Aula 5 ENGENHARIA DA QUALIDADE INTEGRADA ESTATSTICA EM

Aula 5 ENGENHARIA DA QUALIDADE INTEGRADA ESTATÍSTICA EM GESTÃO Probabilidade Histogramas Conceito Como construir e Interpretar Histogramas Medidas para representar as características de distribuição Distribuição Normal e Suas Características Aplicação – Exemplos práticos Exercícios de fixação.

Seção 3. 1 Conceitos básicos de probabilidade slide 2 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Objetivos da Seção 3. 1 • Identificar o espaço amostral de um experimento de probabilidade • Identificar eventos simples • Usar o princípio fundamental da contagem • Distinguir probabilidade clássica, empírica e subjetiva • Determinar a probabilidade dos complementos de um evento • Usar um diagrama de árvore e o princípio fundamental da contagem para encontrar probabilidades slide 3 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Experimentos de probabilidade Experimento de probabilidade Uma ação, ou tentativa, através da qual resultados específicos (contagens, medidas ou respostas) são obtidos. Resultado O resultado de um único teste em um experimento de probabilidade. Espaço de amostra O conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento de probabilidade. Evento Consiste de um ou mais resultados e é uma divisão do espaço de amostra. slide 4 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

• Experimento de probabilidade: Jogar um dado • Resultado: {3} • Espaço de amostra: {1, 2, 3, 4, 5, 6} • Evento: {O resultado é par}={2, 4, 6} slide 5 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Exemplo: identificando o espaço amostral Um experimento de probabilidade consiste em jogar uma moeda e depois rolar um dado de seis lados. Descreva o espaço amostral. Solução: Existem dois possíveis resultados quando se joga uma moeda: cara (A) ou coroa (B). Para cada um deles, há mais seis possíveis resultados quando se rola um dado: 1, 2, 3, 4, 5 ou 6. Um meio de listar resultados para ações em sequência é usar um diagrama de árvore. slide 6 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Diagrama de árvore: Solução: identificando o espaço amostral A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 B 6 O espaço amostral possui 12 resultados: {A 1, A 2, A 3, A 4, A 5, A 6, B 1, B 2, B 3, B 4, B 5, B 6} slide 7 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Evento simples • Um evento que consiste de um único resultado § Ex. : “Tirar cara na moeda e rolar um 3” {A 3} • Um evento que consiste de mais de um resultado não é um evento simples § Ex. : “Tirar cara na moeda e rolar um número par” {A 2, A 4, A 6} slide 8 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Exemplo: identificando evento simples Determine se o evento é simples ou não. • Você rola um dado de seis lados. O evento B é rolar pelo menos um 4 Solução: Não é simples (o evento B tem três possíveis resultados: 4 ou 5 ou 6). slide 9 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Princípio fundamental da contagem • Se um evento pode ocorrer de m maneiras e um segundo evento pode ocorrer de n maneiras, o número de maneiras que os dois eventos podem ocorrer em sequência é m*n • Pode ser estendido para qualquer número de eventos ocorrendo em sequência slide 10 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Exemplo: princípio fundamental da contagem Você está comprando um carro novo. As possíveis montadoras, tamanhos de carro e cores são listadas. Montadoras: Ford, GM, Honda Tamanho: compacto, médio Cores: branco (B), vermelho (V), preto (P), amarelo (A) De quantos modos diferentes você pode escolher uma montadora, um tamanho de carro e uma cor? Use um diagrama de árvore para verificar seus resultados. slide 11 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Solução: princípio fundamental da contagem Há três escolhas de montadoras, dois tamanhos de carro e quatro cores. Usando o princípio fundamental da contagem: 3 ∙ 2 ∙ 4 = 24 maneiras slide 12 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Tipos de probabilidade Probabilidade clássica • Cada resultado em uma amostragem é igualmente provável slide 13 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Exemplo: encontrando probabilidades clássicas Você rola um dado de seis lados. Encontre a probabilidade de cada evento. 1. Evento A: rolar um 3 2. Evento B: rolar um 7 3. Evento C: rolar um número menor que 5 Solução: Espaço amostral: {1, 2, 3, 4, 5, 6} slide 14 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Solução: encontrando probabilidades clássicas slide 15 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Tipos de probabilidade Probabilidade empírica (estatística) • Baseado nas observações obtidas de experimentos de probabilidade • Frequência relativa de um evento slide 16 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Exemplo: encontrando probabilidade empírica Uma empresa está conduzindo uma pesquisa on-line com indivíduos selecionados aleatoriamente para determinar se o congestionamento no trânsito é um problema em sua comunidade. Até agora, 320 pessoas responderam à pesquisa. A distribuição de frequência mostra os resultados. Qual é a probabilidade de que a próxima pessoa que responda a essa pesquisa diga que o congestionamento é um problema sério em sua comunidade? Resposta Número de vezes, f Problema sério 123 Problema moderado 115 Não é problema 82 Σf = 320 slide 17 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Solução: encontrando probabilidade empírica Resposta evento Número de vezes, f Problema sério 123 Problema moderado 115 Não é problema 82 frequência Σf = 320 slide 18 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Lei dos grandes números Conforme um experimento é repetido, a probabilidade empírica de um evento se aproxima da probabilidade teorética (real) do evento. slide 19 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Tipos de probabilidade Probabilidade subjetiva • Intuição, palpites e estimativas • Ex. : um médico pode achar que um paciente tem 90% de chance de se recuperar completamente. slide 20 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Exemplo: classificando tipos de probabilidade Classifique a afirmação como um exemplo de probabilidade clássica, empírica ou subjetiva. 1. A probabilidade que você esteja casado aos 30 anos é 0, 50. Solução: Probabilidade subjetiva (mais provavelmente um palpite). slide 21 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Classifique a afirmação como um exemplo de probabilidade clássica, empírica ou subjetiva. 2. A probabilidade de um votante aleatório escolher certo candidato é 0, 45. Solução: Probabilidade empírica (mais provavelmente baseado em uma pesquisa). slide 22 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Classifique a sentença como um exemplo de probabilidade clássica, empírica ou subjetiva. 3. A probabilidade de ganhar em uma rifa com 1. 000 bilhetes comprando um bilhete é. Solução: Probabilidade clássica (resultados igualmente prováveis). slide 23 © 2010 Pearson Prentice Hall. Todos os direitos reservados.

Histórico do Histograma André Michel Guerry nasceu em 1802 na França, era um advogado e estudioso da estatística. Os Histogramas foram apresentados pela primeira vez por A. M. GUERRY, em 1833, para descrever sua análise estatísticas sobre crimes contra a população em Paris. Faleceu em 1866.

Histórico do Histograma

Vantagens do Histograma • Trabalha com amostras e permite um menor custo e tempo • Determinamos de forma rápida qual o comportamento da população • Entender a população de uma forma clara e objetiva.

Histograma Ferramentas da Qualidade Histograma Na estatística um histograma é uma representação gráfica da distribuição de frequências de uma massa de medições, normalmente um gráfico de barras verticais.

CONCEITOS ESTATÍSTICOS VISTOS 1) POPULAÇÃO 2) AMOSTRA 3) PAR METRO 4) ESTATÍSTICA 5) NOMINAL, ORDINAL, INTERVALO, RAZÃO, PROPORÇÃO 6) FREQUENCIA 7) FREQUENCIA RELATIVA 8) FREQUENCIA ACUMULADA 9) MÉDIA ARITMÉTICA 10) MÉDIA PONDERADA 11) PROBABILIDADE 12) ESTRATIFICAÇÃO 13) MODA

CONCEITOS ESTATÍSTICOS 1) Classe Modal - é a classe ou intervalo, para dados classificados, que aparece com maior frequência. 2) Amplitude de um Conjunto de Dados - é a diferença entre o maior valor e o menor valor desse conjunto. Se os dados estiverem agrupados em classes, a amplitude é a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira. Para um intervalo do conjunto de dados de [a, b], onde x 1= a e xn= b

CONCEITOS ESTATÍSTICOS Desvio Médio ( d )- é a média aritmética do valor absoluto da diferença entre cada valor e a média, no caso dos dados não classificados. No caso dos dados classificados, tem que se entrar em conta com a frequência absoluta de cada observação. [Fórmula] Dados não classificados Dados classificados Desvio Padrão ( )- é a raiz quadrada positiva da variância. [Fórmula] (com n = nº de observações da amostra)

CONCEITOS ESTATÍSTICOS Variáveis Contínuas - são as variáveis que podem tomar qualquer valor de um determinado intervalo. Variáveis Discretas - são as variáveis que podem tomar um número finito ou uma infinidade numerável de valores. Variáveis Qualitativas - o mesmo que Atributos Qualitativos. Variáveis Quantitativas - o mesmo que Atributos Quantitativos. (com n = nº de observações da amostra) Variância ( )- é a medida que permite avaliar o grau de dispersão dos valor da variável em relação à média.

CONCEITOS ESTATÍSTICOS

CONCEITOS ESTATÍSTICOS

Variação e Distribuição Se pudéssemos coletar dados de um processo no qual todos os fatores (homem, máquina, matéria-prima, método, etc. ) fossem perfeitamente constantes, todos os dados teriam o mesmo valor. Entretanto, na realidade, é impossível manter todos os fatores constantes todo o tempo. A rigor, mesmo alguns fatores que julgamos sejam constantes, não são perfeitamente constantes. É inevitável que os valores de um certo conjunto de dados apresentem alguma variação. Os valores não sempre os mesmos, mas isto não significa que sejam determinados de maneira desordenada. Embora os valores estejam sempre mudando, eles são regidos por uma certa regra e, nesta situação, dizemos que seguem uma certa distribuição.

Populações e Amostras No controle da qualidade, tentamos descobrir fatos através da coleta de dados e, então, tomamos a ação necessária baseados naqueles fatos. Os dados não são coletados como um objetivo final em si, mas como um meio para descobrir os fatos que estão por trás dos dados. Por exemplo, considere urna inspeção por amostragem. Tomamos uma amostra de um lote, executamos medições nela e, então, decidimos se devemos aceitar todo o lote ou não. Nossa preocupação aqui não é a amostra em si, mas a qualidade de todo o lote. Como outro exemplo, considere o controle _de um processo de fabricação usando um gráfico de controle x-R. O propósito não é determinar as características da amostra coletada para a construção do gráfico de controle x-R, mas descobrir em que estado se encontra o processo.

Populações e Amostras A totalidade dos itens considerados é chamada de população. No primeiro exemplo, a população é o lote e, no segundo, é o processo. Algumas pessoas acham difícil considerar um "processo" como uma "população", porque enquanto um "lote" é um grupo de objetos individuais finitos, um "processo" em si não é absolutamente um produto, mas é composto dos 5 M's (homem, máquina, material, método e medição). Quando voltamos nossa atenção h função de fabricar produtos, reconhecemos que, inequivocamente, o processo produz um conjunto de produtos. Além disso, a quantidade de produtos é infinita a menos que o "processo" pare de produzi-los e, por esta razão, consideramolo como uma população infinita.

Populações e Amostras Um ou mais itens retirados de uma população com a intenção de prover informações sobre ela, são chamados de amostra. Uma vez que uma amostra é utilizada para estimar as características de toda a população. ela deve ser escolhida de tal forma a refletir as características da população. Um método de amostragem comumente usado é escolher um membro qualquer da população com igual probabilidade. Este método é chamado de amostragem aleatória, e uma amostra retirada mediante este tipo de amostragem é chamada de amostra aleatória.

Populações e Amostras

Populações e Amostras Dados obtidos de uma amostra servem como base para uma decisão sobre a população. Quanto maior o tamanho da amostra, mais informação obtemos sobre a população. Porém, um aumento do tamanho da amostra também implica um aumento da quantidade de dados, e isso torna difícil compreender a população a partir destes, mesmo quando estão organizados em tabelas. Em tal caso, precisamos de um método que nos possibilite conhecer a população num rápido exame. Um histograma atende às nossas necessidades. Por meio da organização de muitos dados num histograma, podemos conhecer a população de maneira objetiva.

Análise de melhoria de processo Muitas vezes somente a quantidade de dados não é suficiente para se tomar uma decisão. Em muitos casos preciso observar a forma como os dados estão distribuídos ao longo de um intervalo préestabelecido. O histograma mostra de forma resumida, o número de vezes que o valor de uma variável ocorre dentro de intervalos especificados.

Distribuição de frequência Distribuição de Classe Frequência, frequência f Uma tabela que mostra 1 – 5 5 classes ou intervalos Tamanho da de dados com uma classe 6 – 1 = 5 6 – 10 8 contagem do número 11 – 15 6 de entradas em cada classe 16 – 20 8 A frequência, f, de 21 – 25 5 uma classe é o número 26 – 30 4 de entradas de dados na classe Limite inferior da Limite superior da classe

Construindo uma distribuição de frequência 1. Decida o número de classes. Geralmente entre 5 e 20; do contrário, pode ser difícil detectar padrões 2. Encontre o tamanho da classe. Determine a variação dos dados Divida a variação pelo número de classes Arredonde para cima para o próximo número conveniente

3. Encontre os limites da classe. Você pode usar a entrada de menor valor como o limite inferior da primeira classe Encontre os limites inferiores remanescentes (adicione o tamanho da classe ao limite inferior da classe precedente) Encontre o limite superior da primeira classe. Lembre -se de que as classes não podem ter limites iguais Encontre os limites superiores remanescentes

4. Faça um registro para cada entrada de dados na fileira da classe apropriada. 5. Conte os registros para encontrar a frequência total f para cada classe.

Exemplo: construindo uma distribuição de frequência A amostra seguinte lista o número de minutos que 50 usuários da internet passaram conectados durante a sessão mais recente. Construa uma distribuição de frequência para as sete classes. 50 40 41 17 11 7 22 44 28 21 19 23 37 51 54 42 86 41 78 56 72 56 17 7 69 30 80 56 29 33 46 31 39 20 18 29 34 59 73 77 36 39 30 62 54 67 39 31 53 44

Solução: construindo uma distribuição de frequência 50 40 41 17 11 7 22 44 28 21 19 23 37 51 54 42 86 41 78 56 72 56 17 7 69 30 80 56 29 33 46 31 39 20 18 29 34 59 73 77 36 39 30 62 54 67 39 31 53 44 1. Número de classes = 7 (dados) 2. Encontre o tamanho da classe Arredondando para cima: 12

3. Use 7 (valor mínimo) como o primeiro limite mínimo. Adicione o tamanho da classe, 12, para definir o limite mínimo da próxima classe. 7 + 12 = 19 Encontre os limites mínimos restantes. Tamanho da classe = 12 Limite mínimo máximo 7 19 31 43 55 67 79

O limite máximo da Limite primeira classe é 18 (um a menos que o limite mínimo 7 da segunda classe). 19 Some o tamanho da classe, 31 12, para definir o limite máximo da próxima classe. 43 18 + 12 = 30 55 Encontre os limites 67 máximos restantes. 79 Limite máximo 18 30 42 54 66 78 90 Tamanho da classe = 12

4. Faça um registro para cada entrada de dado na fileira da classe apropriada. 5. Conte os registros para encontrar a frequência total f para cada classe. Classe Registro Frequência, f IIII I 6 19 – 30 IIII 10 31 – 42 IIII III 13 43 – 54 IIII 8 55 – 66 IIII 5 67 – 78 IIII I 6 79 – 90 II 7 – 18 2 Σf = 50

Determinando o ponto médio Ponto médio de uma classe (Limite mínimo da classe) + (Limite máximo da classe) 2 Classe 7 – 18 Ponto médio Frequência, f 6 Tamanho da classe = 12 19 – 30 10 31 – 42 13

Determinando a frequência relativa Frequência relativa de uma classe Porção da porcentagem dos dados que se encaixa em um classe em particular • Frequência relativa = Frequência da classe Tamanho da amostragem Classe Frequência, f 7 – 18 6 19 – 30 10 31 – 42 13 Frequência relativa

Frequência acumulada de uma classe A soma das frequências daquela classe e de todas as classes anteriores. Larson/Farber 4 th ed. Classe Frequência, f 7 – 18 6 6 19 – 30 + 10 16 31 – 42 + 13 29 54 Frequência acumulada

