Arbres Un arbre est une structure de donnes

Arbres • Un arbre est une structure de données organisées de façon hiérarchique, à partir d’un nœud distingué appelé racine. • Très importante en informatique!. • Arbre de jeux (i. e. , Echecs ), système de fichiers UNIX/Windows, Arbres de tri etc. • Nous étudierons deux types d’arbres : Arbre Binaires de Recherches et Arbres équilibrés 1

Arbres: définitions • Un arbre est un ensemble de Nœuds, reliés par des Arêtes. Entre deux nœuds il existe toujours un seul chemin. noeuds arêtes 2

Arbres: définitions • Les arbres sont enracinés. Une fois la racine définit tous les nœuds admettent un niveau. • Les arbres ont des noeuds internes et des feuilles (nœuds externes). Chaque noeud (à l’exception de la racine) a un parent et admet zéro ou plusieurs fils. racine niveau 0 niveau 1 nœuds internes niveau 2 niveau 3 feuilles parent et fils 3

Arbres binaires • Un Arbre Binaire est un arbre où chaque nœud admet au plus 2 fils. 4

Arbres Binaires: définitions • Nœuds d’un arbre contiennent des clés (mots, nombres, etc) • Arbre Binaire parfait : les feuilles sont toutes situées dans les deux derniers niveaux. Les feuilles du dernier niveau sont toutes à gauche. 14 10 8 7 16 12 9 11 13 15 18 5

Arbres Binaires: représentation par tableaux • Un arbre binaire complet peut être représenté par un tableau A avec un accès en O(1) à chaque noeud: – Mémoriser les neouds séquentiellement de la racine aux feuilles et de gauche vers la droite. – Fils gauche de A[i] est en A[2 i] – Fils droit de A[i] est en A[2 i + 1] – Parent de A[i] est en A[i/2] 6

Arbres Binaires: représentation par tableau 1 14 2 10 4 5 6 8 12 15 9 10 8 11 7 9 11 13 tab A: 3 16 18 7 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 14 10 16 8 12 15 18 7 9 11 13 7

Arbres Binaires: représentation par pointeurs typedef struct n{ int clé; struct n *f. Gauche, *f. Droit; }nœud; typedef nœud * Arbre; 8

Parcours : in. Ordre In. Ordre est décrit réursivement : • Visiter le sous-arbre gauche en In. Ordre • Visiter la racine • Visiter le sous-arbre droit en In. Ordre 9

Parcours : préOrdre PréOrdre est décrit réursivement : • Visiter la racine • Visiter le sous-arbre gauche en PréOrdre • Visiter le sous-arbre droit en PréOrdre 10

Parcours: non-récursif PréOrdre itératif en utilisant une Pile S empiler racine dans S répéter jusqu’à S= v = dépiler S si v <> nil visiter v empiler le fils droit de v dans S empiler le fils gauche de v dans S 11

Parcours: post. Ordre Post. Ordre est décrit réursivement : • Visiter le sous-arbre gauche en Post. Ordre • Visiter le sous-arbre droit en Post. Ordre • Visiter la racine 12

Parcours: level. Ordre Level. Ordre visite les noeuds niveau par niveau depuis la racine: • Peut être décrit facilement en utilisant une File (Comment? ? ) • Parcours appelé “Breadth First Search” (parcours en largeur) dans les graphes 13

Arbre Binaire de Recherche • Un Arbre Binaire de Recherche (ABR) est un arbre binaire avec les propriétés suivantes : – La clé associée à un noeud est supérieur aux clés des nœuds de son sous-arbre gauche – La clé associée à un noeud est inférieur aux clés des nœuds de son sous-arbre droit 14

Arbre Binaire de Recherche: Exemples racine 14 C A D 10 racine 8 16 11 15 18 14 10 8 16 11 15 15

Arbre Binaire de Recherche • ABR est un arbre avec la propriété suivante : Clé. f. Gauche < Clé. parent < Clé. f. Droit NOTER! Le parcours In. Ordre visite les clés dans l’ordre croissant. void in. Ordre(Arbre racine) { in. Ordre(racine->f. