AUTOMATYKA i ROBOTYKA wykad 10 Wykadowca dr in

AUTOMATYKA i ROBOTYKA (wykład 10) Wykładowca : dr inż. Iwona Oprzędkiewicz Nazwa wydziału: WIMi. R Nazwa katedry: Katedra Automatyzacji Procesów AGH

Układy nieliniowe wykazują cztery właściwości znacznie różniące je od układów liniowych: 1) nie spełniają zasady superpozycji, 2) charakter odpowiedzi w stanie ustalonym w sposób istotny zależy od amplitudy sygnału sterującego lub amplitudy zakłócenia, 3) odpowiedź w stanie ustalonym oprócz częstotliwości pochodzącej od wymuszenia lub zakłócenia może dodatkowo zawierać inne harmoniczne,

Układy nieliniowe 4) stabilność układów w istotny sposób zależy od wartości warunków początkowych, przykładowo: a) dla małych wartości warunków początkowych układ może być stabilny, b) dla dużych wartości warunków początkowych układ może być niestabilny.

Zasada superpozycji - przypomnienie Zasada superpozycji stosowana jest w analizie i syntezie liniowych układów regulacji. Brzmi ona następująco: Reakcja układu liniowego na sumę sygnałów jest równa sumie reakcji na każdy sygnał osobno.

Układy nieliniowe - przykład Mamy trzy układy regulacji z jednostkowym sprzężeniem zwrotnym: 1) układ liniowy opisany funkcją przejścia toru głównego 2) układ nieliniowy zawierający człon liniowy opisany poniższą funkcją przejścia oraz człon o charakterystyce przekaźnika dwupołożeniowego

Układy nieliniowe - przyklad 3) układ nieliniowy zawierający człon liniowy opisany poniższą funkcją przejścia oraz człon o charakterystyce przekaźnika dwupołożeniowego

Układy nieliniowe Schematy blokowe układów regulacji

Układy nieliniowe - przykład Wszystkie układy poddano jednocześnie działaniu poniższych sygnałów skokowych: - sygnału w(t) = Aw· 1(t), gdzie Aw = 1 i otrzymano wyniki jak na rysunku 1. - sygnału w(t) = Aw· 1(t), gdzie Aw = 4 i otrzymano wyniki jak na rysunku 2.

Układy nieliniowe przykład Rys. 1. Charakterystyki skokowe układów dla Aw = 1

Układy nieliniowe - przykład Rys. 2. Charakterystyki skokowe układów dla Aw = 4

Układy nieliniowe - przykład Wnioski : - układ 1 zachowuje się tak, że na podstawie charakterystyki dla Aw = 1 można wyznaczyć charakterystykę dla Aw = 4, - w przypadku układu 2 i 3 na podstawie charakterystyk dla Aw = 1 nie można wyznaczyć charakterystyk dla Aw = 4.

Układy nieliniowe – symbole graficzne Symbole graficzne członów nieliniowych: a) symbol ogólny; b) charakterystyka dana wzorem; c) charakterystyka dana graficznie

Układy nieliniowe Ogólnie odpowiedź y(t) członu nieliniowego jest związana z wymuszeniem u(t) tego członu nieliniowym równaniem różniczkowym n-tego rzędu gdzie:

Układy nieliniowe W przypadku szczególnym powyższe równanie może przyjąć postać algebraiczną przedstawiającą model nieautonomiczny F(y, u, t) = 0 Gdy czas nie występuje w postaci jawnej, to człon opisujemy równaniem autonomicznym, nazywanym charakterystyką statyczną F(y, u) = 0 którą zwykle staramy się przedstawić w postaci y = f(u)

Układy nieliniowe Ze względu na opis matematyczny charakterystyki statyczne członów nieliniowych dzielimy na dwie grupy: 1) nieliniowości analityczne, czyli opisane w postaci jednoznacznej krzywej gładkiej lub rodziny krzywych. 2) nieliniowości nieanalityczne, czyli opisane za pomocą krzywych nieciągłych lub niejednoznacznych. Ponadto wszystkie nieliniowości ze względu na sposób występowania w układzielimy na: 1) nieliniowości strukturalne, czyli wynikające z właściwości fizycznych członów, 2) nieliniowości celowe, czyli specjalnie wprowadzone do układu dla zapewnienia pożądanych właściwości statycznych i dynamicznych.

Układy nieliniowe – wybrane charakterystyki statyczne Do bardzo często spotykanych członów nieliniowych zaliczamy: a) człon ze strefą nieczułości, b) człon z nasyceniem, c) człon ze strefą nieczułości i nasyceniem, d) człon ze skokiem początkowym i nasyceniem, e) przekaźnik dwupołożeniowy bez histerezy, f) przekaźnik dwupołożeniowy z histerezą, g) przekaźnik trójpołożeniowy bez histerezy, h) przekaźnik trójpołożeniowy z histerezą.

Charakterystyki statyczne wybranych członów nieliniowych Nazwa członu Człon ze strefą nieczułości Człon z nasyceniem Charakterystyka członu y = f(u)

Charakterystyki statyczne wybranych członów nieliniowych Nazwa członu Człon ze strefą nieczułości i nasyceniem Człon ze skokiem początkowym i nasyceniem Charakterystyka członu y = f(u)

Charakterystyki statyczne wybranych członów nieliniowych Nazwa członu Przekaźnik dwupołożeniowy bez histerezy (idealny) Przekaźnik dwupołożeniowy z histerezą (rzeczywisty) Charakterystyka członu y = f(u)

Charakterystyki statyczne wybranych członów nieliniowych Nazwa członu Przekaźnik trójpołożeniowy bez histerezy (idealny) Przekaźnik trójpołożeniowy z histerezą (rzeczywisty) Charakterystyka członu y = f(u)

Wybrane schematy zastępcze członów przekaźnikowych Dla charakterystyki przekaźnika dwupołożeniowego z histerezą konstruujemy schemat zastępczy zawierający charakterystykę przekaźnika idealnego i obwód sprzężenia zwrotnego jak na rysunku poniżej.

Wybrane schematy zastępcze członów przekaźnikowych Dana jest charakterystyka przekaźnika trójpołożeniowego z histerezą oraz charakterystyka przekaźnika idealnego przechodząca przez środek pola histerezy.

Wybrane schematy zastępcze członów przekaźnikowych Schemat zastępczy przekaźnika trójpołożeniowego z histerezą.

Przekształcanie schematów blokowych Schematy blokowe układów z członami nieliniowymi można przekształcać podobnie jak schematy układów liniowych. Obowiązuje przy tym warunek konieczny i dostateczny przekształcenia: Zastąpienie części schematu układem równoważnym nie może powodować zmian w pozostałych częściach schematu nie podlegającym przekształceniu. Stąd wynika podstawowa zasada przekształcania: Kolejność występowania członów nieliniowych ma istotne znaczenie dla właściwości układu i nie wolno jej zmieniać.

Przekształcanie schematów blokowych Dopuszczalne przekształcenia schematów blokowych: 1) szeregowe połączenie członów, 2) równoległe połączenie członów, 3) przenoszenie węzła zaczepowego.

Przekształcanie schematów blokowych Rozważamy fragment układu złożony z dwóch członów nieliniowych o znanych charakterystykach statycznych połączonych szeregowo: Dwa człony nieliniowe połączone szeregowo. Człon zastępczy równoważny układowi z rysunku obok. Po podstawieniu charakterystyki pierwszego członu do charakterystyki drugiego członu otrzymujemy y = f 2(u 1) = f 2[f 1(u)] = f(u)

Przekształcanie schematów blokowych Równoległe połączenie członów Dwa człony nieliniowe połączone równolegle Człon zastępczy równoważny układowi ze schematu obok Z istoty połączenia równoległego wynika, że charakterystyka członu zastępczego jest równa sumie charakterystyk członów składowych y = y 1 + y 2 = f 1(u) + f 2(u) = f(u)

Przekształcanie schematów blokowych Graficzne wyznaczanie charakterystyki członu zastępczego dla członów nieliniowych połączonych równolegle

Przekształcanie schematów blokowych – przykład 1 Wyznaczyć charakterystykę członu zastępczego dla podanego niżej równoległego połączenia członów o znanych charakterystykach statycznych. Dwa człony nieliniowe połączone równolegle

Przekształcanie schematów blokowych – przykład 1 Rozwiązaniem jest charakterystyka pokazana na rysunku. Charakterystyka wypadkowa jest liniowa lub zbliżona do liniowej. Charakterystyki dla podanych układów

Przekształcanie schematów blokowych – przykład 2 Wyznaczyć charakterystykę członu o zmiennym wzmocnieniu, utworzonego z: 1) członu liniowego opisanego wzmocnieniem K 1 = 0. 5, 2) członu nieliniowego ze strefą nieczułości o szerokości 2 a = 1, poza tą strefą opisanego wzmocnieniem K 2 = 2. Schemat członu o zmiennym wzmocnieniu

Przekształcanie schematów blokowych – przykład 2 Charakterystyka statyczna członu

Przenoszenie węzła zaczepowego przed blok Przeniesienie węzła zaczepowego przed blok nieliniowy zgodnie z warunkiem koniecznym i dostatecznym wymaga wprowadzenia dodatkowego członu nieliniowego takiego, jak człon dany. Otrzymamy wtedy schemat pokazany poniżej na rysunku. Schemat blokowy z węzłem zaczepowym za blokiem Przekształcony schemat z rysunku obok

Przenoszenie węzła zaczepowego za blok Przeniesienie węzła zaczepowego za blok nieliniowy zgodnie z warunkiem koniecznym i dostatecznym wymaga wprowadzenia dodatkowego członu nieliniowego o charakterystyce odwrotnej do charakterystyki danej. Schemat blokowy z węzłem zaczepowym przed blokiem Przekształcony schemat z rysunku obok

Układy regulacji dwupołożeniowej Ze statycznym obiektem regulacji umax r + - -h u(t) h h y(t) e Uwagi wstępne: • Typowy przykład zastosowań to regulacja temperatury, • Przebiegi wielkości regulowanej w układzie zależą nie tylko od własności regulatora, lecz także od własności obiektu. • Jako regulator można stosować przekaźnik o charakterystyce asymetrycznej.

Układy regulacji dwupołożeniowej Przebiegi odpowiedzi umin oraz umax: skokowej obiektu na sterowanie y(t) ymax ymin UWAGA! W przypadku obiektów cieplnych stała czasowa i czas martwy mają różne wartości dla grzania i chłodzenia! ( zob. wykres powyżej)

Układy regulacji dwupołożeniowej Przebiegi czasowe wielkości regulowanej i sygnału sterowania w układzie: 4 3. 5 3 2 h r 2. 5 2 1. 5 1 0. 5 0 0 50 100 150 200 250 300 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 50 100 150 200 250 300

Układy regulacji dwupołożeniowej • • • Uwagi do wykresów: W układzie występują oscylacje wielkości regulowanej i nie da się ich uniknąć. Zwiększenie amplitudy oscylacji powoduje zmniejszenie częstotliwości przełączeń, Rozszerzenie szerokości histerezy h powoduje zwiększenie amplitudy oscylacji, Im większy wartość czasu martwego obiektu , tym większa amplituda oscylacji w układzie, im większa wartość stałęj czasowej obiektu, tym mniejsza częstotliwość przełączeń.

Przebiegi wielkości regulowanej w układzie regulacji II położeniowej dla różnych poziomów wartości zadanej ( obiekty statyczne) 1. Wysoki poziom wartości zadanej: r bliska wartości ymax : 6 5 yśr 4 3 2 1 0 0 50 100 150 yśr < r 200 250 300

Przebiegi wielkości regulowanej w układzie regulacji II położeniowej dla różnych poziomów wartości zadanej ( obiekty statyczne) 2. Wartość zadana na poziomie ok. 50% zakresu 6 5 4 yśr 3 2 1 0 0 50 100 150 yśr ≈ r 200 250 300

Przebiegi wielkości regulowanej w układzie regulacji II położeniowej dla różnych poziomów wartości zadanej ( obiekty statyczne) 3. Niski poziom wartości zadanej: r bliska wartości ymin : 6 5 4 3 2 yśr 1 0 0 50 100 150 yśr > r 200 250 300

Układ regulacji II położeniowej z astatycznym obiektem regulacji: umax r + - -h u(t) h h y(t) e Uwagi wstępne: • Przebiegi wielkości regulowanej w układzie zależą nie tylko od własności regulatora, lecz także od własności obiektu. • Jako regulator należy zastosować przekaźnik o charakterystyce symetrycznej. • Wartość średnia wielkości regulowanej nie zależy od poziomu wartości zadanej.

