Att designa matematik lektioner med en japansk problemlsningsorienterad

Att designa matematik lektioner med en japansk problemlösningsorienterad undervisningsmetod. -En svensk fallstudie Yukiko Asami-Johansson

Några punkter från Skolinspektionens rapport (2010) • Inget eller mycket begränsat utrymme finns för arbete med helheten. • Eleverna ges inte möjlighet att träna problemlösning, förmågan att se samband och att resonera, argumentera och uttrycka sig såväl muntligt som skriftligt… • Högre grad av individanpassning – eleverna arbetar i sin egen takt, men läraren inte hinner hjälpa alla under lektionstid. • Lärare har låga förväntningar på vissa elever.

Problem med problemlösning • Behandlas som ett centralt innehåll i kursplanen • Anses vara svårt att hinna med (”det ligger mot slutet av kapitlet i boken!”) • Behandlas endast som ”text problem”

Forskning säger • Often introduced in school without any connection to a specific content or discipline. (Bosch et al. , 2007) • Suffers the risk of leading to the study of very localised mathematical organisations (Rodríguez et al. , 2008) • ”It is not an approach for everyday mathematics education” (Souma, 2010, about ”Open Approach” of Nohda, using open ended modelling tasks).

The Teaching Gap “Best ideas from the world's teachers for Improving education in the Classroom” av James W Stigler, James Hiebert. Beskriver den japanska “strukturerade problemlösningen” 5

Strukturerad problemlösning: historik Stor inflytande av John Deweys filosofi och hans ”problem-solving-learning” på 1920 -talet. Syftet med matematikundervisningen: • Efter kriget: problem med "socialt behov" • 1950 -talet: fokus på ”elevernas matematiskt tänkande” • 1970 -80 -talet: ”open-ended problems” • ”Lesson study” som verktyg, spred den strukturerad problemlösning i hela Japan.

7

Lesson study En förbättringsprocess för undervisningen. 1. Sätta mål, 2. Planera lektion, 3. Genomföra och observera lektionen, 4. Diskutera lektionen, 5. Omarbeta lektionen 6. Avslutningsfest（ev. ytterligare diskussioner） Det viktiga är att det finnas en atmosfär att vilja förbättra kvaliteten av undervisningen genom att observera varandras lektioner och diskutera efteråt 8

Lesson study (jigyo kenkyu) q Antalet lärare som ingår i en Lesson Study varierar. q Alla grundskolor i Japan arrangerar någon form av Lesson Study. En ”tradition”. q Ett bra medium för att sprida problemcentrerade undervisnings metoder. 9

Grundläggande mönster för ”strukturerad problemlösning” 1. 2. 3. 4. Hatsumon (presentation av problem) Kikan-shido (problemlösning av studenter) Neriage (Helklass-diskussion) Matome (Sammanfattning av lektionen) Bansho (Användning av tavlan): En viktig teknik att behärska för lärarna. 10

Karaktären hos lektionerna －Jämförelse av två olika lektionsexempel Mål: Eleverna ska få uppfattning om användning av kvadreringsregler Föregående lektionerna: Eleverna har gott genom lektion(er) om Parentesmultiplikation. 　 11

Jämförelse av två olika lektionsexempel Lektion 1 (målet: tillämpning av konjugatregeln och kvadreringsregeln) Problem: ”Visa att differensen av kvadraterna av två heltal som följer på varandra är summan av de två talen” 5² ─ 4² = 5 + 4 = 9, 8² ─ 7² = 8 + 7 = 15

Lektionsflöde 1．Individuellt tankearbete: （resonerar om uppgiften själv） 　　　”Vad ska jag göra? ”　”Ingen aning” 2．Läraren förklarar: 　　 genom att använda variabler 　　　　・Eleverna lyssnar 　　　　・Eleverna antecknar

Lektionsplan enligt K. Souma Lektionsexempel 2 Läraren skriver på tavlan: 5² ─ 4² = 9 8² ─ 7² = 15 ( ─ 4)² ─ (─ 5)² = ─9 Läraren frågar: ”Vilka slutsatser kan man dra av resultaten? ”

Gissningar av eleverna a) Differensen av kvadraterna är lika med summan av de två talen. b) Fördubbla det största talet och subtrahera 1. c) Differensen blir udda tal. Kärnproblem: Vi bevisar påståendena a), b) och c)!

Lektionsflöde 1. Enskilt tankearbete (resonerar själv) • Kollar om även andra tal visar samma fenomen. • Kollar om man kan förklara genom att använda variabler.

