AUTOMATYKA i ROBOTYKA wykad 3 Wykadowca dr in

AUTOMATYKA i ROBOTYKA (wykład 3) Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz Nazwa wydziału: WIMi. R Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH

Własności statyczne systemów dynamicznych Charakterystyka statyczna opisuje zależność wyjścia systemu dynamicznego od jego wejścia w stanie USTALONYM. u(t) Obiekt y(t) Sposób wyznaczania: 1. Podajemy sygnał u o stałej wartości na wejście obiektu, 2. Czekamy, aż wartość wyjścia „y(t)” się ustali, 3. Odczytujemy wyjście „y” 4. Zmieniamy stałą wartość wejścia „u” i powtarzamy kroki 1 -3

Wyjście układu y Przykładowy przebieg charakterystyki statycznej: Punkt pracy UWAGA! Charakterystyka statyczna prawie każdego rzeczywistego układu jest nieliniowa! Wejście u

Punkt pracy układu Jest zdeterminowany przez warunki konkretnego procesu, np. jest to wymagana temperatura pieca, w której przebiega proces, itp. W praktyce obiekt może mieć kilka punktów pracy ( np. kilka różnych temperatur)

Linearyzacja statyczna y Zakres liniowy P(u 0, y 0) Punkt pracy Zakres liniowy u W niewielkim otoczeniu punktu pracy układ może być uważany za liniowy.

Linearyzacja dynamiczna Dane jest nieliniowe równanie różniczkowe n-tego rzędu, opisujące system dynamiczny:

Linearyzacja dynamiczna Rozwijamy funkcję f w szereg Taylora w otoczeniu punktu pracy P i zaniedbujemy nieliniowe wyrazy rozwinięcia. Równanie zlinearyzowane ma następującą postać: Dla równania I rzędu powyższa zależność przyjmuje postać następującą:

Linearyzacja dynamiczna Przybliżenie liniowe y P(u 0, y 0) Punkt pracy u Interpretacja geometryczna.

Transmitancja operatorowa Dotychczas układy rzeczywiste opisywaliśmy (tworząc ich model matematyczny) równaniami różniczkowymi. Np. model silnika prądu stałego. Model systemu dynamicznego w postaci transmitancji jest drugim, częściowo alternatywnym, częściowo uzupełniającym sposobem opisu systemów dynamicznych dla potrzeb automatyki. Podstawowa ideą opisu transmitancyjnego jest badanie zachowania się wyjścia obiektu pod wpływem określonych sterowań. W automatyce rozróżniamy dwa rodzaje transmitancji: transmitancję operatorową oraz transmitancję widmową, przy czym są one z sobą ściśle powiązane.

Transmitancja operatorowa układu Rozważmy najprostszy schemat systemu dynamicznego. Załóżmy że: • rozważamy wyłącznie sygnały sterujące działające na obiekt ( nie uwzględniamy zakłóceń ), • na obiekt działamy tylko jednym sterowaniem, a na wyjściu obserwujemy tylko jeden sygnał wyjściowy. Taki schemat procesu nazywamy schematem typu wejście-wyjście. u(t) Proces y(t) Oznaczmy sygnał sterujący oddziałujący na obiekt przez u(t), a sygnał wyjściowy z obiektu przez y(t), a ich transformaty Laplace’a odpowiednio przez U(s) oraz Y(s). Załóżmy też, że warunki początkowe na zbiornikach energii w układzie są zerowe.

Definicja transformaty operatorowej Transmitancją operatorową układu o jednym wejściu i jednym wyjściu nazywamy następujące wyrażenie: Transmitancja jest więc stosunkiem transformaty Laplace’a wyjścia systemu do transformaty wejścia systemu, przy zerowych warunkach początkowych. To ostatnie założenie jest bardzo istotne i decyduje o ograniczeniach stosowalności modelu transmitancyjnego. W praktyce, transmitancja ma najczęściej postać ilorazu dwóch wielomianów zmiennej s, przy czym lokalizacja pierwiastków tych wielomianów ma decydujące znaczenie dla własności układu.

Przykład – siłownik pneumatyczny membranowy Sygnałem wejściowym siłownika jest ciśnienie Pz podawane na membranę wejściową. Siła wywierana przez ciśnienie jest wprost proporcjonalna do ciśnienia oraz powierzchni membrany. Sygnałem wyjściowym jest przesunięcie trzpienia x. A - powierzchnia membrany, m - masa części ruchomych ( membrana i trzpień ), k - stałą sprężystości sprężyny podpierającej, R - współczynnik oporów ruchu części ruchomych.

Przykład – siłownik pneumatyczny membranowy cd. • Transmitancję operatorową rozważanego układu wyznaczymy na podstawie bilansu sił występujących w nim: • Oznaczmy siłę pochodzącą od ciśnienia wejściowego przez Fp. Fp(t) = Apz(t) • Siła sprężystości sprężyny jest proporcjonalna do przesunięcia trzpienia Fs(t)=kx(t) • Siła oporu części ruchomych występuje tylko podczas ruchu i w rozważanym przypadku można uznać, że jest ona proporcjonalna do prędkości: FR(t)=Rv(t) • jest siła bezwładności. Jest ona opisana powszechnie znanym wzorem: Fb(t)=ma(t)

