ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI LEZIONE N 7 Algebra

ARCHITETTURA DEI SISTEMI ELETTRONICI • • LEZIONE N° 7 Algebra delle commutazioni Funzione AND, OR, NOT Tabella di Verità Forme canoche “SP” e “PS” Passaggi da forma SP a PS e viceversa insieme funzionalmente completo Funzione NAND, NOR, XOR e XNOR A. S. E. 7. 1

Richiami • • • Algebra Booleana Insieme di Elementi Insieme di Operatori Insieme di Postulati Teoremi A. S. E. 7. 2

Algebra delle commutazioni • Elementi • • (2) 0 (logico) Falso Livello logico Basso 0 V • Costanti • Variabili 1 (logico) Vero Livello logico Alto 5 V Possono assumere due valori A. S. E. 7. 3

Definizione di “OR” • Operazione – OR o SOMMA LOGICA • definizione – l’operazione OR è definita dalla tabella x+y x y 0 1 0 0 1 1 A. S. E. x y x+y 0 0 1 1 1 0 1 1 7. 4

Osservazioni 1. x +y è uguale a “ 0” se e solo se x e y sono uguali a “ 0”, altrimenti x +y è uguale a “ 1” 2. Si può estendere a “n” variabili: x 1+x 2 +. . +xn è uguale “ 0” se e solo se x 1, x 2, . . xn sono uguali a “ 0” • La funzione OR corrisponde al concetto: perché un evento si verifica è sufficiente che una sola condizioni sia verificata A. S. E. 7. 5

Definizione di “AND” • Operazione – AND o PRODOTTO LOGICO • Definizione – l’operazione AND è definita dalla tabella x y 0 1 0 0 0 1 A. S. E. x 0 0 1 y 0 1 0 x y 0 0 0 1 1 1 7. 6

Osservazioni 1. x ·y è uguale a “ 1” se e solo se x e y sono uguali a “ 1”, altrimenti x ·y è uguale a “ 0” 2. Si può estendere a “n” variabili: x 1·x 2·. . . ·xn è uguale “ 1” se e solo se x 1, x 2, . . xn sono uguali a “ 1” • La funzione AND corrisponde al concetto: un evento si verifica se e solo se tutte le condizioni sono verificate A. S. E. 7. 7

“NOT” • Operazione – NOT o Complemento Logico , o Negazione, o Inversione • Osservazione – In base alla definizione iniziale si ha x x 0 1 1 0 A. S. E. 7. 8

Riassunto • POSTULATI A. S. E. 7. 9

Verifica P 1 • Le funzioni AND e OR sono chiuse OK – Per qualunque valore degli ingressi le funzioni sono definite – I valori delle uscite appartengono a “B” x+y x x y y 0 1 0 0 1 1 x A. S. E. y 0 1 0 0 0 1 7. 10

Verifica P 2 • “ 0” elemento identità della funzione OR e “ 1” elemento identità della funzione AND • OK – Nella OR per x = 0 (y = 0) le uscite coincidono con y (x) – Nella AND per x = 1 (y = 1) le uscite coincidono con y (x) x+y x x y y 0 1 0 0 1 1 x A. S. E. y 0 1 0 0 0 1 7. 11

Verifica P 3 • Le funzioni OR e AND sono commutative • OK – Le tabelle sono simmetriche rispetto alla diagonale principale x+y x x y y 0 1 0 0 1 1 x A. S. E. y 0 1 0 0 0 1 7. 12

Verifica P 4 • Le funzioni OR e AND sono distributive • • Metodo dell’induzione perfetta OK x y z yz x+y x+z (x+y)(x+z) y+z x(y+z) xy xz xy+xz 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 A. S. E. 7. 13

Verifica P 5 • Il complemento di x deve soddisfare le condizioni • • OK • Metodo dell’induzione perfetta x x x + x x x 0 1 1 0 1 0 A. S. E. 7. 14

Funzione logica (o Boleana) • Una funzione Boleana (completa) è una legge che fa corrispondere un valore logico (0 o 1) di u ad ogni combinazione di valori x 1, …. . , xn. • La funzione f è costituita da variabili logiche, costanti e le tre operazioni logiche fondamentali A. S. E. 7. 15

Osservazioni • Nelle funzioni logiche le parentesi indicano una gerarchia di esecuzione uguale a quella comunemente usata nelle espressioni aritmetiche note • Fra le operazioni logiche AND, OR e NOT esiste la gerarchia: 1) NOT, 2) AND, 3) OR • La gerarchia prima descritta consente di ridurre l’uso di parentesi nelle funzioni logiche A. S. E. 7. 16

Tabella di Verità 1 • Una funzione logica può sempre essere espressa da una tabella che prende il nome di: TABELLA DI VERITÀ (TRUTH TABLE) • Osservazione n • Una funzione di “n” variabili ammette 2 possibili configurazioni • Una funzione di “n” variabili è completamente n descritta da una tabella che ha sulla sinistra le 2 possibili configurazioni degli ingressi e a destra i valori (0 o 1) a secondo del valore della funzione A. S. E. 7. 17

Tabella di verità 2 • Funzione di tre variabili x y z u 0 0 0 f (0, 0, 0) 0 0 1 f (0, 0, 1) 0 1 0 f (0, 1, 0) 0 1 1 f (0, 1, 1) 1 0 0 f (1, 0, 0) 1 0 1 f (1, 0, 1) 1 1 0 f (1, 1, 0) 1 1 1 f (1, 1, 1) A. S. E. 7. 18

Esempio x y z x y x + z (x + y )(x + z ) yz u 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 A. S. E. 7. 19

Passo 1 x y z x y x + z (x + y )(x + z ) yz u 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 A. S. E. 7. 20

Passo 2 x y z x y x + z (x + y )(x + z ) yz u 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 A. S. E. 7. 21

Passo 3 x y z x y x + z (x + y )(x + z ) yz u 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 A. S. E. 7. 22

Passo 4 x y z x y x + z (x + y )(x + z ) yz u 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 A. S. E. 7. 23

Passo 5 x y z x y x + z (x + y )(x + z ) yz u 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 A. S. E. 7. 24

Passo 6 x y z x y x + z (x + y )(x + z ) yz u 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 A. S. E. 7. 25

Fine x y z x y x + z (x + y )(x + z ) yz u 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 A. S. E. 7. 26

Osservazione • La tabella di verità consente di provare la veridicità di una relazione logica, poiché verifica se la relazione è vera per TUTTE le possibili combinazioni dei valori delle variabili • Tale proprietà è stata utilizzata nel • Metodo dell’INDUZIONE PERFETTE A. S. E. 7. 27

Teorema 9 (dimostrazione • 9 a 9 b x y x • y ( x • y) x y x+y 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 0 x y x+y ( x+y) x y x • y 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 A. S. E. 7. 28

Tabella dei Prodotti e delle Somme n=3 n 0 1 x 0 0 y 0 0 2 3 4 5 6 7 0 0 1 1 1 0 0 1 1 z p 0 x • y • z p 0 1 x • y • z p 1 0 x • y • z p 2 1 x • y • z p 3 0 x • y • z p 4 1 x • y • z p 5 0 x • y • z p 6 1 x • y • z p 7 A. S. E. 1 1 s x+y+z x + y + z 1 1 1 x + y + z x + y + z s 0 0 s 1 0 s 2 0 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 0 0 0 7. 29

Definizioni 1 • LETTERALE – Variabile complementata o non complementata presente nella formula • FORMA NORMALE DISGIUNTIVA – Somma di prodotti • FORMA NORMALE CONGIUNTIVA – Prodotto di somme A. S. E. 7. 30

Definizione 2 • MINTERMINE “pi ” è una funzione (prodotto) che vale “ 1” in corrispondenza alla sola configurazione “i ” di valori delle variabili • MAXTERMINE “si ” è una funzione (somma) che vale “ 0” in corrispondenza alla sola configurazione “i ” di valori delle variabili A. S. E. 7. 31

Forma Canonica “Somma di Prodotti” “SP” x y z u 0 0 0 1 p 0 0 0 1 1 p 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 A. S. E. p 3 p 5 p 7 7. 32

Forma Canonica “Prodotto di Somme” “PS” x y z u 0 0 0 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 A. S. E. s 2 s 4 s 6 7. 33

Osservazioni • La legittimità di rappresentare le funzioni nella forma canonica “SP” o “PS” deriva direttamente dalle proprietà delle operazioni OR, AND, NOT • Una stessa funzione logica può essere scritta in molta forme • La manipolazioni delle espressioni booleane si basa sui teoremi A. S. E. 7. 34

Osservazioni • Se l’espressione in esame e funzione di tre variabili • L’espressione di partenza è nella forma canonica PS • L’espressione di arrivo non è nella forma canonica SP, perché i termini di prodotto non sono costituiti da tre letterali A. S. E. 7. 35

Trasformazione SP – PS e PS - SP • Dalla tabella dei prodotti e delle somme n 0 1 x 0 0 y 0 0 2 3 4 5 6 7 0 0 1 1 1 0 0 1 1 z p 0 x • y • z 1 x • y • z 0 x • y • z p 0 1 p 1 1 p 2 1 1 x • y • z 0 x • y • z 1 x • y • z p 3 p 4 p 5 p 6 p 7 A. S. E. 1 1 1 s x+y+z x + y + z x + y + z s 0 0 s 1 0 s 2 0 s 3 s 4 s 5 s 6 s 7 0 0 0 7. 36

Osservazione • Data un’espressine nella forma SP • Si può scrivere come SP complementata dei 2 n-k prodotti non impiegati nell’espressione precedente • Applicando il teorema di De Morgan • Applicando De Morgan si ottiene la forma PS A. S. E. 7. 37

Esempio • Data l’espressione • Si ha S(1) S(6) S(2) S(3) S(0) S(4) A. S. E. S(5) S(7) 7. 38

Osservazioni • Si ha quindi la seguente regola • Passaggio da SP a PS – Applicare il Th di De Morgan al complemento di ciascun mintermine assente nella forma SP – Formare il prodotto dei maxtermini ottenuti • Passaggio da PS a SP – Applicare il Th di De Morgan al complemento di ciascun maxtermine assente nella forma PS – Formare la somma dei mintermini ottenuti A. S. E. 7. 39

Premessa 1 • Osservazioni – le funzioni AND, OR e NOT costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici – In base al teorema di De Morgan si ha: – ovvero la funzione OR si può realizzare con le funzioni AND e NOT quindi: – le funzioni AND e NOT costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici A. S. E. 7. 40

Premessa 2 • Osservazioni – Sempre in base al teorema di De Morgan si ha: – ovvero la funzione AND si può realizzare con le funzioni OR e NOT quindi – le funzioni OR e NOT costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici – le funzioni OR e AND non costituiscono un insieme funzionalmente completo di operatori logici perché non è possibile realizzare la funzione NOT A. S. E. 7. 41

Definizione • Le funzioni NAND e NOR sono definite dalle seguenti tabelle di verità x 0 0 1 1 y 0 1 u 1 1 1 0 x 0 0 1 1 A. S. E. y 0 1 u 1 0 0 0 7. 42

Osservazioni • • • NAND e NOR sono contrazioni di NOT-AND e NOT-OR la funzione NAND costituisce un insieme funzionalmente completo di operatori logici la funzione NOR costituisce un insieme funzionalmente completo di operatori logici A. S. E. 7. 43

Funzioni “complesse” 1 • L’operatore “XOR”, OR ESCLUSIVO è: • Definizione x 0 0 1 y 0 1 0 u 0 1 1 0 A. S. E. 7. 44

Funzioni “complesse” 2 • L’operatore “XNOR”, NOR ESCLUSIVO è: • Definizione x 0 0 1 y 0 1 0 u 1 0 0 1 1 1 A. S. E. 7. 45

Proprietà dello XOR / XNOR A. S. E. 7. 46

Generatore di disparità 1 A. S. E. 7. 47

Generatore di disparità 2 A. S. E. 7. 48

Conclusioni • • Algebra delle commutazioni Funzione AND, OR, NOT Tabella di Verità Forme canoche “SP” e “PS” Passaggi da forma SP a PS e viceversa insieme funzionalmente completo Funzione NAND, NOR, XOR e XNOR A. S. E. 7. 49

Quesiti 1 • Costruire la tabella di verità per le seguenti funzioni. A. S. E. 7. 50

Quesiti 2 • Scrivere le forme canoniche PS e SP per le due tabelle di verità seguenti: x y z f 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 A. S. E. 7. 51

Quesiti 3 • Verificare le seguenti identità A. S. E. 7. 52