Aritmtica Propiedades y operaciones con nmeros reales Fundamentos

Aritmética: Propiedades y operaciones con números reales Fundamentos de álgebra Dr. Alfonso-Sosa Dr. Edwin Alfonso Sosa 1

Primera Unidad: Números Reales n Subconjuntos de los números Reales n Propiedades de los números Reales n Orden de operaciones y valor absoluto de un numero real. n Aplicaciones Dr. Edwin Alfonso Sosa 2

Capacitantes n Reconocer los subconjuntos del sistema de los números reales. n Clasificar un numero dentro del sistema de números reales. n Efectuar las operaciones de adición, sustracción, multiplicación y división en los números reales. n Determinar valor absoluto, potencia y raíz enésima de un numero real. Dr. Edwin Alfonso Sosa 3

NUMEROS REALES n Conjunto es una REALES IRRACIONALES ENTEROS …-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … FRACCIONES NO ENTERAS (POS Y NEG) ENTEROS NEGATIVOS …, -3, -2, -1 colección de objetos. n Los elementos de un conjunto se colocan dentro de un par de llaves n Conjunto de ENTEROS NO NEGATIVOS 0, 1, 2, 3, … números naturales NUMEROS NATURALES 1, 2, 3, … CERO Dr. Edwin Alfonso Sosa 4

Conjunto: Enteros no negativos (números cardinales) n Los enteros positivos y el cero conforman el conjunto de los números enteros no negativos. n El cero no tiene signo: no es positivo y no es negativo. Números enteros no negativos 0 1 2 Dr. Edwin Alfonso Sosa 3 5

Conjunto: Enteros negativos n Los enteros negativos son necesarios para describir situaciones como: Temperatura bajo cero: -10˚ n Déficit en una cuenta de banco: -$40 n Física: dirección de una fuerza F = -10 N n n -1 es mayor que el -3 Dr. Edwin Alfonso Sosa 6

Conjunto Enteros Recta numérica (recta de los números reales) muestra a el conjunto de los enteros origen Números enteros negativos -3 -2 -1 Números enteros no negativos 0 Dr. Edwin Alfonso Sosa 1 2 3 7

Conjunto: Números Racionales n {Enteros} → {Enteros negativos; enteros no negativos} n Para las siguientes situaciones tenemos que incluir fracciones Trabajo: 8 ½ horas n Me perdí la mitad (1/2) de la película n Costo de un articulo: $1. 25 = $ 1 ¼ n n {Racionales} → {Enteros; fracciones no enteras} Dr. Edwin Alfonso Sosa 8

Posición de los números racionales Recta numérica (recta de los números reales) ejemplo de números racionales. origen 1/2 -3 -2 -1 0 Dr. Edwin Alfonso Sosa 1 2 3 9

Def. Numero Racional n A un numero real se le llama racional si puede escribirse como el cociente p / q de dos enteros, donde q ≠ 0 (q distinto de cero). n Ejemplos Dr. Edwin Alfonso Sosa 10

Def. Numero Irracional n Los números reales que no pueden escribirse como cocientes de dos enteros se denominan irracionales. n Ejemplos n La representación de un numero irracional no termina ni se repite. n Ejemplos: solo se aproxima Dr. Edwin Alfonso Sosa 11

Ejercicio: n Determine los números naturales, enteros, racionales e irracionales del siguiente conjunto. Dr. Edwin Alfonso Sosa 12

Ejercicio: n Determine los números naturales, enteros, racionales e irracionales del siguiente conjunto. Dr. Edwin Alfonso Sosa 13

Orden Si el numero real a esta a la izquierda del numero real b sobre la recta numérica, entonces decimos que a es menor que b o de otra manera a < b. origen a -3 b -2 -1 0 Dr. Edwin Alfonso Sosa 1 2 3 14

Distancia Si a o b son dos números reales tales que a ≤ b, entonces la distancia entre a y b es: (distancia entre a y b)= b - a a -3 origen b -2 -1 0 1 2 3 Ex: Determine la distancia entre -3 y -1 Distancia entre -3 y -1 = -1 -(-3)=-1+3=2 determine la distancia entre 0 y 4 Edwin Alfonso Sosa Distancia entre 0 y 3 = 3 -Dr. 0= 3 15

Ejercicios n Ej. 5: Dibuje el siguiente conjunto en una recta numérica. n {-1/2, 3/4, 5/3, 7/2} origen -1/2 -3 -2 -1 3/4 0 Dr. Edwin Alfonso Sosa 1 5/3 2 7/2 4 3 16

Ejercicios n Diga si es verdadero o falso Cierto. -2 esta a la izquierda de -1 n -2 < -1 Falso. -15 esta a la derecha de -20 n -15 ≤ -20 Cierto. -8 ≤ 4 n -8 ≤ -(-4); Cierto 6 > 2 n 6 > -(-2) F n Todo numero racional es un entero. n Todo numero entero es un numero racional. C n Algunos números racionales son irracionales. C n Algunos números racionales son enteros. Dr. Edwin Alfonso Sosa 17 F

