (i = 1, 2, . . . , 6) Et à un temps t, les positions angulaires sont : (i = 1, 2, . . . , 6) dont on prendra le modulo 360 pour que les angles < 360°. 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 11

Orbites, points centres et cercles des planètes Expression des vitesses angulaires orbitales 360 / Elément[Prot, i] Séquence des positions des planètes sur leurs orbites, points en coordonnées polaires (bleu, dim. 1, forme croix) Ptpla = Séquence[ (Elément[aorb, i]; Reste[(360 / Elément[Prevol, i] tps)°, 360]), i, 1, npla] 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 12

Orbites, points centres et cercles des planètes c) Images des planètes Les planètes seront représentées par leurs cercles équatoriaux mis dans le plan du graphique. cpla = Séquence[Cercle[Elément[Ptpla, i], Elément[rpla, i]], i, 1, npla] Soleil et les orbites de Mercure, Vénus, Terre et Mars avec leurs cercles équatoriaux. 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 13

Rotation propre des corps Pour faire apparaître la rotation propre du Soleil et des planètes, on fera tourner, autour de leurs centres respectifs, un point sur leur cercle équateur. Il est repéré par l’angle φ variable avec le temps Pour tous les objets, à t = 0, la position de ce point est arbitraire. L’angle de position φ sera pris nul au temps origine. 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 14

Rotation propre des corps Avec le temps, l’angle φ varie proportionnellement à t avec une vitesse angulaire et vaut Dont on prendra le modulo 360. 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 15

Rotation propre des corps Soleil : angle de position du point équatorial de rotation propre φsol = Reste[360 / Psol tps, 360]° Point équatorial de rotation : Ptsol = Rotation[(rsol, 0, 0), φsol, Droite[S, Vecteur[(0, 0, 1)]]] 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 16

Rotation propre des corps Séquences des planètes : - angles de position des points équatoriaux de rotation propre φpla = Séquence[Reste[360 / Elément[Prot, i] tps, 360]°, i, 1, npla] - points de rotation, les centres des planètes étant les centres de rotation (Rotation[ <Objet>, <Angle>, <Point> ]) Pts = Séquence[ Rotation[Elément[Ptpla, i] + (Elément[rpla, i], 0, 0), Elément[φpla, i], Elément[Ptpla, i]], i, 1, npla] ou bien rotation autour de l’axe paralèle à Oz passant par le point planète (Rotation[ <Objet>, <Angle>, <Axe de Rotation> ]) Pts = Séquence[ Rotation[Elément[Ptpla, i] + (Elément[rpla, i], 0, 0), Elément[φpla, i], Droite[Elément[Ptpla, i], Vecteur[(0, 0, 1)]]], i, 1, npla] 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 17

Animation Pour faire tourner les planètes autour du Soleil et sur elles-mêmes, le temps va être animé. Il est utile de pouvoir changer la vitesse de l’animation suivant ce que l’on veut observer : mouvement orbital ou rotation propre, Soleil, planètes extérieures ou telluriques. . . Créer un bouton bascule à 4 positions (0, 1, 2 et 3) qui permet de doubler la vitesse entre chaque valeur, 0 donnant la vitesse minimale 0. 0005 dans l’échelle Geogebra. Cette valeur sera à adapter suivant l’ordinateur utilisé. 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 18

Animation Utilisation d’un entier prenant les valeurs 0, 1, 2 et 3 et permettant de définir la vitesse d’animation : a=0 vcode = 0. 001 (2^(a - 1)) vcode : l’incrément variable du temps tps. Créer un bouton : - Bouton 1 - légende “Vitesse” - mettre le “script par Clic” (onglet Propriétés / Script / Par Clic) : a = Si[a>2, 0, a+1] - changer dimension et couleur si l’on veut. Sous le bouton, mettre un texte en position absolue à l’écran, donnant le code de la vitesse et sa valeur. 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 19

Animation La valeur vcode sera mise dans la case Animation/Vitesse du curseur tps : 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 20

Partie II Construction 3 D des orbites et planètes 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 21

Sphères des objets Fermer la fenêtre Tableur si ce n’est déjà fait. Faire apparaître la fenêtre 3 D En ajoutant à chaque objet une sphère, une première vision 3 D apparaît. Séquences des centres : Ptpla et des rayons : rpla. sph. P = Séquence[Sphère[(Elément[Ptpla, i], Elément[rpla, i]], i, 1, npla] Changer au choix couleur et transparence. 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 22

Sphères des objets et celle du Soleil à son échelle : sph. Sol = Sphère[S, rsol] à mettre en jaune et semi-transparent. 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 23

Vision 3 D et orientation des équateurs Pour que la vision 3 D reste simple et visible, nous garderons les plans des orbites confondus avec le plan de l’écliptique. Seuls les cercles équatoriaux seront orientés dans leurs directions respectives, et les points de rotations propres tourneront sur ces cercles. 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 24

Vision 3 D et orientation des équateurs Il faut pour chaque objet définir et tracer les axes de rotation donnés par les coordonnées équatoriales (α et δ) de leurs directions (dans la partie tableur). - Vecteur unitaire de l’axe solaire (1; D 24°; E 24°) - composantes des vecteurs axes de rotation des planètes αrot=(D 15: D 20) δrot=(E 15: E 20) Ces vecteurs définis en coordonnées équatoriales, doivent être convertis en coordonnées écliptiques en appliquant la matrice de rotation Mε. 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 25

Axes de rotations Axe du Soleil : axe. S = droite[S, Mε*(1; D 24°; E 24°)] Axes de rotation de chaque planète Droite[ <Point>, <Vecteur> ] axe. P = Séquence[ Droite[Elément[Ptpla, i], Vecteur[Mε*(1; Elément[αrot, i]°; Elément[δrot, i]°)]], i, 1, npla] Style : couleur, style de ligne, épaisseur… 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 26

Cercles équateurs Equateur solaire : cequ. S = Cercle[S, rsol, axe. S] Reconstruction des cercles équateurs des planètes : cpla = Séquence[ Cercle[Elément[Ptpla, i], Elément[rpla, i], Elément[axe. P, i]], i, 1, npla] Style : couleur, épaisseur. 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 27

Points figuratifs des rotations Il reste à reconvertir les points figuratifs des rotations. Les équateurs ayant tournés, on ne peut plus prendre comme point au temps t = 0, le point défini dans le plan écliptique dans la direction du point vernal. Pour trouver un point sur les équateurs, on prendra l’une des intersections des équateurs et du plan écliptique. Le point ascendant correspondra à la position au temps origine. 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 28

Points figuratifs des rotations Positions des Intersections des cercles équateurs et du plan écliptique au point ascendant : Intersection[ <Objet>, <Objet> ] Pinter = Séquence[Intersection[Planx. Oy, Elément[cpla, i]], i, 1, npla] ainsi que celui du Soleil : Pinter. S = Intersection[Planx. Oy, cequ. S] Tous ces points sont à cacher. 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 29

Points figuratifs des rotations Pour les planètes on construit les points visualisant les rotations propres positionnés par les angles φpla : Rotation[ <Objet> , <Angle> , <Axe de Rotation> ] Pts = Séquence[ Rotation[Elément[Pinter, i], Elément[φpla, i], Elément[axe. P, i]], i, 1, npla] et pour le Soleil : Ps = Rotation[Pinter. S_1, φsol, axe. S] ou plus directement sans la création des intersections : Ps = Rotation[Intersection[Planx. Oy, cequ. S], φsol, axe. S] 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 30

Conclusions On a donc toutes les planètes qui tournent autour du Soleil sur des cercles de rayons proportionnels au rayon de leurs orbites, les équateurs des planètes et du Soleil orientés perpendiculairement à leurs axes de rotation et un point sur chaque équateur qui tourne à la vitesse de leur rotation propre. Il faut se servir du zoom et faire varier la vitesse de défilement du temps pour voir ces mouvements suivant que l’on regarde le Soleil, les planètes telluriques ou les planètes géantes. 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 31

En… Fin 08/05/2017 Visualisation des mouvements dans le Système solaire 32