AULA 3 Construindo Modelos Matemticos Exemplo de Motivao

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AULA 3 - Construindo Modelos Matemáticos • • Exemplo de Motivação - Problema de

AULA 3 - Construindo Modelos Matemáticos • • Exemplo de Motivação - Problema de Mistura Solução Gráfica – – – • • Conjunto de Soluções Factíveis Plotando a Função Objetivo Achando uma solução ótima Soluções Ótimas Múltiplas Modelos Infactíveis Modelos Ilimitados Usando Indexação - Modelos Literais Exercício de Modelagem - Reservatórios d’água Programas Lineares, Não-Lineares e Inteiros Programas Inteiros - Seleção de Investimentos, Siderúrgica e Custo Fixo

Exemplo de Motivação - Problema de Mistura A refinaria de petróleo Recap destila óleo

Exemplo de Motivação - Problema de Mistura A refinaria de petróleo Recap destila óleo cru proveniente de duas fontes, Arábia e Venezuela e produz três produtos: gasolina, querosene e lubrificantes. Os óleos têm diferentes composições químicas e fornecem diferentes quantidades de destilados por barril processado. Cada barril da Arábia dá 0, 3 barril de gasolina, 0, 4 de querosene e 0, 2 de lubrificante. Para a Venezuela estas quantidades são respectivamente: 0, 4, 0, 2 e 0, 3. Há 10% de resíduos. Os óleos diferem em custo e disponibilidade. A Recap pode comprar até 9000 barris da Arábia a $20 o barril e até 6000 barris da Venezuela a $15 o barril. Contratos da Recap com distribuidores exigem que ela produza 2000 barris por dia de gasolina, 1500 de querosene e 500 de lubrificantes. Como cumprir os contratos gastando o mínimo? (qual o mix de compra/refino dos óleos) 3 -2

Construindo o Modelo de Mistura Variáveis de decisão: x 1 : = quantidade de

Construindo o Modelo de Mistura Variáveis de decisão: x 1 : = quantidade de barris refinados /dia vindos da Arábia (103) x 2 : = quantidade de barris refinados /dia vindos da Venezuela (103) Tipo das Variáveis de Decisão: x 1, x 2 >= 0 (reais não-negativos) Conjunto de Restrições Principais: 0, 3 x 1 + 0, 4 x 2 >= 2, 0 0, 4 x 1 + 0, 2 x 2 >= 1, 5 0, 2 x 1 + 0, 3 x 2 >= 0, 5 x 1 <= 9 x 2 <= 6 (gasolina) (querosene) (lubrificantes) (Arábia) (Venezuela) Função Objetivo: Minimizar 20 x 1 + 15 x 2 (custo total) 3 -3

Construindo o Modelo de Mistura Modelo Matemático Min Custo(x 1, x 2) = 20

Construindo o Modelo de Mistura Modelo Matemático Min Custo(x 1, x 2) = 20 x 1 + 15 x 2 0, 3 x 1 + 0, 4 x 2 >= 2, 0 0, 4 x 1 + 0, 2 x 2 >= 1, 5 0, 2 x 1 + 0, 3 x 2 >= 0, 5 x 1 <= 9 x 2 <= 6 x 1, x 2 >= 0 (custo total) (gasolina) (querosene) (lubrificantes) (Arábia) (Venezuela) (reais não-negativos) 3 -4

Forma Geral de um Modelo Matemático Min ou Max (funções objetivo) sujeito a (restrições

Forma Geral de um Modelo Matemático Min ou Max (funções objetivo) sujeito a (restrições principais) (tipo das variáveis de decisão) 3 -5

Exercício de modelagem Problema: Construa o modelo matemático que determina o retângulo de área

Exercício de modelagem Problema: Construa o modelo matemático que determina o retângulo de área máxima cujo perímetro vale 80 metros. Modelo: l = largura do retângulo (m) w = comprimento do retângulo (m) Max sujeito a lw 2 l + 2 w <= 80 l, w >= 0 3 -6

Solução Gráfica Conjunto de soluções factíveis - CSF - (de um modelo matemático) É

Solução Gráfica Conjunto de soluções factíveis - CSF - (de um modelo matemático) É a coleção de todos os valores que as variáveis de decisão podem assumir, respeitando todas as restrições do modelo. Vamos desenhar o CSF do problema de mistura da Recap 3 -7

Solução Gráfica - Conjunto de Soluções Factíveis x 1, x 2 >= 0 0,

Solução Gráfica - Conjunto de Soluções Factíveis x 1, x 2 >= 0 0, 3 x 1 + 0, 4 x 2 >= 2, 0 (gasolina) 3 -8

Solução Gráfica - Conjunto de Soluções Factíveis CSF 3 -9

Solução Gráfica - Conjunto de Soluções Factíveis CSF 3 -9

Solução Gráfica - Plotando a Função Objetivo 3 -10

Solução Gráfica - Plotando a Função Objetivo 3 -10

PAULO FRANÇA: Solução Gráfica - Achando uma solução ótima dar o exercício 1 de

PAULO FRANÇA: Solução Gráfica - Achando uma solução ótima dar o exercício 1 de Solução ótima = Ex. aula 3. ppt solução factível com melhor (max/mim) valor da função objetivo. Graficamente, é um ponto factível situado na melhor curva de nível da função. 3 -11

PAULO FRANÇA: Solução Gráfica - Achando uma solução ótima para ser resolvido em aula

PAULO FRANÇA: Solução Gráfica - Achando uma solução ótima para ser resolvido em aula Max lw sujeito a 2 l + 2 w <= 80 l, w >= 0 3 -12

Soluções Ótimas Múltiplas As soluções ótimas dos problemas Recap e do retângulo de área

Soluções Ótimas Múltiplas As soluções ótimas dos problemas Recap e do retângulo de área máxima são únicas. Porém, pode haver modelos com soluções ótimas múltiplas. Suponha que no problema Recap, a função objetivo fosse trocada para Min 20 x 1 + 10 x 2 3 -13

Modelos Infactíveis Um modelo pode apresentar CSF nulo. Diz-se que o modelo é infactível.

Modelos Infactíveis Um modelo pode apresentar CSF nulo. Diz-se que o modelo é infactível. No problema da Recap, suponha que ambas as disponibilidades sejam reduzidas para 2000 barris/dia. O CSF é nulo, pois os contratos não podem ser atendidos. Min 20 x 1 + 15 x 2 0, 3 x 1 + 0, 4 x 2 >= 2, 0 0, 4 x 1 + 0, 2 x 2 >= 1, 5 0, 2 x 1 + 0, 3 x 2 >= 0, 5 x 1 <= 2 x 2 <= 2 x 1, x 2 >= 0 (gasolina) (querosene) (lubrificantes) (Arábia) (Venezuela) (reais não-negativos) 3 -14

PAULO FRANÇA: Modelos Ilimitados Modelos eventualmente podem apresentar solução ótima ilimitada. dar o exercício

PAULO FRANÇA: Modelos Ilimitados Modelos eventualmente podem apresentar solução ótima ilimitada. dar o exercício 2 do Ex. aula 3. ppt Min -2 x 1 + 15 x 2 0, 3 x 1 + 0, 4 x 2 >= 2, 0 0, 4 x 1 + 0, 2 x 2 >= 1, 5 0, 2 x 1 + 0, 3 x 2 >= 0, 5 x 2 <= 6 x 1, x 2 >= 0 3 -15