Valor absoluto n A la distancia entre un numero real a y 0 (el origen) se le llama valor absoluto de a. Un par de barras verticales sirven para indicar el valor absoluto. n El valor absoluto de un numero real a se define como la distancia entre a y 0 sobre la recta numérica. n Regla Si a ≥ 0 entonces |a|=a. ex: |3|=3 n Si a < 0 entonces |a|=-a. ex: |-2|= -(-2)=2 n Dr. Edwin Alfonso Sosa 18

Simplifique n |3|= 3 n -|7|= -7 n |7 -4|= 3 n -|-(5 -1)|= - | -4 |= -4 Dr. Edwin Alfonso Sosa 19

Propiedades de la adición: signos iguales n Suma de números reales n n Primer caso: signos iguales. Para sumar dos números con el mismo signo, deben sumarse sus valores absolutos. El signo de la suma (+ o -) es el mismo que el signo de los dos números. Ej. Para sumar -12 y -8, necesitamos sus valores absolutos n |-12|=12 ; |-8|=8 n Como ambos tienen signo negativo, usamos la regla anterior. Por lo tanto sumamos los valores absolutos: 12+8=20. Luego dé a la suma el signo de los dos números. Como ambos números son negativos la suma es negativa. n -12 + (-8) = -20 Dr. Edwin Alfonso Sosa 20

Propiedades de la adición: signos diferentes n Suma de números reales n n segundo caso: signos diferentes. Para sumar dos números con signo diferente debe restarse el valor absoluto mas pequeño del mas grande. La suma es positiva si el numero positivo tiene el valor absoluto mas grande. La suma es negativa si el numero negativo posee el valor absoluto mas grande. Ej. Para sumar -17 +11, necesitamos sus valores absolutos n |-17|=17 ; |11|=11 n Restando 17 -11=6 n De al resultado el signo del numero con mayor valor absoluto. Por lo tanto, será -6. Dr. Edwin Alfonso Sosa 21 n Conclusión: -17+11= -6

Ejemplos n (-6)+(-3)= - (6+3)=-9 n (-12)+(-4)= -(12+4)=-16 n 4+(-1)=3 n -9+16=7 n -16+12=-4 Dr. Edwin Alfonso Sosa 22

Sustracción o diferencia de números reales n Definición. n Para todos los números reales a y b, a - b = a + (-b) O sea cambie el signo del segundo numero y sume. 6 – 8 = 6 + (-8) = -2 Cambie a suma y cambia el signo del segundo numero. Cambie a suma y busque el inverso aditivo. Dr. Edwin Alfonso Sosa 23

Ejemplos n -12 – 4 = -12 + (- 4) = -16 Cambia a suma Signo cambiado (inverso aditivo) -10 – (-7) = -10 + 7= - 3 Cuando se resuelve un problema con sumas y restas, las sumas y las restas se realizan en orden de izquierda a derecha. 15 – (-3) – 5 – 12 = 15 + 3 + (-5) + (-12) = = (15 + 3) + (-5) + (-12) = 18 + (-5) + (-12) = = (18 + (-5) ) + (-12) = = 13 + (-12) = 1 Dr. Edwin Alfonso Sosa 24

Multiplicación de números reales n Razonamiento Inductivo 4 • 5 = 20 4 • 4 = 16 4 • 3 = 12 4 • 2=8 4 • 1=4 4 • 0=0 = -4 4 • (-1) = ? Dr. Edwin Alfonso Sosa 25

Multiplicación de números reales n Razonamiento Inductivo 4 • (-1) = -4 4 • (-2) = -8 4 • (-3) = -12 4 • (-4) = -16 n De la misma manera -4 • 2 = -8 -4 • 3 = -12 -4 • 4 = -16 Dr. Edwin Alfonso Sosa 26

Multiplicación de números reales n Caso 1: signos iguales. Para multiplicar dos números con el mismo signo, multiplique sus valores absolutos. El producto es positivo. n Caso 2 : signos diferentes. Para multiplicar dos números con signos diferentes, multiplique sus valores absolutos. El producto es negativo. n Ejemplos n n n - 9 • 7= -63 -14 • (-5) = 70 -8 • (-4) = 32 Dr. Edwin Alfonso Sosa 27

División de números reales n El resultado que se consigue al dividir dos números reales se conoce con el nombre de cociente. Para números reales a, b y c, donde b ≠ 0, a/b= c significa que a=b • c. Para ilustrar esto, considere. Dr. Edwin Alfonso Sosa 28

División de números reales n Signos iguales. Para dividir dos números con el mismo signo, deben dividirse sus valores absolutos. El cociente es positivo. n Signos diferentes. Para dividir dos números con signos diferentes, hay que dividir sus valores absolutos. El cociente es negativo. Dr. Edwin Alfonso Sosa 29

FIN ID A División con cero DE n Si 0 se divide entre un DI VI S IO N EN TR E 0 N O ES T A numero diferente de cero, el cociente es 0. n Siempre que se realiza una división, queremos obtener un solo cociente. n ¿Que numero multiplicado por cero resulta en 7? n ¿Que numero multiplicado por cero Dr. Edwin Alfonso Sosa resulta en 0? NINGUNO NUMERO INFINITO DE RESPUESTAS 30

Exponentes enteros positivos n un entero positivo y a un numero real. Entonces el producto de n factores de a esta n Sea dado por Exponente an= a • a … • a. BASE Dr. Edwin Alfonso Sosa 31

Ejemplo: Calculo de expresiones exponenciales n Cuidado (-a )n ≠ -an n (-3)4=(-3)(-3) = 81 n -34= - (3)(3) = - 81 n - (-3)4= - (-3)(-3) = - 81 Dr. Edwin Alfonso Sosa 32

Orden de las operaciones n Si hay paréntesis o corchetes: n Paso 1: Resuelva arriba y debajo de las rayas de fracciones por separado. n Paso 2: Utilice las reglas siguientes dentro de cada conjunto de paréntesis o corchetes. Inicie con el conjunto mas interno y trabaje hacia fuera. Dr. Edwin Alfonso Sosa 33

Orden de las operaciones n Si hay paréntesis o corchetes: n Paso 1: Resuelva arriba y debajo de las rayas de fracciones por separado. n Paso 2: Utilice las reglas siguientes dentro de cada conjunto de paréntesis o corchetes. Inicie con el conjunto mas interno y trabaje hacia fuera. n Si no hay paréntesis o corchetes n Paso 1: aplique todos los exponentes n Paso 2: Haga las multiplicaciones o divisiones en el orden en que aparezcan, trabajando de izquierda a derecha. n Paso 3: Haga las sumas y restas en el orden en que aparezcan, trabajando de izquierda a derecha. Dr. Edwin Alfonso Sosa 34

Propiedades de la suma y la multiplicación de números reales n Para los números reales, a, b y c, se cumplen las siguientes propiedades. n Propiedades de cierre n Si a y b son números reales, entonces a + b y ab son números reales. Dr. Edwin Alfonso Sosa 35

Propiedades de la suma y la multiplicación de números reales n. Propiedades conmutativas a+b=b+a n. Ej. ab = ba 4 + (3 + 9) = 4 + (9 + 3) 4 + 12 = 4 + 12 16 = 16 4(5)=5(4)=20 Dr. Edwin Alfonso Sosa 36

Propiedades de la suma y la multiplicación de números reales n. Propiedades asociativas (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) Ej. 5 + (6 + 8) = (5 + 6) + 8 (5 • 2)3 = 5(2 • 3)=30 Dr. Edwin Alfonso Sosa 37

Propiedades de la suma y la multiplicación de números reales n. Propiedades distributiva de la multiplicación con respecto a la suma a(b+c) = ab + ac (b+c)a = ba + ca n. Ej. n 5(x + y) = 5 x + 5 y Dr. Edwin Alfonso Sosa 38

Propiedades de la suma y la multiplicación de números reales n Propiedades de la identidad n Existe un numero real 0 tal que na + 0 = a y 0 + a = a n Existe un numero real 1, tal que n a • 1= a y 1 • a = a n Ej. 8+0=8 Dr. Edwin Alfonso Sosa 39

Propiedades de la suma y la multiplicación de números reales n Propiedad del inverso aditivo: La suma de un numero real y su opuesto es cero. a + (-a) =0 n Ej. 5 + (-5) =0 n n Propiedad del inverso multiplicativo: El producto de un numero real diferente de cero y su reciproco es 1. n a • 1/a = 1, a ≠ 0 Dr. Edwin Alfonso Sosa 40

Ejercicios n Identifique la propiedad ilustrada en cada una de las siguientes proposiciones. Conmutativa de la suma n 6 + 9 = 9 + 6 n 7 + (2 + 5) = (7 + 2 ) + 5 n 9 • 6 + 9 • 8 = 9 • (6 + 8) Dr. Edwin Alfonso Sosa Asociativa de la suma distributiva 41

Ejercicio b + 2 = 6 Ecuación dada (b + 2) + (-2) = 6 + (-2) Propiedad aditiva de Igualdad b + [2 + (-2)] =4 Propiedad asociativa de la suma b + 0 = 4 Propiedad del inverso aditivo b=4 Propiedad de identidad aditiva Dr. Edwin Alfonso Sosa 42

Aplicaciones n El record de temperatura mas alta , de 134˚F, en Estados Unidos fue registrado en el Valle de la Muerte, California, en 1913. El record de temperatura mas baja fue de – 80 ˚F en Prospect Creek, Alaska, en 1971. ¿Cual es la diferencia entre la temperatura mas alta y la mas baja? n 134 – (-80) = 134 + 80 = 214 n La diferencia es 214 ˚F Dr. Edwin Alfonso Sosa 43

Aplicaciones n El área del rectángulo de la figura puede representarse de dos formas: como el área de un solo rectángulo, o como la suma de dos rectángulos. Encuentre el área de ambas formas. 3 x 2 A 1 A 2 Dr. Edwin Alfonso Sosa 44