Astrogebra La dtermination de lorbite elliptique de Mars

Astrogebra La détermination de l’orbite elliptique de Mars par Kepler 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler

Contexte historique • Le Soleil, la Lune et les planètes appelés « astres errants » ont attiré l’attention des hommes qui ont élaboré divers modèles pour interpréter leurs mouvements. • Le système de PTOLEMEE (IIème siècle de notre ère) a prévalu jusqu’au XVIIème siècle et consistait à placer la Terre au centre du monde et à en faire un corps fixe. • L’astronome polonais Nicolas COPERNIC (1473– 1543) proposa une représentation héliocentrique du système solaire montrant le double mouvement des planètes sur elles-mêmes et autour du Soleil, théorie condamnée par le Pape comme contraire aux Ecritures. • Un siècle plus tard, l’astronome allemand Jean KEPLER (1571 -1630) , convaincu que la distribution, la forme et les dimensions des orbites n’étaient pas dues au hasard mais régies par des lois, entreprit de les découvrir à partir des observations précises de TYCHO BRAHE dont il avait été le disciple. C’est ainsi qu’il établit une très belle théorie concernant l’orbite de Mars et qu’il énonça les trois lois dites lois de Kepler. 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 2

Principe de la méthode de Kepler • Pour un objet inaccessible, la méthode des parallaxes, qui consiste le viser à partir de deux sites différents, permet de déterminer la distance qui le sépare de l’observateur. • Kepler a utilisé cette méthode pour situer Mars par rapport à la Terre, la planète étant beaucoup plus près de nous que le fond du ciel avec les étoiles constituant le décor. • Cependant la distance de Mars à la Terre est telle que, même en se plaçant en deux points diamétralement opposés de la Terre, on ne pourrait voir Mars sous deux angles sensiblement différents. Il a alors imaginé de viser Mars depuis deux positions différentes de la Terre sur son orbite, ce qui permet d'avoir des lieux d'observation assez éloignés. • Pour faire ces mesures, il faut que Mars soit dans les deux cas à la même place dans le repère héliocentrique de Copernic. • Or Mars comme la Terre se déplace constamment ; il faut donc que les deux mesures soient faites à un intervalle de temps égal à la durée que met Mars pour faire un tour complet et que l'on appelle « révolution sidérale de Mars » . 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 3

Au temps t 1 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 4

Au temps t 2 = T 1 + 1 période de Mars est revenu à la même place et la Terre a fait un tour de plus 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 5

Période synodique La méthode de Kepler demande la connaissance de la période sidérale de Mars. La révolution sidérale ne peut pas être déterminée directement, mais elle peut être calculée à partir de la révolution synodique observable depuis la Terre. Celle-ci est calculée par la période synodique qui, elle, est directement observable. Pour sauter le calcul de la période synodique période sidérale passer à Tracé de l’orbite de Mars 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 6

Révolution sidérale et révolution synodique La révolution sidérale ne peut pas être déterminée directement, mais elle peut être calculée à partir de la révolution synodique observable depuis la Terre. Révolution synodique : intervalle de temps qui s'écoule entre deux passages successifs d'une planète dans une situation déterminée par rapport au Soleil et à la Terre. Cette période est calculable à partir d’observations de positions de planètes à des dates déterminées. relation période synodique – période sidérale Pour une planète extérieure 2010/02/27 Pour une planète intérieure L'orbite de Mars par Kepler 7

Mesure de la période synodique Observation des temps d’opposition La mesure de la période synodique de Mars consiste à repérer les dates successives de ses oppositions. On en déduit la période synodique. Les orbites de la Terre et surtout de Mars sont elliptiques. Les intervalles de temps entre plusieurs oppositions successives peuvent être assez différentes. La période synodique est une moyenne sur une période assez grande des intervalles de temps entre oppositions successives. 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 8

Mesure de la période synodique Observation des temps d’opposition On peut utiliser l’observations des configurations Mars – Soleil soit avec : • un planétarium (Skyglobe ou autre) en repérant les moments des alignements lors des oppositions ou conjonctions lorsque l’on fait défiler le temps. Les temps observés peuvent être imprécis. • un calculateur d’éphémérides (ICE ou serveur de l’IMCCE) et cher par interpolation soit - le moment où les longitudes géocentriques de la planète et du Soleil sont égales pour la conjonction - le moment où elles sont déphasées de 180° pour les oppositions. et inversement si l’on utilise les longitudes héliocentriques. 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 9