Układ regulacji II położeniowej z astatycznym obiektem regulacji: 6 4 2 0 -2 -4 -6 0 50 100 150 200 250 300

Metoda funkcji opisującej. Uwagi wstępne: • Metoda funkcji opisującej stanowi rozszerzenie metod opisu systemów liniowych w dziedzinie częstotliwości, • Po podaniu sygnału sinusoidalnego na wejście elementu nieliniowego na wyjściu elementu pojawia się sygnał okresowy, ale nie sinusoidalny. • Kształt sygnału wyjściowego zależy od rodzaju nieliniowości oraz od amplitudy sygnału wejściowego. Idea metody funkcji opisującej polega na założeniu, że kształt przebiegu wyjściowego można w przybliżeniu opisać za pomocą jego pierwszej harmonicznej.

Przejście sygnału sinusoidalnego przez element III położeniowy - przykład: Φ(u) ym -n n u -ym • Charakterystyka symetryczna, • Bez histerezy,

Metoda funkcji opisującej. Na element podajemy sygnał sinusoidalny o amplitudzie A 1 większej od strefy nieczułości elementu 2 n: u(t) A 1 ym -n y(t)= Φ(u(t)) n -ym u(t)=A 1 sin t A 1 > 2 n

Metoda funkcji opisującej. u(t) 2 ym 1. 5 n 1 y(t) 0. 5 -n 0 -ym -0. 5 -1 -1. 5 -2 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Metoda funkcji opisującej. Definicja Funkcją opisującą elementu nieliniowego nazywamy stosunek wartości zespolonej amplitudy pierwszej harmonicznej sygnału wyjściowego A(Y 1 h) do amplitudy sinusoidalnego sygnału wejściowego A 1 Dla elementów nieliniowych bezinercyjnych symetrycznych charakterystykach statycznych: o

Metoda funkcji opisującej. Definicja Wykres krytyczny elementu nieliniowego: Wykres krytyczny wyznacza się przy A 1 zmieniającej się w zakresie od 0 do ∞.

Funkcje opisujące nieliniowych typowych elementów Przekaźnik II położeniowy bez histerezy: y ym u -ym Q Wykres krytyczny: A 1 -> A 1 =0 P

Funkcje opisujące typowych elementów nieliniowych y Przekaźnik II położeniowy z histerezą: ym -h h -ym A 1>h: u A 1<h J(A 1)= 0

Funkcje opisujące nieliniowych typowych elementów Wykres krytyczny: Q P A 1 -> A 1 =h

Funkcje opisujące nieliniowych Przekaźnik III położeniowy bez histerezy: typowych elementów y ym -n n A 1>n: ym u A 1<n J(A 1)= 0

Funkcje opisujące nieliniowych typowych elementów Wykres krytyczny: Q A 1 =0 A 1 -> P

Funkcje opisujące nieliniowych typowych elementów y Przekaźnik III położeniowy z histerezą: -n ym -an an A 1>n: ym n u A 1<n J(A 1)= 0

Funkcje opisujące nieliniowych typowych elementów Wykres krytyczny: Q P A 1 -> A 1 =a n

Funkcje opisujące nieliniowych y typowych elementów Element z nasyceniem: ym Arc tg = k -n n -ym u A 1<n J(A 1)=k

Funkcje opisujące nieliniowych typowych elementów Wykres krytyczny: Q A 1 -> -1/k P

Funkcje opisujące nieliniowych typowych Element ze strefą nieczułości: y -n Arc tg = k n u A 1<n J(A 1)=0 elementów

Funkcje opisujące nieliniowych typowych elementów Wykres krytyczny: Q A 1 =0 A 1 -> -1/k P

Stabilność układu regulacji z regulatorem nieliniowym i liniowym obiektem regulacji. Kryterium Nyquista dla systemów nieliniowych. r + - J(A 1) u(t) G(jω) y(t) Uogólniona transmitancja widmowa układu otwartego jest równa: Go(A 1, jω)=J(A 1)G(jω)

Granica stabilności wg kryterium Nyquista: Uwaga Wykres krytyczny w przypadku układu nieliniowego jest odpowiednikiem punktu (-1, j 0) w przypadku układu liniowego.

