Ausgewhlte Kapitel der Physik Mechanik Bewegungslehre Kinematik 3112021

Ausgewählte Kapitel der Physik Mechanik Bewegungslehre = Kinematik 3/11/2021

Mechanik • Kinematik Die Kinematik behandelt die Gesetzmäßigkeiten, die den Bewegungsabläufen zu Grunde liegen. Wir zerlegen eine allgemeine Bewegung in zwei Bewegungsarten: Translation = entlang einer (geraden) Bahn Rotation = Drehbewegung Die dabei auftretenden Größen: Weg s, Geschwindigkeit v, und Beschleunigung a bzw. Winkelgeschwindigkeit w und Winkelbeschleunigung a …. sind vektorielle Größen. Auch wenn sie nicht immer als solche gekennzeichnet sind, wird man aus dem Zusammenhang die Entscheidung finden, ob man nur mit 3/11/2021 oder mit Vektoren rechnen muss. Beträgen

Mechanik Arten der Translation: gleichförmig: gleichmäßig beschleunigt ungleichmäßig beschleunigt Die Größen der Translation sind Funktionen der Zeit! s(t) , v(t), a(t) è Zeit-Diagramme Beispiel: der ÖBB-Fahrplan Salzburg…Bhofen Die Geschwindigkeit ist im s/t-Diagramm als Steigung oder Gefälle des Graphen abzulesen. Im Weg/Zeit- Diagramm lassen sich der Ort des Obj. zu jeder Zeit feststellen. Auch wann sich zwei Züge begegnen. In den einzelnen Abschnitten sind die Geschwindigkeiten konstant, die Anfahrund Bremsbeschleunigungen fallen zeitlich kaum ins Gewicht. 3/11/2021 74 1 84 0

Mechanik Gleichförmige Translation. Die Geschwindigkeit ist konstant, In gleichen Zeiten Dt werden gleiche Strecken Ds zurückgelegt. Die Darstellung erfolgt meist in einem Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm Generell gilt v = Ds / Dt. Bei konstanter Geschwindigkeit kann der Gesamtweg und die Gesamtzeit genommen werden. v=s/t Die Einheit der Geschwindigkeit ist [v] = 1 m/s= 3600 m / 3600 s = 3, 6 km / h SI-fremde Einheit: Miles per hr 1 mph = 1, 609 km / h 3/11/2021

Mechanik Gleichmäßig beschleunigte Translation. Die Geschwindigkeit ändert sich proportional zur Zeit. In gleichen Zeiten ändert sich die Geschwindigkeit um denselben Betrag Dv = a* Dt Generell gilt a = Dv / Dt. Bei konstanter Beschleunigung steigt oder fällt die Geschwindigkeit linear, der Weg hat einen parabelförmigen Verlauf. Die Einheit der Beschleunigung ist [a] = 1 m/s² Aus v=a*t und s=a/2*t² erhält man v Das ist die Geschwindigkeit nachdem die Strecke s beschleunigt zurückgelegt 3/11/2021 wurde.

Mechanik Fall und Wurf Der freie Fall ist eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung mit a = g = 9. 81 m/s² Die Endgeschwindigkeit beträgt v = Wurzel(2*g*h) Hier also v=Wurzel(2*9, 81 m/s²*110 m)=…. . Und die Fallzeit t=Wurzel (110/2/9, 81)=…. Im 145, 5 Meter hohen Bremer Fallturm sind Abwürfe aus 110 Metern mit einer Fallzeit von 4, 74 Sekunden möglich. Innerhalb des äußeren Betonturmes steht auf einer Höhe von 14 Metern völlig frei die eigentliche stählerne Fallröhre. 3/11/2021

Mechanik Die Bewegungen können aus verschiedenen Translationen zusammmengesetzt werden. Eine vertikale beschleunigte Bewegung mit einer konstanten horizontalen Bewegung kombiniert ergibt den waagrechten Wurf. In der zeitfreien Darstellung ist dies die Wurfparabel. Z. B Starthöhe: h=10 m, vx 0=10 m/s (waagrecht) gesucht ist die Wurf-Weite: sx=? In x-Richtung wird der Weg : x(t) = vo*t zurückgelegt In der gleichen Zeit geht es nach unten: y(t) = g/2*t² Die Zeit eliminieren und es bleibt : y = -g/2*x²/vo² Das ist eine nach unten gekrümmte Parabel y = -[g/(2 vo² )] * x² „Wurfparabel“ Im Beispiel oben ist die Höhe 10 m = -[9, 81 m/s² / 200 m²/s²] * x² 3/11/2021 x = Wurzel (203, 9 m) = 14, 28 m

Mechanik • • Vektorielle Beschreibung: Neben der Komponentendarstellung von Ort und Geschwindigkeit kann man diese Größen - eher formal - auch durch Vektoren darstellen. Ortsvektor: Die Lage der Bahnpunkte im Koordinatensystem kann durch den zeitabhängigen Ortsvektor (Spaltenschreibweise) festgelegt werden: Beispiel: Waagrechter Wurf: Gegeben: vx 0= 20 m/s, vy 0= 0 m/s, g=10 m/s² Wie lautet der Ortsvektor zum Zeitpunkt t=3 s Wie lautet der Geschwindigkeitsvektor zum Zeitpunkt t=2 s 3/11/2021 r= (20 m/s*3 s , 5 m/s² * 9 s²), v= ( 20 m/s , 10 m/s² * 2 s)

Mechanik Rotation Die Gesetze der Rotationsbewegung sind analog zu denen der Translation. Weg s entspricht Winkel j Geschwindigkeit v entspricht Winkelgeschwindigkeit w Beschleunigung a entspricht Winkelbeschleunigung a Grundbegriffe: Drehwinkel j wird im Bogenmaß gemessen. Radiant (rad) ist ein Verhältnismaß zwischen Bogenlänge und Radius. Bei einer Umdrehung ist der volle Winkel = 360° und das Bogenmaß daher U/r = 2 pi*r / r = 2 pi radiant. Eine Umdrehung dauert die Periodenzeit T, der Kehrwert ist die Frequenz f = 1/T, [f]=1/s =1 Hz Mit 2 pi multipliziert wird aus der Frequenz f die Kreisfrequenz w 3/11/2021 Winkelfrequenz oder Kreisfrequenz 2 p f = w [w]=1/s

Mechanik Bei der Drehbewegung besitzen die Punkte des Körpers unterschiedliche Geschwindigkeiten, je nachdem wo sie im Körper liegen. Es wird daher eine Winkelgeschwindigkeit definiert, die für jeden Punkt des Körpers gesamten Festkörper dieselbe ist. w = Dj / Dt = dj / dt Der Zusammenhang zwischen Bahngeschwindigkeit und Winkelgeschwindigkeit lautet: v. B = w x r Das ist das äußere Produkt der zwei Vektoren nach der Korkenzieher-Regel. Betragsgleichung: Radius 1 m, 2 Umdrehungen/Sek. v = w*r 1 m = 12, 56 m/s v B = 2 p * 2/s * Da sich der Geschwindigkeitsvektor in seiner Richtung ständig ändert, also Dv /Dt nicht Null ist, handelt es sich hiebei um eine beschleunigte Bewegung. Der Beschleunigungsvektor zeigt zum Drehzentrum, man spricht von einer Zentripetalbeschleunigung. 3/11/2021 az = v² / r = w*v = w²*r

