Arreglos y Permutaciones Integrantes 8 8 V 5

Arreglos y Permutaciones Integrantes: 8! 8 = V 5 5! Daniela Ávalos Camila Badilla Nicolás Chávez Consuelo Contreras Alan Henríquez Pablo Robles Curso: 2 año medio B Profesor: Daniel Montoya

• 1. - Un alumno tiene que elegir un “ramo” entre 4 idiomas y 5 asignaturas científicas. ¿De cuantas formas lo puede hacer? • 4 idiomas + 5 asignaturas científicas = 9 formas diferentes Principio sumativo

• 2. -En el liceo San Antonio se dan las como actividades de libre elección: Fútbol, Ajedrez, Juvi, Tenis de mesa, Basquetbol, Atletismo. ¿De cuantas maneras un alumno puede elegir una de las opciones? • - se suman las actividades y nos da un total de 6 maneras que se puede elegir.

• 3. - Un alumno debe elegir un Idioma y una asignatura científica del siguiente cuadro: Idiomas Asignatura Científica. Ingles. Francés Alemán Matemática Física Química Biología. Determine de cuantas maneras un alumno puede elegir. • 3. 1. -Un idioma. • 3. 2. -Una asignatura científica. • 3. 3. - Un idioma y una asignatura científica. • 3. 4. -Un idioma o una asignatura científica.

• 3. 1= se suman los idiomas y nos da un total 3 formas de elegir un idioma • 3. 2= se suman las asig. Científicas y nos da un total de 4 formas de elegir una asignatura científica • 3. 3= se multiplica los idiomas y las asig. Científicas = 3 x 4 = 12 • 3. 4= se suman los idiomas y las asig. Científicas = 3 + 4 = 7

• 4. - Considere la palabra “MURCIELAGO”. MURCIELAGO Determine el número de palabras que se pueden obtener si: • 4. 1. - Se toman todas letras. • 4. 2. - Se toman 5 letras. • 4. 3. - Se toman 6 letras y la palabra debe empezar con la letra A. • 4. 4. - Se toman 6 letras y la palabra debe terminar en O. • 4. 5. - Se toman todas letras y la palabra empiece con A y termine en O. • 4. 6. - Que las letras centrales sean A y E (en ese orden).

• 4. 1 - 10 9 8 7 6 5 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 • 4. 2 - 10 9 8 7 6 5 • 4. 3 - A 9 8 7 6 5 • 4. 4 - 9 8 7 6 5 O • 4. 5 - A 8 7 6 5 4 8! = 40. 320 • 4. 6 - 8 7 6 5 A O 8! = 40. 320 4 3 2 1 3 10! = 3. 628. 800 10 x 9 x 8 x 7 x 6 x 5 =30240 9 x 8 x 7 x 6 x 5 =15120 2 1 O 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 4 3 2 1 8 x 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 • En este problema podemos decir que de la palabra MURCIELAGO se pueden formar diversas palabras con respecto de la misma. • En este problema se puede notar la utilización del “bicho matemático” (Ej. : 10!) x = opciones posibles

Ejercicio 5 • 5. - Considere la palabra “VAMPIRO”. Determine el número de palabras que se pueden obtener, si: • 5. 1. -Se toman todas letras. • 5. 2. -Se toman todas letras y la palabra debe empezar con P. • 5. 3. - Se toman todas letras y la 2º y penúltima letra de la palabra sean A y O respectivamente. • 5. 4. - Se tomen todas letras Y la segunda letra sea una vocal. • 5. 5. - Se tomen todas letras y la letra central sea una vocal. • 5. 6. - Que tenga 5 letras y que empiece con A • 5. 7. - Que tenga 5 letras y que termine en O • 5. 8. -Que tenga 6 letras y que termine en M. • 5. 9. - Que tenga 4 letras y que no contenga vocales.