Mesure de la période synodique Temps des oppositions : Temps des oppositions avec Skyglobe configuré à Londres, face au Sud, à minuit en hiver ou 1 heure en été. Sans toucher à l’heure, avancer ou reculer le temps de mois en mois d’abord, puis de jour en jour à l’approche de l’opposition jusqu’à ce que Mars soit dans le méridien. Comme le Soleil ne passe pas tous les jours de l’année rigoureusement à minuit dans le demi-méridien nord l’indication de date est légèrement approchée. On peut l’obtenir avec plus de précision en recherchant par petits sauts l’instant où les ascensions droites deux astres diffèrent exactement de 12 heures. 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 10

Mesure de la période synodique Temps des oppositions avec les éphémérides On peut cher à tâtons la date précise où les longitudes du Soleil et de Mars sont exactement opposées. Méthode fastidieuse et longue. Il est plus facile de faire calculer aux alentours de l’opposition les longitudes de Mars et du Soleil sur quelques jours et par un graphique ou un calcul formel d’interpolation, de trouver la date. programme ICE ou autres ou http: //www. imcce. fr/page. php? nav=fr/ephemerides/formulaire/form_ephepos. php Ce travail peut être fait sous tableur Excel et l’utilisation du programme ICE. 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 11

Mesure de la période synodique Temps des oppositions avec les éphémérides Date Julian Date Year 2453685. 50000 2005 2453686. 50000 2005 2453687. 50000 2005 2453688. 50000 2005 2453689. 50000 2005 Heliocentric Coordinates of MARS Time Long Lat Mon Da h m s ø ' " ø ' Nov 11 0 00 00 47 05 22. 2 - 0 04 Nov 12 0 00 00 47 39 10. 1 - 0 03 Nov 13 0 00 00 48 12 54. 5 - 0 02 Nov 14 0 00 00 48 46 35. 6 - 0 01 Nov 15 0 00 00 49 20 13. 2 - 0 00 Heliocentric Coordinates of EARTH Time Long Lat Mon Da h m s ø ' " ø ' Nov 11 0 00 00 48 42 06. 5 + 0 00 Nov 12 0 00 00 49 42 26. 1 + 0 00 Nov 13 0 00 00 50 42 47. 1 + 0 00 Nov 14 0 00 00 51 43 09. 6 0 00 Nov 15 0 00 00 52 43 33. 6 - 0 00 " 51. 9 46. 5 41. 1 35. 9 30. 7 Dist AU 1. 4654601 1. 4666980 1. 4679400 1. 4691859 1. 4704357 " 00. 4 00. 3 00. 2 00. 0 00. 1 Dist AU. 9900451. 9898078. 9895744. 9893453. 9891206 Il reste à interpoler pour trouver le moment précis de l’opposition. Ici égalité des longitudes en coordonnées écliptiques géocentriques. Ce travail peut être fait sous tableur Excel et l’utilisation du programme ICE. 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 12

Période synodique La mesure de la période synodique demande à calculer des intervalles de temps entre deux dates. Rien de plus simple en utilisant un calendrier avec années bissextiles et des mois irréguliers ! Exercice : nombre de jours écoulés entre le jour de la rentrée scolaire et le dernier jour de cette année scolaire. 1 er septembre 2004 et 1 er juillet 2005 Les astronomes (et autres) utilisent une datation qui consiste simplement à compter les jours un à un. Le jour julien 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 13

Utilisation de ICE Trouver les coordonnées écliptiques d’une planète ou du Soleil à une date • Entrer la date (F 1/F 1) • Donner le nom du fichier de sortie (F 2) • Faire faire le calcul (F 3/F 3) 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 14

Utilisation de ICE Trouver les coordonnées écliptiques d’une planète ou du Soleil à une date • Entrer la date (F 1) : ouverture du menu : • Entrer la date (F 1) avec le format exact (décimales non obligatoire) • Donner le nombre de ligne de calcul (F 5) • Sortir du menu (F 7) 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 15

Utilisation de ICE Trouver les coordonnées écliptiques d’une planète ou du Soleil à une date • Faire le calcul en coordonnées héliocentriques (F 3) / (F 3) : Mars Terre (earth) • Sortir (F 10) • Récupérer le fichier de données pour les insérer dans le fichier excel 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler oppositions_mars. xls 16

Utilisation de ICE On obtient pour la période synodique : 782, 26 jours et la période sidérale : 685, 17 jours Valeurs officielles de l’UAI : 779, 936 jours et 686, 980 jours 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 17

Tracé de l’orbite de Mars Observations de Mars utilisées par Kepler Date Jour julien longitude Soleil longitude Mars 17/02/1585 2300017 339, 38 135, 20 10/03/1585 2300038 359, 68 131, 80 5/01/1587 2300704 295, 35 182, 13 26/01/1587 2300725 316, 10 184, 70 28/03/1587 2300786 16, 83 168, 20 12/02/1589 2301473 333, 70 218, 80 19/09/1591 2302422 185, 78 284, 30 6/08/1593 2303109 143, 43 346, 93 7/12/1593 2303232 265, 88 3, 07 25/10/1595 2303919 221, 70 49, 70 Données dans le fichier excel : data_kepler. xls Classement par couples pour le tracé géométrique ? Résultats fichier excel : data_kepler_res. xls 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 18

Tracé de l’orbite de Mars Couples d’observations de Mars utilisées par Kepler Date Jour julien 10/03/1585 2300038 26/01/1587 2300725 17/02/1585 2300017 5/01/1587 2300704 28/03/1587 2300786 12/02/1589 2301473 19/09/1591 2302422 6/08/1593 2303109 7/12/1593 2303232 25/10/1595 2303919 DT longitude Soleil 687 687 687 longitude Mars 359, 68 131, 80 316, 10 184, 70 339, 38 135, 20 295, 35 182, 13 16, 83 168, 20 333, 70 218, 80 185, 78 284, 30 143, 43 346, 93 265, 88 3, 07 221, 70 49, 70 Tracé des points des orbites de la Terre et de Mars ? 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 19

Méthodes Manuelle O Analytique M a r s Semi manuelle (IRIS) Geogebra 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 20

Tracé d’un couple d’observations L’orbite de la Terre est prise circulaire, r = 60 mm. Sur une feuille blanche ou millimétrée, on trace : - le centre (O), emplacement du Soleil - la direction Og, origine des directions Terre On utilise le rapporteur pour placer la Terre aux première et deuxième positions. l. Soleil LTerre = l. Soleil +/- 180° Mars Avec le rapporteur, on trace la direction Terre Mars, angle l. Mars De même pour la deuxième observation. LTerre = l. Soleil-180 O Le point de l’orbite de Mars est à l’intersection des deux directions. On recommence pour les autres couples d’observations. 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 21

Tracé d’un couple d’observations L’orbite de la Terre est prise circulaire, r = 60 mm. Sur une feuille blanche ou millimétrée, on trace : - le centre (O), emplacement du Soleil - la direction Og, origine des directions Terre On utilise le rapporteur pour placer la Terre aux première et deuxième positions. LTerre = l. Soleil +/- 180° Mars Avec le rapporteur, on trace la direction Terre Mars, angle l. Mars De même pour la deuxième observation. O Le point de l’orbite de Mars est à l’intersection des deux directions. On recommence pour les autres couples d’observations. 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 22

Orbite de Mars A l’aide de la feuille transparente • on recherche le meilleur ajustement d’un des cercles. • noter le rayon et la position du centre. • le rayon trouvé donne le demi grand axe a de l’orbite de Mars exprimé en rayons de l’orbite terrestre. • la distance Soleil-centre du cercle donne la valeur de c de l’ellipse de l’orbite de Mars • de c et a on en déduit l’excentricité e. 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 23

Méthode analytique Positions de Mars à partir des deux observations. Coordonnées des points T 1 et T 2 : On exprime les équations des droites Terre-Mars aux deux positions : Intersection des deux droites : 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 24

Résultats Rayon orbite Terre : 60 mm Programmation dans excel : fichier kepler_calculs. xls Point Positions Terre Position Mars x 1 y 1 X 2 y 2 x mars y mars r mars 1 -59, 9991 0, 3351 -43, 2331 41, 6041 -93, 2231 37, 4942 100, 4807 2 -56, 1562 21, 1301 -25, 6888 54, 2226 -87, 1775 51, 9356 101, 4753 3 -57, 4301 -17, 3720 -53, 7892 26, 5843 -97, 9352 -8, 9100 98, 3397 4 59, 6950 6, 0425 48, 1878 -35, 7483 71, 7411 -41, 2163 82, 7379 5 4, 3107 59, 8449 44, 7983 39, 9138 64, 4358 63, 0696 90, 1652 Programmation dans excel : fichier kepler_calcul_res. xls 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 25

Mesure du rayon de l’orbite de Mars et de son excentricité Points reportés sur un graphique : même méthode que par rapporteur et cercles concentriques. Construction d’une image avec les points positionnés. Cette image peut être traitée par IRIS (imaorbite. jpg). Utilisation de la fonction Photométrie d’ouverture. (Analyse / Photométrie d’ouverture) Cette fonction permet d’ajuster, à la souris, un cercle de rayon donné. On mesure pour les points de la Terre et de Mars, les rayons et les positions des centres des cercles qui s’ajustent au mieux aux points des orbites. 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 26

Mesure du rayon de l’orbite de Mars et de son excentricité avec IRIS Traitement par IRIS d’imaorbite. jpg On mesure pour les points de la Terre et de Mars, • les rayons • les positions des centres des cercles qui s’ajustent au mieux aux points des orbites. Données à rentrer dans le fichier excel : kepler_iris. xls Mesu. 1 Mes. 2 xt yt rt Echelle xm ym rm a Mars e Mars 2010/02/27 Construire les formules pour arriver aux résultats Résultats -> L'orbite de Mars par Kepler 27

Mesure du rayon de l’orbite de Mars et de son excentricité avec IRIS On mesure pour les points de la Terre et de Mars • les rayons • les positions des centres des cercles qui s’ajustent au mieux aux points des orbites. Terre Résultats imaorbite. jpg Mesu. 1 xt 500 yt 501 rt 300 Echelle xm 0. 200 ym 463 464 rm 533 530 a Mars 1. 5333 1. 5367 e Mars 0. 1063 0. 1003 2010/02/27 Mes. 2 L'orbite de Mars par Kepler Mars 28

Tracé de l’orbite de Mars Peut-on justifier l’utilisation de cercles à la place des ellipses ? Avec un rayon de l’orbite de la Terre de 60 mm et de 92 mm pour Mars et des excentricités de 0, 01671 et 0, 090 de Mars Quelles est la différence grand axe – petit axe de chaque ellipse ? Programmation dans excel : fichier kepler_iris. xls feuille 2 Résultats dans le fichier kepler_iris_res. xls feuille 2 a e b (a-b) Terre 60 0, 01671 59, 992 0, 01 mm Mars 90 0, 09340 91, 598 0, 40 mm La différence correspond au tracé de l’épaisseur - d’un trait fin pour la Terre - d’un trait un peu épais pour Mars. 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 29

L’orbite de Kepler avec Géogébra Fichier : keplomars_depart. ggb Les données de départ sont les mêmes mises dans la partie tableur. A l’aide du tableur trouver les couples qui correspondent à la période synodique. 1 - Repérer les configurations Terre Soleil Mars semblables Comment ? Colonne I faire les différences de longitudes Soleil-Mars. Recherche des couples de même élongation au Soleil - 17 février 1585 et 28 mars 1787 769 jours - 5 janvier 1587 et 12 février 1789 769 jours - 19 septembre 1591 et 7 décembre 1793 810 jours 2 – noter les espaces de temps les séparant Moyenne : 782. 7 jours 3 - Calculer la période sidérale de Mars P = 684, 6 jours 2010/02/27 686. 98 jours L'orbite de Mars par Kepler 30

Recherche des couples d’observation séparés par une période sidérale Les dates doivent différer d’environ une période sidérale de Mars. Dans les colonnes J, K et L faire les différences dates jours juliens entre les observations de deux en deux (col. J), de trois en trois (col. K) et de quatre en quatre (col. K) Se servir du tableur pour trouver les couples 1 - 17/02/1585 et 05/01/1587 2 - 10/03/1585 et 26/01/1587 3 - 28/03/1588 et 12/02/1589 4 - 19/09/1591 et 06/08/1593 5 - 07/12/1593 et 25/10/1595 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 31

Orbite de la Terre Placer le Soleil au centre : point S S = (0, 0) Dessiner l’orbite de la Terre On assimilera l’orbite de la Terre à une orbite circulaire. C_T = Cercle[S, 1] Le cas d’une orbite légèrement elliptique sera abordée à la fin. L’origine des longitudes héliocentriques est l’axe des x. 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 32

Construction des points de l’orbite de Mars Pour chaque couple, on choisira : • une couleur • un bouton logique de visibilité des droites et intersection la construction 1 2 3 4 5 Date 1 17/02/1585 10/03/1585 28/03/1588 19/09/1591 07/12/1593 Date 2 05/01/1587 26/01/1587 12/02/1589 06/08/1593 25/10/1595 Couleur (0, 102, 204) (102, 204, 0) (255, 102) (153, 0) (255, 204, 0) flg_1 flg_2 flg_3 flg_4 flg_5 Flag 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 33