Mechanik Beispiel: Ein Auto beschleunigt von 72 auf 90 km/h in 5 s. Raddurchmesser 2/3 m. Wie groß ist die Winkelbeschleunigung des Reifens? v = Abrollgeschwindigkeit v=2 p*r / h = 2 pr/3600 s w=v/r w 1=72 / 3, 6 m/s / r = 20 m/s / (1/3)m = 60 rad/s w 2=90 / 3, 6 m/s / r = 25 m/s / (1/3)m = 75 rad/s a = Dw / Dt = 15 rad/s / 5 s = 3 rad/s 2 Die Winkelbescheunigung ist 3 rad/s 2 Im Profil dieses Reifens steckt ein Stein. Welche Zentrifugalbeschleunigung erfährt der Stein bei v=108 km/h? az= w²*r = v²/r = (108/3, 6 m/s)² / (1/3)m = 900 m²/s² *3 /m=2700 m/s² az= 2700 m/s² / 9, 81 m/s² = 275 -faches Gewicht. (der Stein fliegt jedoch tangential mit v=108 km/h weg!) 3/11/2021

Mechanik Berechne den Rotor w einer Kreisbewegung, wenn beim Radiusvektor r=(2 m, 0, 0, ) Eine Momentangeschwindigkeit v=(0, 5 m/s, 0 ) beobachtet wird. 3/11/2021

Mechanik Die Vektoren der einzelnen Translationen eines Körpers lassen sich überlagern. Umgekehrt kann man auch eine gegebene Bewegung in Komponenten zerlegen, beispielsweise in die Achsenrichtung eines Koordinatensystems oder in eine bestimmte Richtung , die eine leichtere Auswertung ermöglicht. Hier unten addieren sich die Erdbeschleunigung und die Zentrifugalbeschleunigung zu einem Beschleunigungsvektor, der für einen bestimmten Kurvenradius und zw. einer bestimmten Kfz-Geschwindigkeit senkrecht auf der Fahrbahn steht. ( wichtig für Motorradfahrer ! Bei Autos verhindert die Reibung einähnlichen seitliches. Dreiecken abdriften. )ergibt sich Aus den eine Kurvenüberhöhung: h : b = Fz : G = m*v²/r : m*g h : b = v² / (r * g) Eine Straße mit 250 m Kurvenradius ist so stark überhöht, dass sie eine Neigung von 10° besitzt. Für welche Geschwindigkeit ist diese Neigung gerade richtig? h : b= tan(a) = 0, 17633 km/h 3/11/2021 v = Wurzel(0, 17633*250 m*9, 81 m/s²) = 21 m/s = 75, 6

Mechanik Ein typisches Beispiel für die Zerlegung von Vektoren finden wir bei der Behandlung der schiefen Ebene: Ein Körper mit der Masse m wird mit der Gewichtskraft G nach unten gezogen. Davon entfällt ein Teil auf den Anpressdruck auf die Unterlage FN. Die zweite Komponente der Kraft wirkt in tangentialer Richtung. So lange die Haftreibung nicht überwunden wird, bleibt der Körper in Ruhe. Erst wenn die tangential nach oben gerichtete Haft. Reibungskraft durch die tangential nach unten gerichtete Kraft-Komponente erreicht und überschritten wird, beginnt der Körper zu gleiten, gleichzeitig fällt die Haftreibung weg und nur mehr die Gleit- und Rollreibung bleiben bestehen. FR = µ*FN Eine schiefe Ebene hat einen µ heißt Reibungzahl und ist für häufig vorkommende Paarungen tabelliert. Neigungswinkel von 30° und ist 16 m lang. Ein Klotz mit dem Gewicht 200 N rutscht in 4 s die Ebene herunter. v 0=0. Wie groß ist die Reibungszahl? 3/11/2021 Fahrbahnlänge s = l = a*t²/2; a = 2 s/t² = 2 m/s² Masse m =20 kg beschleunigende Kraft: Fa = m. a = 40 N Tangentialkraft : Ft = G * sin (a) = 100 N Normalkraft: FN = G* cos (a) = 173 N Reibungskraft: FR = Ft –Fa = 60 N = µ*FN