Distribuição de frequência expandida Classe Frequência, f Ponto médio 7 – 18 6 12. 5 0. 12 6 19 – 30 10 24. 5 0. 20 16 31 – 42 13 36. 5 0. 26 29 43 – 54 8 48. 5 0. 16 37 55 – 66 5 60. 5 0. 10 42 67 – 78 6 72. 5 0. 12 48 79 – 90 2 84. 5 0. 04 50 Σf = 50 Frequência relativa Frequência acumulada

Gráficos de distribuição de frequência Frequência Histograma de frequência Um gráfico de barras que representa a distribuição da frequência O eixo horizontal é quantitativo e mede os valores dos dados O eixo vertical mede as frequências das classes Barras consecutivas precisam se tocar Valores dos dados

Fronteiras de classes Os números que separam as classes sem formar espaços entre elas • A distância do limite superior da primeira classe para o limite inferior da segunda é 19 – 18 = 1 • A metade dessa distância é 0, 5 • Fronteira inferior da primeira classe = 7 – 0. 5 = 6. 5 • Fronteira superior da primeira classe = 18 + 0. 5 = 18. 5 Classe 7 – 18 Fronteiras Frequência, de classes f 6. 5 – 18. 5 6 19 – 30 10 31 – 42 13

Classe 7 – 18 19 – 30 31 – 42 43 – 54 55 – 66 67 – 78 79 – 90 Fronteiras de Frequência, f classes 6. 5 – 18. 5 6 18. 5 – 30. 5 10 30. 5 – 42. 5 13 42. 5 – 54. 5 8 54. 5 – 66. 5 5 66. 5 – 78. 5 6 78. 5 – 90. 5 2

Exemplo: histograma de frequência Construa um histograma de frequência para a distribuição da frequência do uso da internet. Classe Fronteiras de classes Ponto médio Frequência, f 7 – 18 6. 5 – 18. 5 12. 5 6 19 – 30 18. 5 – 30. 5 24. 5 10 31 – 42 30. 5 – 42. 5 36. 5 13 43 – 54 42. 5 – 54. 5 48. 5 8 55 – 66 54. 5 – 66. 5 60. 5 5 67 – 78 66. 5 – 78. 5 72. 5 6 79 – 90 78. 5 – 90. 5 84. 5 2

Solução: histograma de frequência (usando pontos médios) Frequência Uso de Internet Tempo on-line (em minutos)

Solução: histograma de frequência (usando fronteiras de classes) Frequência Uso de Internet 6. 5 18. 5 30. 5 42. 5 54. 5 66. 5 78. 5 90. 5 Tempo on-line (em minutos) É visível que mais da metade dos assinantes passaram entre 19 e 54 minutos na Internet em sua sessão mais recente.

Gráficos de distribuição de frequência Frequência relativa Histograma de frequência relativa Tem o mesmo formato e eixo horizontal que o histograma de frequência correspondente O eixo vertical mede as frequências relativas e não as frequências Valores dos dados

Exemplo: histograma de frequência relativa Construa um histograma de frequência relativa para a distribuição da frequência do uso de Internet. Classe Fronteiras de classes Frequência, Frequênci f a relativa 7 – 18 6. 5 – 18. 5 6 0. 12 19 – 30 18. 5 – 30. 5 10 0. 20 31 – 42 30. 5 – 42. 5 13 0. 26 43 – 54 42. 5 – 54. 5 8 0. 16 55 – 66 54. 5 – 66. 5 5 0. 10 67 – 78 66. 5 – 78. 5 6 0. 12 79 – 90 78. 5 – 90. 5 2 0. 04

Solução: histograma de frequência relativa Frequência Uso de Internet 6. 5 18. 5 30. 5 42. 5 54. 5 66. 5 78. 5 90. 5 Tempo on-line (em minutos) A partir do gráfico, pode-se perceber que 20% dos assinantes de Internet passaram entre 18, 5 minutos e 30, 5 minutos conectados.

Análise de melhoria de processo Como fazer um Histograma • Passo 1 – coleta de dados É aconselhável que o número de dados (n) seja superior a 30 para que tenhamos um histograma representativo.