Construction point 1 de la Terre Coul : (0, 102, 204) flg_1 Longitude Terre/Soleil = long. Soleil/Terre+180° Dates 17/02/1585 et 05/01/1587 • 17/02/1585 T_1=(1; 159. 38°) ou T_1=Intersection[C_T, Demi. Droite[S, Vecteur [S, (-cos(G 4*pi/180), -sin(G 4*pi/180))]]] • 05/01/1587 T'_1=(1; 115. 21°) ou T'_1=Intersection[C_T, Demi. Droite[S, Vecteur [S, (-cos(G 6*pi/180), -sin(G 6*pi/180))]]] 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 34

Construction premier point de Mars Construction des directions vers Mars : T 1 : H 4 (135. 12°) et T’ 1 : H 6 (182. 08°) Direction de Mars de T 1 d 1=Demi. Droite[T_1, vecteur[S, cos(H 4*pi/180), sin(H 4*pi/180))]] Direction de Mars de T’ 1 d’ 1=Demi. Droite[T_1, vecteur[S, (cos(H 6*pi/180), sin(H 6*pi/180))]] Mettre la condition de visibilité flg_1 Position de Mars : M_1=Intersection[d 1, d'1] Construire les quatre autres points. 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 35

Tracé des points de l’orbite de Mars 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 36

Recherche de l’orbite Supposition : l’orbite elliptique est très proche d’un cercle On rechera l’ajustement • du meilleur cercle • qui passe au mieux des cinq points Ce cercle est déterminé par : son centre C de coordonnées : x. C et y. C Son rayon r 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 37

Méthode sous Geogebra A partir d’un cercle donné, proche des points • calcul la distance des points au cercle • somme des carrés de ces distances appelée excès E. Si le cercle passe par tous les points, E est nul. En faisant varier la position du centre et le rayon du cercle, on va cher à minimiser cet excès E. Pour la variation des trois paramètres, on crée trois curseurs : x_C y_C r On tracera le cercle et apparaître son centre C Calcul de l’excès E 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 38

Calcul de l’excès I 1 est à l’intersection de CM 1 et du cercle. I 1 I_1=Intersection[Demi. Droite[M_1, C], c_M] Mesure de MI 1 L_1=Longueur[Vecteur[I_1, M_1]] Idem pour M 2, M 3… E=L_1^2+L_2^2+L_3^2+L_4^2+L_5^2 Affichage avec un texte : "E=" + E Propriété texte : mettre 10 décimales, taille 14 et Gras 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 39

Ajustement du cercle On agit sur les trois curseurs En itérant jusqu’à ce que E soit minimal. On agira successivement sur x. C, y. C, r et l’on recommencera par x. C… Les curseurs varient doucement lorsqu’on les sélectionne à la souris et que l’on agit sur les touches flèches . Pour faire varier un curseur de façon très progressive lui donner dans les Propriétés un incrément de 0 (minimum). 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 40

Calcul des éléments de l’orbite Tracer le grand axe de l’orbite de Mars gaxe=Droite[C, S] Demi-grand axe a : Créer les points d’intersection J 1 et J 2 du cercle c. M et gaxe J=Intersection[gaxe, c_M] Le demi-grand axe = CJ 1 a=Longueur[Vecteur[C, J_1]] Excentricité : e_M=Longueur[Vecteur[C, S]]/a Longitude du périhélie : Lper = Angle[Vecteur[(0, 0), (1, 0)], Vecteur[C, S]] Afficher a, e et Lper. 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 41

Résultats Géogébra : Littérature : a = 1, 524 e = 0, 09340 lg per = 336, 1° Et si l’on tient d’une orbite elliptique de la Terre ? 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 42

Orbite elliptique de la Terre L’orbite de la terre sera toujours considérée comme un cercle L’orbite ne sera plus centrée sur le Soleil Position du centre avec ? e. T = 0. 01671 l. T : 102, 94° a = 1 c = 0. 01671 Position de CT : x. T = c cos(l. T + 180°) x_T=e*cos(l_T+180°) y. T = c sin(l. T + 180°) y_T=e*sin(l_T+180°) Cercle orbite Terre : 2010/02/27 c_T= (x_T, y_T) L'orbite de Mars par Kepler 43

Orbite elliptique de la Terre Positions des points T 1, T’ 1, T 2, … Comme dans le cas précédent : Intersection demi-droite ST et cercle T_1=Intersection[c_T, Demi. Droite[S, vecteur[(0, 0), (-cos(G 4*pi/180), -sin(G 4*pi/180))]]] Le reste est inchangé. Il suffit de refaire l’ajustement qui minimise l’excès E. 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 44

Nouveaux résultats Version 1 Littérature Version 2 a = 1, 524 e = 0, 09340 lg per = 336, 1° Les mesures de Tycho Brahé étaient bonnes ! 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 45

. . . FIN 2010/02/27 L'orbite de Mars par Kepler 46