Respuestas • • • 5. 1. - 7!= 7*6*5*4*3*2*1=5. 040 Explicación: Se toman todas letras y hay un total de 5. 040 posibilidades o arreglos posibles. 5. 2. - (7 -1)!= 6*5*4*3*2*1= 720 Explicación: Hay una letra fija. 5. 3. - (7 -2)!= 5*4*3*2*1= 120 Explicación: Existen 7 posibilidades a las cuales se le restan las que están fijas. 5. 4. - 6!*3= 2. 160 Explicación: En la 2ª casilla se encuentran 3 posibilidades, pues hay 3 vocales, dejando el resto de las posibilidades 6! 5. 5. - 6!*3= 2. 160 Explicación: En la casilla del medio hay 3 opciones que corresponden a las 3 vocales de la palabra, dejando para las otras casillas 6! opciones. 5. 6. - (7 -1)!/(7 -5)!= 6!/2!= 6*5*4*3*2!/2!= 6*5*4*3= 360 Explicación: Al factorial de la diferencia entre las 7 opciones se le restan el dato fijo, y se divide por el factorial de las diferencia de las 7 opciones con la de las 5 que serán tomadas en cuenta. 5. 7. - (7 -1)!/(7 -5)!= 6!/2!= 6*5*4*3*2!/2!= 6*5*4*3= 360 Explicación: Se realiza el mismo procedimiento del ejercicio anterior. 5. 8. - (7 -1)!/(7 -6)!= 6!/1= 6!= 6*5*4*3*2*1= 720 Explicación: Al factorial de la diferencia entre las 7 opciones y el dato fijo se divide por el factorial de la diferencia entre las 7 opciones y las 6 tomadas en cuenta. 5. 9. - 4!= 4*3*2*1= 24 Explicación: Como sólo se tomaran en cuenta 4 opciones se calcula el factorial de 4 para sacar el resultado.

• 6. - Considere la palabra “CAMINO”. Determine el numero de palabras que se pueden obtener si: • 6. 1. - Se toman todas letras. • 6. 2. - Se toman cuatro de las letras. • 6. 3. -Se toman todas letras y la palabra empiece con M. • 6. 4. - Se tomen todas letras y la palabra termine con N. • 6. 5. - Se tomen 3 letras y la palabra empiece con una vocal y las dos siguientes sean consonantes distintas. • 6. 6. -De tres letras, y que las tres sean consonantes distintas.

• • • 6. 1= 6! = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 720 6. 2= 6 x 5 x 4 x 3= 360 6. 3= Mx 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 120 6. 4= 5 x 4 x 3 x 2 x 1 xn= 120 6. 5= 3 x 3 x 2=18 6. 6= 3 x 2 x 1= 6

• 7. - Considere la palabra CAMARADA. ¿Cuántas palabras más se pueden formar si se toman todas letras? 8 8! 8 x 7 x 6 x 5 x 4! V = 4! =8 x 7 x 6 x 5= 4! 1680= se pueden formar 1680 palabras

• Ejercicio numero 8. • 8. 1 con la palabra Matemática • P(10, 2, 3, 2) 10! _____ = 151. 200 2!x 3!x 2! • 8. 2 se toman 5 de las letras V • 10 10! ______ = 30. 240 5 5! • 8. 3 Con seis letras y eventualmente se podrían repetir 10 • V 7 : 10! _______ = 3! 3. 628. 800

9. -Considere el nº 3458. Cuantos números se pueden obtener: Para las 3 preguntas del ejercicio se usa el principio multiplicativo (N x M ) En los 2 primeros no se repiten las letras por lo que se van agotando las opciones -Con los 4 dígitos sin repetición. R: 4! = 24 -Con los 3 dígitos sin repetición. R: 4 x 3 x 2 = 24 En esta pregunta se pueden repetir todas la letras -Con los 4 dígitos con repetición. R: 4 x 4 x 4 x 4 = 256

• 10. - Considere el nº 36. 478. Cuantos números se pueden obtener: • 10. 1 -De tres dígitos sin repetición. • 10. 2. -De cuatro dígitos con repetición • 10. 1= 5 x 4 x 3= 60 • 10. 2=5 x 5 x 5 x 5= 625

• 11. 1. -¿Cuántas palabras más se pueden obtener con las letras de la palabra CHILENO? • 11. 2. - ¿Cuántas palabras más se pueden hacer con las letras de la palabra COLO? • 11. 1= (7!-1)= 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 5040 -1=5039 • 11. 2= • 8 • V = • (8, 2, 4, 2) 8! ____ = 420 2! x 4! x 2!

