Aula de Tpicos de Controle Avanado PTC 3566

Aula de Tópicos de Controle Avançado PTC 3566 (01/04/2020) José Roberto Castilho Piqueira (piqueira@lac. usp. br)

Estabilidade Estrutural: sistemas conservativos EE: equivalência topológica a uma épsilon-perturbação EE pode ser expressa pelos comportamentos assintóticos Conjuntos invariantes; conjuntos não errantes Conjuntos ômega-limite e alfa-limite

Fluxos bi-dimensionais

Teorema de Poincaré-Bendixson

Generalização do teorema de Bendixson Dulac: Três tipos de conjuntos não errantes para fluxos bi-dimensionais

Trajetórias unindo pontos de equilíbrio Homoclínicas Heteroclínicas

Sistemas Hamiltonianos: exemplo

Sem amortecimento: Hamiltoniano

Propriedade do Hamiltoniano Pontos críticos de H correspondem aos pontos fixos do fluxo. Além disso: Logo, curvas de nível de H, i. e. , H=constante, correspondem a trajetórias no espaço de estados

Trajetórias no espaço de estados

Sistema conservativo (engenharia): forma geral

Propriedades Todo ponto de equilíbrio pertence ao eixo x Todo ponto fixo é ponto crítico de V(x) Soluções:

Método de solução gráfica Isóclinas: curvas de inclinação constante

Exemplo:

Equilíbrio: (0, 0) e (1, 1). . pontos não hiperbólicos Autovalores (0, 0). . . 0 e -1 Autovalores (1, 1). . . +j e –j. . Falha Hartman-Grobman

Tentando obter as trajetórias x=0 (eixo y) implica dx/dt = 0, i. e. , o eixo y é invariante. Procurando isóclinas:

Desenhando as isóclinas

Desenhando as trajetórias

Teorema de Peixoto

Discussão