Lektionsflöde 2. Lösning i par/grupp 　 　　　Vi kallar det större talet för x，det mindre för y. så y = x – 1 och vi ska visa att x² – y² = x + y. 3. Diskussion i hela klassen Enl. konjugatregeln, X² – y² = (x – y)(x + y) och (x – y) = 1, så x² – y² = x + y. Eller, Om vi kallar det större talet för x och det mindre för (x ─ 1)，så x² – (x – 1)² = 2 x – 1. Enl. kvadreringsregeln,

Motivation för gissningstekniken • Gissningen ger eleverna ett behov att bevisa något genom att väcka deras nyfikenhet • Mönster upptäcks av eleverna och därifrån kommer viljan att verifiera och bevisa resultatet. • Eleverna skall inte bara memorera härledningen, låt dem också fundera på alternativa formuleringar och bevismetoder.

Vad är skillnaden mellan de två lektionerna？ 　【Lektion １】 　 　【Lektion ２】 　 Fokus på förklaring 　　 Fokus på process 　　　 　△Passiv inlärning　 　△Eleverna ”memorerar” metoden som de fick förklarad av läraren 　　 　 　 　　○Aktiv inlärning　　 　　○Resonerar själv　　 　　　　　　　 Undervisning med fokus på process. ”Att lösa problem” är en metod, inte är målet. （Det är inte att lösa problem som är viktigt ）　 　 19

Fördelar med gissningar • Utvidgar olika tankesätt: Elevernas överväganden och tankesätt utvidgas när de får ett extra tillfälle att fundera över egna och andras gissningar. ”Hur många grader tror du att stjärnans vinkelsumma är? Gissa först!” Sedan; ”blir det alltid 180 °? ”

4 typer av ”ingångsproblem” 1. Vill ha ett svar ”Hur många cm är ～? ”, ”Vilken sorts triangel är den här? 2. Elever väljer ett svar ur några alternativ ”Vilken av … är rätt/fel? ” 3. Rätt eller fel ”Är det korrekt att ～? ” ”Är det samma att ～? ” 4. Upptäcka fenomen/mönster osv. ”Vad kan du se/säga om ～? ” 21

Diskutera i klassen 1. Kontrollera de presenterade lösningarna 2. Diskutera vilka lösningar som är lämpligast (förbättrar elevernas lösningsmetoder) 3. Diskutera gemensamma punkter och olikheter hos olika lösningar. 4. Ibland kan man diskutera en felaktig lösning. ”Kan ni förstå varför Kalle gjorde så? ”

Använda läroböcker Viktigt att eleverna inser länken mellan undervisningen och läroboken. Annars kan det leda till en dålig förståelse för det väsentliga i kunskapen. 1. Eleven kan titta tillbaka och titta i boken som kontroll. 2. Har eleverna löst problemet, kan de öppna boken och ta reda på vilken sats som man kan utnyttja eller redan har utnyttjat. 3. Eleverna som inte kommer på någon lösning kan titta i boken för ledning. 4. Efter lektionen används uppgifter från samma kapitel som hemläxa.

Förutsättningar Läraren måste skapa en social norm i klassen så att eleverna: • känner sig säkra på att uttrycka sina verkliga tankar och frågor. • har en positiv attityd till att lyssna på andras åsikter. Läraren måste vara trygg i sin matematiska kunskap för att kunna förstå elevernas framställningar. Det som verkar vara fel eller förvirring är elevernas uttryck för nuvarande överenskommelser. Skriv upp alla tänkbara elevlösningar i lektionsplaneringen.

Att planera en lektion • Planera först lektioner för hela år, sedan hela kapitel. Vad måste eleverna lära sig? Tänk på: 1. I vilken fas (område, kapitel) placeras lektionen? Vilka förutsättningar gäller om elevernas kunskap? (Vad kan de redan? ) 2. Vilket är ditt mål med att ge denna uppgift? Vad vill du att de ska lära sig? 3. Planera hur du presenterar uppgiften och elevernas möjliga reaktioner. Uppgiften ska helst generera flera lösningsmetoder och flera delproblem.

Förbättring av problem Ett ex. ”Yttervinkelsumman av en polygon” Uppgift: Bevisa att yttervinkelsumman av en polygon är 360º 26

Förbättring av problemet Uppgift (ingångsproblem): Vilken av yttervinkelsummorna i nedanstående polygoner är störst? a b 27

Gissning 　 • 　De flesta elever gissar b. • Några gissar a. • Få gissar att vinkelsumman är ”lika”　　　 • Vilken är det som är rätt? ”　 • Kärnproblem 　　 　　　　 Hur kan vi få reda på yttervinkelsummorna? 28