Aturan Perkalian Permutasi dan Kombinasi Untuk Kelas XI

Aturan Perkalian, Permutasi, dan Kombinasi Untuk Kelas XI SMA IPA Oleh Aris Kosasih

Kompetensi Inti • Memahami, menerapkan, dan menjelaskan pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif dalam ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah

Kompetensi Dasar • 3. 14 Memahami dan menerapkan berbagai aturan pencacahan melalui beberapa contoh nyata serta menyajikan alur perumusan aturan pencacahan (perkalian, permutasi dan kombinasi) melalui diagram atau cara lainnya • 3. 15 Menerapkan berbagai konsep dan prinsip permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah nyata

Indikator Pencapaian Kompetensi • Siswa mampu mengidentifikasi permasalahan yang berhubungan dengan aturan pencacahan (perkalian, permutasi dan kombinasi) • Siswa mampu menerapkan berbagai konsep dan prinsip permutasi dan kombinasi dalam pemecahan masalah nyata

Peta Konsep

Aturan Perkalian • Aturan Pengisian Tempat Jika sesuatu pekerjaan diselesaikan dengan p cara yang berlainan dan sesuatu pekerjaan lain diselesaikan dengan q cara yang berlainan, maka banyaknya cara untuk melakukan dua kegiatan itu dapat diselesaikan dengan (p × q) cara. • Notasi Faktorisasi Faktorial adalah hasil kali bilangan asli berurutan dari 1 sampai dengan n. Definisi matematisnya adalah: n! = 1 × 2 × 3 × …× (n – 2) × (n – 1) × n atau n! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1

Contoh • Seorang ingin membuatkan plat nomor kendaraan yang terdiri dari 4 angka, padahal tersedia angka-angka 1, 2, 3, 4, 5 dan dalam plat nomor itu tidak boleh ada angka yang sama. Berapa banyak plat nomor dapat dibuat? • Polisi itu dapat membuat plat nomor kendaraan sebanyak 5 × 4 × 3 × 2 = 120 plat nomor kendaraan. • Hitunglah nilai dari 2! × 3! • 3! × 2 ! = 3 × 2 × 1 =6× 2 = 12

Permutasi • Notasi Permutasi • Permutasi Siklis • Permutasi Jika Ada Unsur Yang Sama

Notasi Permutasi • Permutasi adalah jumlah urutan berbeda dari pengaturan objek-objek • Permutasi r dari n elemen adalah jumlah kemungkinan urutan r buah elemen yang dipilih dari n buah elemen, dengan r n, yang dalam hal ini, pada setiap kemungkinan urutan tidak ada elemen yang sama.

Contoh • Tentukan nilai dari !

Permutasi Siklis • Permutasi siklis adalah permutasi yang cara menyusunnya melingkar, sehingga banyaknya menyusun n unsur yang berlainan dalam lingkaran ditulis:

Contoh • Pada rapat pengurus OSIS SMA X dihadiri oleh 6 orang yang duduk mengelilingi sebuah meja bundar. Berapakah susunan yang dapat terjadi?

Permutasi Jika Ada Unsur Yang Sama • Jika dalam suatu permutasi terdapat beberapa unsur yang sama, maka permutasi tersebut disebut permutasi dengan pengulangan. • Banyaknya permutasi n unsur yang memuat k, l, dan m unsur yang sama dapat ditentukan dengan:

Contoh • Berapa banyak kata yang dapat disusun dari kata AGUSTUS? • Pada kata AGUSTUS Banyaknya huruf = 7, banyaknya S = 2, banyaknya U = 2

Kombinasi • Notasi Kombinasi • Binomial Newton

Notasi Kombinasi • Bentuk khusus dari permutasi adalah kombinasi. Jika pada permutasi urutan kemunculan diperhitungkan, maka pada kombinasi, urutan kemunculan diabaikan. • Kombinasi r elemen dari n elemen, atau C(n, r), adalah jumlah pemilihan yang tidak terurut r elemen yang diambil dari n buah elemen

Contoh • Dari 10 orang pemain putra dan 8 orang pemain putri. Berapakah pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk ganda putra? • Karena banyaknya pemain putra ada 10 dan dipilih 2, maka banyak cara ada:

Binomial Newton • Koefisien untuk xn-kyk adalah C(n, k). Bilangan C(n, k) disebut koefisien binomial. • (x + y)n = C(n, 0) xn + C(n, 1) xn-1 y 1 + … + C(n, k) xn-k yk + … + C(n, n) yn = xn-k yk

LATIHAN • Amir mempunyai 5 kaos kaki dan 3 sepatu yang berlainan warna. Dengan berapa cara Amir dapat memakai sepatu dan kaos kaki? • Terdapat 7 siswa sedang belajar di taman membentuk sebuah lingkaran. Ada berapa cara mereka duduk dengan membentuk sebuah lingkaran? • Dari 3 orang pemain putra dan 6 orang pemain putri. Berapakah pasangan ganda yang dapat diperoleh untuk ganda putri?

Aturan Perkalian • Diketahui terdapat 5 kaos kaki, 3 sepatu • Jadi banyaknya cara ada 5 × 3 = 15 cara

Permutasi • Terdapat 7 siswa duduk melingkar, sehingga terdapat

Kombinasi • Terdapat 6 pemain putri, dan akan dipilih 2 pemain, maka terdapat

TERIMA KASIH