Análise de melhoria de processo • Passo 1 – coleta de dados n = 40

Análise de melhoria de processo • Passo 2 – escolha o número de classes (k) Não existe uma regra universal para a escolha do número de classes em um histograma. A sugestão é que seja usada a seguinte tabela:

Análise e melhoria de processos • Passo 2 – escolha o número de classes (k) Não existe uma regra universal para a escolha do número de classes em um histograma. A sugestão é que seja usada a seguinte tabela: PARA n 30 até 50 51 até 100 101 até 250 k 5 até 7 6 até 10 7 até 12 Mais que 250 10 até 20

Análise e melhoria de processos • Passo 1 – coleta de dados Peso em Kg 48, 9 49, 3 49, 5 49, 7 49, 3 49, 8 49, 1 49, 6 48, 9 49, 3 49, 6 49, 5 48, 8 49, 7 49, 2 49, 3 49, 1 49, 2 49, 0 49, 7 49, 4 49, 1 49, 9 49, 3 48, 9 50, 1 49, 6 49, 1 49, 3 50, 0 49, 4 49, 8 49, 4 49, 6 48, 8 49, 1 49, 5 n = 40 k=5

Análise e melhoria de processos • Passo 3 – identifique o valor mínimo e máximo dos dados. MÁX = 50, 1 MÍN = 48, 8 • Passo 4 – calcule a amplitude dos dados (R) R = MÁX - MÍN R = 50, 1 – 48, 8 = 1, 3

Análise e melhoria de processos • Passo 5 – calcule o comprimento de cada intervalo no histograma (h) h = R/k h = 1, 3/5 h = 0, 26

Análise e melhoria de processos • Passo 6 – arredonde o valor de h Deve ser arredondado para cima. O bom senso deve prevalecer. h ≈ 0, 3 • Passo 7 – determine as classes a partir do menor valor. Nota: em cada classe o menor valor pertence a ela, porém, o maior valor não.

Análise e melhoria de processos • Passo 7 – determine as classes a partir do menor valor. 48, 8 ├ 49, 1 48, 8 + 0, 3 = 49, 1 ├ 49, 4 49, 1 + 0, 3 = 49, 4 ├ 49, 7 49, 4 + 0, 3 = 49, 7 ├ 50, 0 49, 7 + 0, 3 = 50, 0 ├ 50, 3 50, 0 + 0, 3 = 50, 3

Análise e melhoria de processos • Passo 8 – construa uma tabela de distribuição de freqüências. Limites do intervalo Freqüência de ocorrência 48, 8 ├ 49, 1 6 49, 1 ├ 49, 4 13 49, 4 ├ 49, 7 13 49, 7 ├ 50, 0 6 50, 0 ├ 50, 3 2

Análise e melhoria de processos • Passo 9 – desenhe o histograma.

Como Construir Histogramas Exemplo prático de fixação Para investigar a distribuição dos diâmetros de eixos de aço produzidos em um processo de usinagem, os diâmetros de 90 eixos foram medidos conforme mostra a Tabela a seguir. Vamos construir um histograma para a tomada de decisão usando estes dados.

ETAPA 1 – AMPLITUDE PROCEDIMENTO Calcular a ampíitude (R) Obtenha o maior e o menor dos valores observados e calcule R. R = (O maior valor observado) - (o menor valor observado) O maior e o menor dos valores observados podem ser facilmente obtidos da seguinte maneira: Obtenha o máximo e o mínimo dos valores de cada linha da tabela de observações, e depois tome o maior dos valores máximos e o menor dos valores mínimos. Estes serão o máximo e o mínimo de todos os valores observados. EXEMPLO R foi obtida a partir do maior e do menor valores observados. (Veja Tabela ) O maior valor = 2, 545 (-) O menor valor z 2, 502 Portanto, R = 2, 545 - 2, 502 = 0, 043

ETAPA 2 – INTERVALO DE CLASSE O intervalo de classe é determinado de forma que a amplitude, que compreende o maior e o menor dos valores, seja dividida em intervalos de mesmo tamanho. Para obter o tamanho dos intervalos, divida R por l, 2 ou 5 (ou 10; 20; 50; 0, l; 02; 0, 5; etc. ) de forma a obter de 5 a 20 intervalos de classe de tamanho igual. Quando houver duas possibilidades, use o tamanho de intervalo menor se o número de valores observados for maior ou igual a 100, e o tamanho de intervalo maior se houver 99 ou menos valores observados. EXEMPLO 0, 043 + 0, 002 = 21, 5 e adotamos 22, pelo arredondamento para cima até o número inteiro mais próximo. 0, 043 + 0, 005 = 8, 6 e adotamos 9, pelo arredondamento para cima até o número inteiro mais próximo. 0, 043 + 0, 010 = 4, 3 e adotamos 4, pelo arredondamento para baixo até o número inteiro mais próximo. Neste caso, o intervalo de classe é determinado como 0, 005, pois isso resulta numa quantidade de intervalos entre 5 e 20.