Przykład – siłownik pneumatyczny membranowy cd. Bilans sił można zapisać następująco: Fp = Fs+FR+Fb Po uwzględnieniu wcześniejszych zależności otrzymujemy: Apz(t) = kx(t) + Rv(t) + ma(t) Wiedząc, że: Otrzymujemy: Transformata Laplace’a powyższego równania, przy założeniu zerowych warunków początkowych na x oraz będzie mieć następującą postać: APz(s) = k. X(s) + Rs. X(s) +ms 2 X(s) Jeżeli teraz przypomnimy, że wyjściem układu jest sygnał x, a wejściem – sygnał pz, to widzimy, że transmitancja operatorowa układu będzie mieć postać:

Chrakterystyki czasowe Definicja: Charakterystyką czasową nazywamy przebieg czasowy wyjścia układu y(t) wywołany określonym wymuszeniem. Charakterystyka impulsowa: Jest to odpowiedź układu na impuls Diraca δ(t) Charakterystyka skokowa: odpowiedź układu na skok jednostkowy 1(t)

Eksperymentalne wyznaczanie charakterystyk czasowych: u(t) = 1(t), u(t) y(t) Obiekt zadajnik t Rejestrator, System SCADA

Analityczne wyznaczanie charakterystyki czasowej na podstawie transmitancji Dla przypomnienia:

Przykład Rozważmy obiekt inercyjny I rzędu: Charakterystyka czasowa skokowa: Powyższą relację rozkładamy na ułamki proste (przypominamy sobie z ćwiczeń): Gdzie: Stąd natychmiast otrzymujemy, że:

Transmitancja widmowa Definicja Transmitancją widmową układu nazywamy stosunek wartości zespolonej składowej wymuszonej odpowiedzi Yw tego układu wywołanej wymuszeniem sinusoidalnym do wartości zespolonej tego wymuszenia:

Doświadczalne wyznaczanie transmitancji widmowej i charakterystyk częstotliwościowych: u(t) = Au sin( t) generator Obiekt y(t)=Ay sin ( t+ ) Rejestracja: M( ) i ( )

Transmitancja widmowa Sygnał wejściowy U: Odpowiedź obiektu Y:

Transmitancja widmowa Moduł transmitancji: Faza transmitancji: • A(ω) – amplituda, • (ω) – faza

Analityczne wyznaczanie transmitancji widmowej: Wykorzystujemy związek pomiędzy transmitancją widmową i operatorową, pozwalający na wyznaczenie transmitancji widmowej na podstawie transmitancji operatorowej:

Przykład Wyznaczyć transmitancję widmową G(j ) dla obiektu I rzędu o transmitancji operatorowej:

Charakterystyki częstotliwościowe Definicja Charakterystyką amplitudowo – fazową układu (charakterystyką Nyquista ) nazywamy wykres transmitancji widmowej tego układu na płaszczyźnie zmiennej zespolonej. Q( ) Przykład: =0 M( ) P( )

Charakterystyki częstotliwościowe Definicja • Logarytmiczną charakterystyką amplitudową (charakterystyką Bodego ) nazywamy zależność 20 log. M( ) w funkcji log Definicja • Logarytmiczną charakterystyką fazy nazywamy zależność w funkcji log Przykład 20 log. M( )[d. B] log

Podstawowe człony dynamiczne Transmitancja opisująca membranowy siłownik pneumatyczny: Transmitancja opisująca obwód RLC: Transmitancja opisująca zespół masa-tłumik-sprężyna: k m x R F

Podstawowe człony dynamiczne • Na podstawie wcześniejszych rozważań możemy zauważyć, że tym samym modelem matematycznym można opisać wiele zupełnie różnych procesów fizycznych. • W konsekwencji tego, grupy procesów będą mogły być opisane transmitancjami tego samego typu. • W związku z tym można stwierdzić, że ogromna większość rzeczywistych procesów dynamicznych może być opisana kilkoma podstawowymi transmitancjami, bądź ich połączeniem.

Podstawowe człony dynamiczne obiekt proporcjonalny Transmitancja tego elementu ma postać: G(s) = k Charakterystyka czasowa: y(t) u(t)=1(t) czas

Podstawowe człony dynamiczne obiekt proporcjonalny Charakterystyka częstotliwościowa amplitudowo-fazowa: Q(ω) k P(ω) Charakterystyki logarytmiczne modułu i fazy: 20 log. M(ω) 20 log(k) Φ(ω) ω ω

Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny I rzędu Transmitancja tego elementu ma postać: Charakterystyka czasowa: gdzie: k – współczynnik wzmocnienia, T – stała czasowa, A – amplituda skoku jednostkowego.

Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny I rzędu Transmitancja widmowa: Charakterystyka częstotliwościowa amplitudowo-fazowa: Q(ω) ω=0 k P(ω) ω=1/T

Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny I rzędu Charakterystyki częstotliwościowe logarytmiczne modułu i fazy: 20 log. M( ω) 20 log(k) -20 d. B/dekadę Φ(ω) - /4 - /2 ω=1/T ω

Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny II rzędu Transmitancja obiektu: gdzie: k – współczynnik wzmocnienia T 1 , T 2 – stałe czasowe. Charakterystyka czasowa: k y(t) u(t)=1(t) T 1 T 2 czas

Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny II rzędu Transmitancja widmowa: Charakterystyka amplitudowo-fazowa:

Podstawowe człony dynamiczne obiekt inercyjny II rzędu Charakterystyki częstotliwościowe logarytmiczne modułu i fazy : 20 log. M(ω) 20 log(k) -20 d. B/dekadę -40 d. B/dekadę Φ(ω) - /2 - ω=1/T 1 ω=1/T 2 ω