Przybliżony warunek stabilności (Kryterium Nyquista dla systemu nieliniowego ) Jeżeli układ otwarty jest stabilny i charakterystyka amplitudowo – fazowa liniowej części układu nie okrąża wykresu krytycznego elementu nieliniowego ani nie ma z nim punktów wspólnych, to układ zamknięty jest globalnie stabilny. Uwagi. • Jeżeli pewna część wykresu krytycznego jest okrążana przez charakterystykę G(jω), to punkt przecięcia obu wykresów określa amplitudę i pulsację drgań ustalonych występujących w układzie ( cyklu granicznego ) • Część wykresu krytycznego okrążana przez G(j ) opisuje niestabilną część systemu, a część nie okrążana opisuje część stabilną.

Przykład 1 r + - J(A 1) u(t) G(jω) Liniowy obiekt regulacji opisany jest następująco: y(t)

Obiekt jest sterowany nieliniowym regulatorem P o następującej charakterystyce: y 5 Arc tg = k -n n u -5 Problem: Dla jakiej wartości k układ będzie stabilny globalnie?

Przykład 1 cd. Pm( ) Qm( ) 0 1/ 3 0 - 3/8 3 -1/8 0 0 0 1 Q 0. 8 0. 6 0. 4 0. 2 K(A 1) 0 -1/8 -0. 2 -0. 4 P -1/k -0. 6 G(jω) -0. 8 -1 -1 -0. 8 -0. 6 -0. 4 -0. 2 0 Real Axis 0. 2 0. 4 0. 6 Układ będzie stabilny globalnie dla k < 8 0. 8 1

Przykład 2 r + - J(A 1) u(t) G(jω) y(t) Rozważamy obiekt regulacji z poprzedniego przykładu:

Jako regulator stosujemy przekaźnik II położeniowy bez histerezy: y 5 u -5

Przykład 2 cd. Uwagi: • Układ nie będzie stabilny, gdyż dla każdej wartości ym charakterystyka G(jω) będzie przecinała wykres krytyczny regulatora. • Układ będzie na granicy stabilności i punkt przecięcia wykresu krytycznego z wykresem G(jω) określa amplitudę i pulsację drgań ustalonych. • W rozważanym przypadku:

Przykład 2 cd. 1 Pm( ) Qm( ) 0 1/ 3 0 - 3/8 3 -1/8 0 0 0 Q 0. 8 0. 6 0. 4 -1/8 K(A 1) 0. 2 P 0 -0. 2 - 3/8 -0. 4 -0. 6 G(jω) -0. 8 -1 -1 -0. 8 -0. 6 -0. 4 -0. 2 0 Real Axis 0. 2 0. 4 0. 6 0. 8

Przykład 3 r + - J(A 1) u(t) G(jω) y(t) Rozważamy obiekt regulacji z poprzedniego przykładu:

Jako regulator stosujemy przekaźnik II położeniowy z histerezą o szerokości h: u 5 -h h e -5 Dla jakiej szerokości strefy histerezy h zamknięty układ regulacji będzie globalnie stabilny?

Pm( ) Qm( ) 0 1/ 3 0 - 3/8 3 -1/8 0 0 0 Na podstawie poniższego wykresu widać, ch-ka obiektu nie przetnie wykresu krytycznego jeżeli: Jeżeli ym= 5, to ostatecznie: 1 Q 0. 8 0. 6 0. 4 -1/8 0. 2 P 0 -0. 2 - 3/8 -0. 4 K(A 1) -0. 6 G(jω) -0. 8 -1 -1 -0. 8 -0. 6 -0. 4 -0. 2 0 Real Axis 0. 2 0. 4 - h/4 ym 0. 6 0. 8