Aula 19 Anlise Dimensional e Semelhana Objetivos Estabelecer

Aula 19 Análise Dimensional e Semelhança

Objetivos ¦Estabelecer os parâmetros necessários para guiar estudos experimentais; ¦Apresentar a técnica usada para aplicar os resultados de estudos de modelos a protótipos para uma variedade de situação de escoamento;

Objetivos ¦Extrair os parâmetros do escoamento das equações diferenciais e condições de contorno usados para guiar estudos computacionais;

Objetivos Fornecer exemplos e problemas que ilustrem a utilização de parâmetros adimensionais dos escoamentos, como estudos de modelo e permitir prever quantidades de interesse em um protótipo e verificar o uso de equações diferenciais normalizadas; ¦

Introdução Homogeneidade dimensional: Condição em que todos os termos de uma equação têm as mesmas dimensões.

Introdução Dividindo por z 1

Semelhança Estudo da previsão das condições do protótipo a partir de observações de modelos A semelhança envolve o uso de parâmetros adimensionais obtidos da análise dimensional

Exemplos Modelo em escala de edifícios grandes de uma cidade. O escoamento de ar ao redor dos edifícios é estudada. Os elementos ásperos no chão geram a turbulência desejada nas paredes.

Analise Dimensional

Analise Dimensional Placa deslizante

Analise Dimensional

Analise Dimensional

Analise Dimensional

Analise Dimensional

Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. Quantidade Comprimento Tempo Massa Força Velocidade Aceleração Freqüência Gravidade Área Símbolo l Dimensões L t m F V a T M ML/T 2 T-1 L/T 2 L 2 w g A

Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. Quantidade Vazão Fluxo de massa Pressão Tensão Massa específica Peso específico Viscosidade cinemática Símbolo Q p t r g m n Dimensões L 3/T M/LT 2 M/L 3 M/L 2 T 2 M/LT L 2/T

Símbolos e Dimensões em Mec. Flu. Quantidade Trabalho Símbolo W Potencia, fluxo de calor Tensão superficial Módulo da elasticidade volumétrica Dimensões ML 2/T 2 ML 2/T 3 s B M/T 2 M/LT 2

p. Careta

Teorema p de Buckingham É o teorema que nos permite determinar os números adimensionais a partir da função característica. n- número de variáveis Dependente Independentes

Teorema p de Buckingham K - Grupos adimensionais; n – numero de variáveis(grandeza / quantidade); m - número dimensões básicas;

Teorema p de Buckingham Partindo-se da função característica, f (F, V, ρ, µ, d) = 0, a aplicação do teorema dos π respeita a seguinte seqüência: 1º PASSO: Determinar o número de variáveis que influenciam o fenômeno - n n=5 2º PASSO: Escrevemos a equação dimensional de cada uma das variáveis. [F] = F [V] = L x T-1 [ρ] = F x L-4 x T 2 [µ] = F x L-2 x T [D] = L

Teorema p de Buckingham 3º PASSO: Determinamos o número de dimensões envolvidas no fenômeno - m. m=3 4º PASSO: Determinamos o número de adimensionais que caracterizam o fenômeno - K K=n-m∴K=2 5º PASSO: Estabelecemos a base dos números adimensionais. Definição de base - É um conjunto de variáveis independentes comuns aos adimensionais a serem determinados, com exceção dos seus expoentes. Variáveis independentes- São aquelas que apresentam as suas equações dimensionais diferentes entre si de pelo menos uma grandeza fundamental. Para o exemplo, temos: F, V, ρ, D ou F, V, µ, D como variáveis independentes. ρ e µ como variáveis dependentes.

Teorema p de Buckingham Bases possíveis para o exemplo: ρ V F; ρ V D; F V D; µ V F; µ V D. Para obtermos os adimensionais já estabelecidos para os estudos de Mecânica dos Fluidos, geralmente adotamos a base ρ V D, ou a que mais se assemelha a esta. Para o exemplo, adotamos a base ρ V D. 6º PASSO : Escrevemos os números adimensionais, multiplicando a base adotada por cada uma das variáveis que restaram na função característica após a sua retirada. π1 = ρα 1. Vα 2. Dα 3. F π2 = ργ 1. Vγ 2. Dγ 3. µ

Teorema p de Buckingham Para obtermos os expoentes da base, substituímos cada uma das variáveis por sua respectiva equação dimensional, inclusive o número adimensional. Para p 1 tem-se:

Teorema p de Buckingham Para p 2 tem-se: