Aritmeetiline jada Koostas Margit Nuija Kool Viljandi Paalalinna

Aritmeetiline jada Koostas: Margit Nuija Kool: Viljandi Paalalinna Gümnaasium Maakond: Viljandi Õppeaine: matemaatika Töö teema: aritmeetiline jada Klass: IV kooliaste, 11. klass Juhendas: Toomas Rähn

Aritmeetilise jada mõiste Def. Aritmeetiliseks jadaks nim. arvujada, mille iga liige (alates teisest) võrdub eelneva liikme ja ühe jääva liidetava summaga. NB! Jääv liidetav (jada vahe) - d Esimene liige - a 1 Liikmete arv - n Näide: On antud jada 5, 8, 11, 14, 17, 20. a 1 = 5 d=3 n=6

Üldliikme valem Jada definitsioonist järeldub, et a 2 = a 1 + d a 3 = a 2 + d = (a 1 + d) + d = a 1 + 2 d a 4 = a 3 + d =(a 1 + 2 d) + d = a 1 + 3 d …………………. . an = an-1 + d = …………. a 1 + (n-1) d an = a 1 + (n-1)d

Jada vahe • Kui d > 0, siis aritmeetiline jada on kasvav • Kui d < 0, siis aritmeetiline jada on kahanev • Kui d = 0, siis aritmeetiline jada on konstantne

Näide 1 Leida aritmeetilise jada 1; 5; 9; 13; … kahekümnes liige d = 5 -1 = 4 a 20 = 1 + (20 – 1) · 4 = 1 + 19 · 4 = 77 Vastus: Jada kahekümnes liige on 77.

Näide 2 Kas aritmeetilise jada 8; 5; 2; … mingi liige võib olla – 40? Kui on, siis mitmes? d = -3 an = -40 a 1 = 8 -40 = 8 + (n – 1) ·(-3) -40 = 8 – 3 n + 3 3 n = 51 n = 17 Vastus: Jah, -40 on jada 17. liige.

Näide 3 Kas aritmeetilise jada 8; 5; 2; … mingi liige võib olla 0? Kui on, siis mitmes? d = -3 an = 0 a 1 = 8 0 = 8 + (n – 1) ·(-3) 0 = 8 – 3 n + 3 3 n = 11/3 Vastus: Jadas ei esine liiget 0, sest n Z+.

Näide 4 Aritmeetilise jada seitsmes liige on 15 ja viieteistkümnes liige on 7. Leida üldliikme valem. an = 21 + (n-1) ·(-1) = 21 - n + 1 = 22 - n Vastus: an = 22 - n

Näide 5 Paiguta arvude 18 ja – 10 vahele kolm arvu nii, et need koos antud arvudega moodustaksid aritmeetilise jada viis järjestikust liiget. a 1 = 18 n=5 a 5 = -10 Vastus: 18; 11; 4; -3; -10 an = a 1 + (n – 1) ·d -10 = 18 + (5 – 1) ·d -10 = 18 + 4 d 4 d = -28 d = -7

Aritmeetilise jada summa esimene valem Sn =a 1 + a 2 + … +an Sn =an + an-1 + … +a 1 2 Sn =(a 1 + an) + (a 2 +an-1) + … + an + a 1 2 Sn = (a 1 +an) ·n

Aritmeetilise jada summa teine valem Kuna an = a 1 + (n – 1)·d , siis

Näide 7 Leida esimese 15 paaritu arvu summa Jada on 1; 3; 5, … a 1 = 1 d=2 n = 15 Vastus: Esimese 15 paaritu arvu summa on 225.

Näide 8 Teadaolev vanim ülesanne jadadest, mis on pärit umbes aastast 3000 e. Kr ja leitud Ahmese papüüruselt. Sada mõõtu vilja tuleb jaotada viie inimese vahel nii, et teine saaks niipalju rohkem esimesest, kui palju kolmas saab rohkem teisest, neljas rohkem kolmandast ja viies rohkem neljandast. Peale selle peavad kaks esimest saama 7 korda vähem kolmest ülejäänust. Kui palju vilja tuleb anda igaühele? Kas sa saad selle ülesande lahendamisega hakkama? Vastus: Vili tuleb jaotada järgmiselt:

Aritmeetilise jada liikmete esimene omadus Aritmeetilise jada iga liige (väljaarvatud esimene) on tema naaberliikmete aritmeetiline keskmine. Näide: Olgu meil jada 4; 7; 10; 13; …, siis

Aritmeetilise jada liikmete teine omadus Lõpliku aritmeetilise jada algusest ja lõpust võrdsetel kaugustel asetsevate liikmete summa on võrdne äärmiste liikmete summaga. Näide: Olgu meil jada 1, 5; 9, 13, 17; 21; 25; 29 1 + 29 = 30 5 + 25 = 30 9 + 21 = 30 jne.

Edu teile! Jõudu ja jaksu aritmeetilise jada ülesannete lahendamisel!