Etapa 3 Preparar o formulário da tabela de frequência PROCEDIMENTO Prepare um formulário como o da Tabela, no qual possam ser registrados as classes, o ponto médio, as marcas de frequência, etc. EXEMPLO Prepare uma tabela conforme mostra a Tabela.

Etapa 4 Determinar os limites das ciasses PROCEDIMENTO 1. Determine os limites dos intervalos, de forma que englobem o menor e o maior dos valores registrados, e anote-os na tabela de frequência. 2. Determine, primeiro, o limite inferior da primeira classe e adicione a este o tamanho do intervalo para obter o limite entre a primeira e a segunda classe. Quando fizer isso, assegure-se de que a primeira classe contém o menor valor observado e que os valores dos limites tenham uma casa decimal a mais do que a precisão dos valores medidos. 3. Depois, adicione sucessivamente o tamanho do intervalo ao valor do limite anterior para obter o segundo limite, o terceiro, e assim por diante, e verifique se a última classe inclui o maior valor observado. EXEMPLO Os limites da primeira classe devem ser determinados como 2, 5005 e 2, 5055 de forma que a classe inclua o menor valor 2, 502; os limites da segunda classe devem ser determinados como 2, 5055 e 2, 5105, e assim por diante. Registre esses limites numa tabela de frequência. (Veja Tabela a seguir)

Etapa 5 Calcular o ponto médio da classe PROCEDIMENTO Usando a equação seguinte, calcule o ponto médio das classes, e anote-os na tabela de frequência. Ponto médio da primeira classe: Soma dos limites superior e inferior da primeira classe 2 Ponto médio da primeira classe 2, 5005 + 2, 5055 = 2, 503 2

Etapa 6 Obter as freqüências Leia os valores observados um por um e registre as frequências obtidas em cada classe usando marcas de contagem em grupos de 5, como segue:

Como construir o gráfico histograma ETAPA 1 Em uma folha de papel quadriculado, marque o eixo horizontal com uma escala. É melhor que a escala não seja baseada nos limites de intervalo das classes, e sim na unidade de medida dos dados, 10 gramas correspondendo a 10 mm, por exemplo. Isto toma-a conveniente para fazer comparações entre vários histogramas que descrevem fatores e características semelhantes, bem como com especificações (padrões). Deixe um espaço aproximadamente igual ao intervalo de classe em cada extremidade do eixo horizontal, antes da primeira e após a última classe. ETAPA 2 Marque o eixo vertical do lado esquerdo com uma escala de frequência e, se necessário, trace o eixo vertical do lado direito e marque-o com uma escala de frequência relativa. A altura da classe com a frequência máxima deveria ser de 0. 5 a 2, O vezes a distância entre os valores máximo e mínimo do eixo horizontal.

Como construir o gráfico histograma Etapa 3 Marque os valores dos limites das classes no eixo horizontal. Etapa 4 Usando o intervalo de classe como base, desenhe um retângulo cuja altura corresponda à frequência daquela classe. Etapa 5 Trace uma linha no histograma para representar a média e, se for o caso, trace também os limites da especificação. Etapa 6 Numa área em branco do histograma, anote o histórico dos dados (o período _ em que os dados foram coletados, etc. ), a quantidade de dados (n), a média x e o desvio-padrão s (veja Figura 5. 2).

GRÁFICO HISTOGRAMA

Como Interpretar Histogramas Tipos de Histograma É possível obter informações úteis sobre a população pela análise da forma do histograma. As seguintes formas s 3 o típicas, e podemos utilizá-las como modelos para a análise de um processo. Tipos: geral, pente, assimétrico positivo, abrupto à esquerda, achatado, picos duplos e pico isolado.

Como Interpretar Histogramas a) Tipo geral (simétrico ou em forma de sino) Forma: O valor médio do histograma está no meio da amplitude dos dados. A frequência é mais alta no meio e toma-se gradualmente mais baixa na direção dos extremos. A forma é simétrica. Nota: Esta é a forma que ocorre mais frequentemente.

Como Interpretar Histogramas a) Tipo pente (tipo multi-modal) Forma: Várias classes têm, como vizinhas, classes com menor frequência Nota: Esta forma ocorre quando a quantidade de dados incluídos na classe varia de classe para classe ou quando existe uma tendência particular no modo como os dados são arredondados.

Como Interpretar Histogramas Tipo assimétrico positivo (tipo assimétrico negativo) Forma: O valor médio do histograma fica localizado à esquerda (direita) do centro da amplitude. A frequência decresce de modo um tanto abrupto em direção à esquerda (direita), porém de modo suave em direção à direita (esquerda). É assimétrica. Nota: Esta forma ocorre quando o limite inferior (superior) é controlado, ou teoricamente, ou por um valor de especificação, ou quando valores menores (maiores) do que um certo valor não ocorrem.

Como Interpretar Histogramas Tipo abrupto à esquerda (tipo abrupto à direita) Forma: O valor médio do histograma fica localizado bem à esquerda (direita) do centro da amplitude. A frequência decresce abruptamente à esquerda (direita), e suavemente em direção à direita (esquerda). É assimétrica. Nota: Esta é uma forma que ocorre frequentemente quando é feita uma inspeção separadora 100% por causa da baixa capacidade do processo, e também quando a assimetria positiva (negativa) se toma ainda mais extrema.

Como Interpretar Histogramas Tipo achatado Forma: As frequências das classes formam um achatamento porque as classes possuem mais ou menos a mesma frequência, exceto aquelas das extremidades. Nota: Esta forma ocorre com a mistura de várias distribuições que têm diferentes médias.

Como Interpretar Histogramas Tipo picos duplos (tipo bimodal) Forma: A frequência é baixa próximo ao meio da amplitude de dados e existe um pico em cada lado. Nota: Esta forma ocorre quando duas distribuições, com médias muito diferentes, são misturadas.

Como Interpretar Histogramas Tipo pico isolado Forma: Num histograma do tipo geral existe mais um pequeno pico isolado. Nota: Esta é uma forma que surge quando há uma pequena inclusão de dados provenientes de uma distribuição diferente, como nos casos de anormalidade de processo, erro de medição ou inclusão de dados de um processo diferente. .

Comparação de Histogramas com Limites de Especificação Se houver uma especificação, trace as linhas dos limites da especificação no histograma, para comparar a distribuição com a especificação. Depois veja se o histograma está localizado bem dentro dos limites. Cinco casos típicos, como na Figura 5. 4, são descritos a seguir. Use-os como uma referência para avaliar a população.

Comparação de Histogramas com Limites de Especificação Quando o histograma atende à especificação a) Como o histograma atende à especificação com folga, tudo o que se precisa é manter a atual situação. b) A especificação é atendida mas não existe nenhuma margem extra. Portanto, é importante reduzir um pouco o grau da variação.

Comparação de Histogramas com Limites de Especificação Quando o histograma não atende à especificação c) É necessário agir para trazer a média mais próxima ao centro da especificação. d) São necessárias ações para reduzir a variação. e) Tanto as ações descritas em c) como em d) são necessárias.

Estratificação de Histogramas Quando os valores observados são divididos em duas ou mais subpopulações, conforme as condições existentes na coleta de dados, tais subpopulações são chamadas de estratos e a divisão de dados em estratos é chamada de estratificação. Os valores observados sempre trazem alguma variação. Por isso, quando os dados são estratificados conforme os fatores suspeitos de gerar a variação, as causas de variação tornam-se mais facilmente detectáveis. Este método pode ser usado eficazmente para aumentar a qualidade de produto, pela redução da variação e ajuste da média do processo. A estratificação é geralmente feita conforme os materiais, as máquinas, as condições de operação e os trabalhadores.