• 12. - Se tienen 5 libros distintos de matemática, 3 de Química y 2 de Física. De cuantas maneras se puede escoger: • 12. 1. - Un libro del total de ellos. • 12. 2. - Uno de cada materia. 12. 1= se suman el total de libros eso nos da 10 12. 2= 5 x 3 x 2 x 2= 60

• 12. - Si en el problema anterior los libros de cada materia son iguales. ¿De cuantas maneras se pueden ordenar todos libros en un estante puestos en fila? 10 • V 10! = (5, 3, 2) = 2520 5!x 3!x 2!

• 13. - Para una función existen cuatro tipos distintos de entradas de galería, y dos tipos de entradas distintos de platea. • 13. 1. - ¿De cuantas maneras distintas se puede elegir una entrada? • 13. 2. - ¿Una de galería y una de Platea? • 13. 2. - ¿Dos de galería y una de platea?

• 13. 1= se suman las distintas entradas eso nos da un total de 6 • 13. 2= se multiplican las entradas y eso nos da un total de 8 entradas • 13. 3= dos de galería = 4 x 3= 12 y una de platea 2 = 12 x 2 = 24

• 14. -Suponga ahora que en el problema anterior las entradas de galería son todas iguales y las de platea son también todas iguales. Calcule de cuantas maneras se pueden ordenar las entradas puestas en una mesa y una sobre otra. 6 • V 6! = (4, 2) = 15 4!x 2!

• 15. - En una estantería hay 6 frascos de mermeladas hechos de distinta fruta y 2 frascos de café de distinto tipo. Calcule de cuantas maneras se puede elegir. • 15. 1. - Un frasco del total. • 15. 2. - Un frasco de mermelada y otro de café. • 15. 1= se suman los frascos de mermeladas y de café y nos da un total de 8= 6 + 2 = 8 • 15. 2= se multiplican los frascos y nos da un total de 12 = 6 x 2 = 12

• 16. - Considere las 5 celdas, de ellas una sombreada. y considere además el número 428790. Determine de cuantas maneras se puede anotar: • 16. 1. - Uno de los dígitos de numero en la celda sombreada. • 16. 2. - Uno de los dígitos del numero en una de las celdas no sombreadas. • 16. 3. - El 8 en una de las celdas no sombreada. • 16. 4. - Si los números se pueden volver a elegir una vez elegido el anterior. De cuantas maneras se puede anotar uno de los dígitos en la celda sombreada.

• 16. 1 = se ve la cantidad de dígitos y se multiplican por 1 = 6 x 1 = 6 • 16. 2= se ve la cantidad de casillas y la cantidad de números y se multiplican= 6 x 5 x 4 x 3= 360 6 5 4 3 • 16. 3= se cuenta la cantidad de casillas no sombreadas= 4 • 16. 4= se multiplican la cantidad de números por la cantidad de casillas sombreadas = 6 x 1=6

• 17. - Repita el ejercicio anterior considerando ahora el número: 42872. • 17. 1=se ve la cantidad de dígitos y se multiplican por 1= 5 x 1=5 • 17. 2= se ve la cantidad de números y la cantidad de casillas y se multiplican= 5 x 4 x 3 x 2= = 120 5 4 3 2 • 17. 3= se multiplica la cantidad de números por la cantidad de casillas sombreadas = 5 x 1=5

• 18. -Un estudiante tiene que elegir un idioma y una asignatura entre 5 idiomas y 4 asignaturas. Hallar el número de formas distintas en que puede hacerlo. - Se multiplica la cantidad de idiomas y la cantidad de asignaturas= 5 x 4 = 20

• 19. - ¿de cuantas formas se pueden repetir dos premios entre 10 personas, sabiendo que ambos premios? • 19. 1. - no se pueden conceder a una misma persona • 19. 2. - se pueden conceder a la misma persona. • 19. 1= si un premio se le concede a una persona = 10 y el otro a 10 = 100, pero se le resta 10 por los premios repetido eso nos da un total de 90 • 19. 2= se multiplican las 10 personas con premios =10 x 10 = 100

• 20. - ¿de cuantas maneras se pueden introducir 5 cartas en 3 buzones? • se multiplican los 5 cartas con los tres buzones pero de manera de usar todas las posibilidades de introducir 5 cartas en 3 buzones= 5 x 4 x 3 x 2 = eso nos da un total de 243 formas de introducir 5 cartas en 3 buzones

• 21) Hay 4 candidatos para presidente de un club, 6 para vicepresidente y 2 para secretario. Calcule de cuantas maneras se pueden ocupar estos tres puestos. 4 Candidatos para presidente. 6 Candidatos para vicepresidente. 2 Candidatos para secretarios. 6 · 4 · 2 = 48 Respuesta : Estos tres puestos se pueden ocupar de 48 maneras diferentes.

22) ¿De cuántas maneras distintas se pueden ordenar 5 personas en una fila? Desarrollo. 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 120 Respuesta : Se pueden ordenar de 120 maneras distintas.

• 23. - ¿De cuantas maneras se pueden colocar 7 libros en una estantería? • 7!= 7 x 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1= 5040

Ejercicio 24 Hallar el número de formas en que se pueden colocar en una fila 4 cuadros de una colección que se compone de 12 cuadros. 12 11 10 Solución: 12*11*10*9 = 11880 9

Resolución ejercicio nº 25 de la guía: • Ejercicio: ¿De cuantas maneras se pueden colocar en una fila 5 hombres y 4 mujeres de forma que estas ocupen los lugares pares? • Solución: Se realiza multiplicando la factorial de hombres y mujeres: 4(M)!(factorial) x 5(H)! (factorial) 4!x 5!=4 x 3 x 2 x 1 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1=2880 Se soluciona así por la simple razón de que como dice el ejercicio las mujeres ocupan lugares pares entonces los hombres los impares y completamos las “casillas” con la cantidad de formas que de las cuales se pueden ordenar: HMHMH 544332211 Y luego multiplicamos para finalizar , es una forma de explicar lo anteriormente dicho (al principio)

26. ) ¿De cuantas maneras se pueden colocar 7 cuadros diferentes en una fila sabiendo que uno de ellos debe estar, 26. 1). . . - en el centro? 26. 2) ¿en uno de los extremos? Desarrollo: 26. 1) P (7 -1)= 6! 6· 5· 4· 3· 2· 1= 720 26. 2) P (7 -1) = 6! · 2! (6 · 5· 4· 3 · 2· 1) · (2· 1) =1440

• 27. - ¿De cuantas maneras pueden colocarse 9 libros diferentes sobre una estantería de forma que: • 27. 1. - ¿Tres de ellos estén siempre juntos? • 27. 2. - ¿Tres de ellos no estén nunca todos juntos? • 27. 1= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 = 6 x 5 x 4 x 3 x 2 x 1 x 3 x 2= 4320 • 27. 2=

• ejercicios: 28. Hallar el número de palabras diferentes de 5 letras que se pueden formar con las letras de la palabra “empujado”. 28. 1. - Si cada letra no se emplea más de una vez: R: 8 X 7 X 6 X 5 X 4=6720 *Se toman 5 letras de las 8 letras de la palabra “empujado” (sin repetirse las letras) 28. 2. - Si cada letra se puede repetir: R: 8 X 8 X 8= 32768 *se toman 5 letras de la palabra empujado ( 8 letras) con la posibilidad de repetirse

29. - Hallar los números que se pueden formar con 4 de los dígitos: 1, 2, 3, 4, 5 29. 1. - Si estos no se pueden repetir en cada número 29. 2. - Si se pueden repetir 29. 3. -Si los dígitos no se pueden repetir. 29. 3. 1. - ¿Cuántos números de 4 cifras se pueden formar, empezando por 2? 29. 3. 2. - ¿Terminando en 25? 29. 1 5 dígitos, 4 casillas, sin repetir 5 4 3 2 _ 5!_ = 5! = 120 Arreglos (5 -4)! 1! 29. 2 5 dígitos, 4 casillas, con repetición de dígitos 5 5 5 4= 625 29. 3. 2 5 dígitos, 4 casillas y termina con 2 y 5 fijos 29. 3. 1 5 dígitos, un fijo (el 2 ) en 4 casillas, sin repetir 2 4 P(5 -1) = P 4 = 4! = 24 3 2 3 P(5 -2) = P 3 = 3! = 6 2 2 5

• 30. -Hallar cuantos números se pueden formar con los 10 dígitos , 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. • 15. 1. -Si cada uno de ellos se emplea solo una vez • 15. -2. - ¿Cuantos de ellos son impares? . • Se multiplican los números pero se le resta el cero al principio que no se toma en cuenta y que P(9 -2)=7!= 5040 • Y se divide por dos para saber cantos son impares eso nos da un total de 2520

• 31. - Hallar los números de 5 cifras que se pueden formar con los dígitos, 1, 2, 3……………. 9. , pudiendo estos repetirse • 31. 2. - ¿Cuantos de estos números? 31. 2. 1. - ¿Empiezan por 40? • 31. 2. 2. - ¿Son pares? • 31. 2. 3. - ¿Son divisibles por 5? 31. 2 se multiplican los 9 dígitos y nos da un total de 90. 000 31. 2. 1= se divide por 90= eso nos da un total de 1000 números que empiezan por 40 31. 2. 2= se divide por dos y nos da un total de 45000 31. 2. 3= se divide por 5 y nos da un total de 18. 000

• 32. - ¿Cuantos números comprendidos entre 3. 000 y 5. 000 , se pueden formar con los dígitos , 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6? , si cada uno se puede repetir en cada numero. • Se multiplica los números y se ven los que están entre esos números y eso nos da 6!= 240 números

Ejercicio 33 Se pueden tomar distintas posibilidades: Levantando… 1 banderola: 5 2 banderolas: 5*4 3 banderolas: 5*4*3 4 banderolas: 5*4*3*2 5 banderolas: 5*4*3*2*1 Ahora nosotros aplicamos principio sumativo: 5 + (5*4) + (5*4*3) + 5! = 325

• 34. - ¿De cuantas maneras se pueden sentar 5 personas alrededor de una mesa redonda? • se ponen 5!= 5 x 4 x 3 x 2 x 10 120

• 35 -. ¿De cuantas maneras se pueden sentar 8 personas alrededor de una mesa redonda de modo que dos de ellas estén siempre juntas? Ya que es redonda se usa (n-1)! = 7!= 1440

• 36. - ¿De cuantas maneras se pueden colocar 4 mujeres y 4 hombres alrededor de una mesa redonda de manera que cada mujer este entre dos hombres? • ya que es redonda se ponen intercalados es decir HMHM = 4 x 4 x 3 x 3 x 2 x 2 x 1 x 1= y como es redonda se usa (n-1)!= 4 x 4 x 3 x 3= 144

• 37. - ¿Cuantas pulseras se pueden hacer ensartando en un hilo 9 cuentas de colores diferentes? • Se usa el principio sumativo y se multiplica los 9 colores de cuenta de la pulsera eso es igual a 9!= 20160 formas de pulseras diferentes

• 38. - ¿De cuantas maneras se pueden elegir 5 idiomas de entre 8 de ellos? 8 8! V = -----= eso nos da un total de 56 5 5!

• 39. - ¿Cuantas diagonales tiene un octágono? • Se multiplican los ochos lados del octágono y se dividen por dos ya que se repiten la mitad y eso nos da un total de 20 diagonales