Autor Micha Szymczak KARDIOIDA Autor Micha Szymczak DEFINICJA

  • Slides: 22
Download presentation
Autor: Michał Szymczak KARDIOIDA

Autor: Michał Szymczak KARDIOIDA

Autor: Michał Szymczak DEFINICJA KARDIOIDA – 2/23 KARDIOIDA – krzywa opisywana przez ustalony punkt

Autor: Michał Szymczak DEFINICJA KARDIOIDA – 2/23 KARDIOIDA – krzywa opisywana przez ustalony punkt okręgu toczącego się bez poślizgu po zewnętrzu innego nieruchomego okręgu o tej samej średnicy. Kardioida jest odmianą epicykloidy.

RÓWNANIA OPISUJĄCE KARDIOIDĘ Autor: Michał Szymczak KARDIOIDA – 3/23 Równania parametryczne: x = r(2

RÓWNANIA OPISUJĄCE KARDIOIDĘ Autor: Michał Szymczak KARDIOIDA – 3/23 Równania parametryczne: x = r(2 cos t – cos 2 t) y = r(2 sin t – sin 2 t) x = a cos t (1 – cos t) y = a sin t(1+ cos t) Postać uwikłana: ( x 2 + y 2 )2 - 2 ax (x 2+y 2) -a 2 y 2= 0 Lub postać biegunowa: φ = a(cos φ +1) gdzie φ Є <0, 2 π >

Autor: Michał Szymczak KARDIOIDA PODERĄ OKRĘGU KARDIOIDA – 4/23 SPODEK STYCZNA PROSTOPADŁA PUNKT PRZECIĘCIE

Autor: Michał Szymczak KARDIOIDA PODERĄ OKRĘGU KARDIOIDA – 4/23 SPODEK STYCZNA PROSTOPADŁA PUNKT PRZECIĘCIE

Autor: Michał Szymczak KARDIOIDA PODERĄ OKRĘGU KARDIOIDA - 5/23

Autor: Michał Szymczak KARDIOIDA PODERĄ OKRĘGU KARDIOIDA - 5/23

Autor: Michał Szymczak KONSTRUKCJA KARDIOIDA - 6/23

Autor: Michał Szymczak KONSTRUKCJA KARDIOIDA - 6/23

WYPROWADZENIE RÓWNANIA KARDIOIDY Autor: Michał Szymczak KARDIOIDA - 7/23 Równanie tego okręgu: 1 Równanie

WYPROWADZENIE RÓWNANIA KARDIOIDY Autor: Michał Szymczak KARDIOIDA - 7/23 Równanie tego okręgu: 1 Równanie stycznej do tego okręgu: Do postaci jawnej Równanie prostopadłej przechodzącej przez punkt (0, 0)

WYPROWADZENIE RÓWNANIA KARDIOIDY Autor: Michał Szymczak KARDIOIDA - 8/23 Wyznaczono xn yn Podstawiono do

WYPROWADZENIE RÓWNANIA KARDIOIDY Autor: Michał Szymczak KARDIOIDA - 8/23 Wyznaczono xn yn Podstawiono do równania Ostatecznie

WYPROWADZENIE RÓWNANIA KARDIOIDY Autor: Michał Szymczak KARDIOIDA - 9/23

WYPROWADZENIE RÓWNANIA KARDIOIDY Autor: Michał Szymczak KARDIOIDA - 9/23

Autor: Michał Szymczak KONSTRUKCJA W DERIVE KARDIOIDA – 10/23 Dla 20 punktów

Autor: Michał Szymczak KONSTRUKCJA W DERIVE KARDIOIDA – 10/23 Dla 20 punktów

Autor: Michał Szymczak KONSTRUKCJA W DERIVE KARDIOIDA – 11/23 Dla 200 punktów

Autor: Michał Szymczak KONSTRUKCJA W DERIVE KARDIOIDA – 11/23 Dla 200 punktów

Autor: Michał Szymczak KONSTRUKCJA W DERIVE KARDIOIDA – 12/23 Tworzy macierz punktów styczności xn

Autor: Michał Szymczak KONSTRUKCJA W DERIVE KARDIOIDA – 12/23 Tworzy macierz punktów styczności xn yn Rozwiązuje układ równań Przekształca macierz wyników

Autor: Michał Szymczak KONSTRUKCJA W DERIVE 6 KARDIOIDA – 13/23 Dla 400 punktów

Autor: Michał Szymczak KONSTRUKCJA W DERIVE 6 KARDIOIDA – 13/23 Dla 400 punktów

Autor: Michał Szymczak KONSTRUKCJA W DERIVE 6 KARDIOIDA 14/23

Autor: Michał Szymczak KONSTRUKCJA W DERIVE 6 KARDIOIDA 14/23

Autor: Michał Szymczak PUNKT OSOBLIWY KARDIOIDA – 15/23 l Krzywa ma równanie uwikłane l

Autor: Michał Szymczak PUNKT OSOBLIWY KARDIOIDA – 15/23 l Krzywa ma równanie uwikłane l ( x 2 + y 2 )2 - 2 ax (x 2+y 2) -a 2 y 2= 0 Punkt (0, 0) należy do krzywej F(0, 0)=0 Klasy funkcji należą do klasy x, y C 3 Q(0, 0) l l l

Autor: Michał Szymczak PUNKT OSOBLIWY KARDIOIDA – 16/23 l Dla (0, 0) jest równe

Autor: Michał Szymczak PUNKT OSOBLIWY KARDIOIDA – 16/23 l Dla (0, 0) jest równe zero l Ponieważ a 0 to δ(0, 0) > 0

Autor: Michał Szymczak KARDIOIDA – 17/23 PUNKT OSOBLIWY l Dla punktu (0, 0) delta

Autor: Michał Szymczak KARDIOIDA – 17/23 PUNKT OSOBLIWY l Dla punktu (0, 0) delta jest równa zero Wniosek: Punkt (0, 0) jest punktem zwrotu kardioidy Z analizy wykresu widać ze jest to punkt zwrotu pierwszego rodzaju ponieważ gałęzie krzywej są po różnych stronach stycznej w punkcie zwrotu.

Autor: Michał Szymczak DŁUGOŚĆ KRZYWEJ KARDIOIDA 18/23 l Równanie biegunowe Kardioidy φ = a(cos

Autor: Michał Szymczak DŁUGOŚĆ KRZYWEJ KARDIOIDA 18/23 l Równanie biegunowe Kardioidy φ = a(cos φ +1) Po obliczeniach wykonanych w Derive otrzymujemy: L= 8 a Gdzie „a” to promień okręgu którego poderą jest kardioida

Autor: Michał Szymczak POLE OBSZARU KARDIOIDA – 19/23 Sin (4 ) = 0 Sin

Autor: Michał Szymczak POLE OBSZARU KARDIOIDA – 19/23 Sin (4 ) = 0 Sin (2 ) = 0

Autor: Michał Szymczak KARDIOIDA W OPTYCE KARDIOIDA – 20/23 Pierwsi, którzy zauważyli, że cykloida

Autor: Michał Szymczak KARDIOIDA W OPTYCE KARDIOIDA – 20/23 Pierwsi, którzy zauważyli, że cykloida jest katakaustyką okręgu (czyli obwiednią rodziny promieni świetlnych odbitych, których źródło leży na okręgu) byli – w r. 1692 Jacob Bernoulli i jego ojciec Johann. Zarys kardioidy w kubku napełnionym kawą (fot. Piotr Kuświk)

Autor: Micał Szymczak KARDIOIDA W OPTYCE Autor: Michał Szymczak KARDIOIDA 21/23

Autor: Micał Szymczak KARDIOIDA W OPTYCE Autor: Michał Szymczak KARDIOIDA 21/23

Autor: Michał Szymczak Źródła: ØBogdan Kaczmarek - „Krzywe Specjalne” wyd. Politechniki Poznańskiej 1981 Ø

Autor: Michał Szymczak Źródła: ØBogdan Kaczmarek - „Krzywe Specjalne” wyd. Politechniki Poznańskiej 1981 Ø http: //www. math. put. poznan. pl/~amarlew/a 3 s/a 3. htm Øhttp: //pl. wikipedia. org/wiki/Kardioida Øhttp: //archiwum. wiz. pl/1997/97102800. asp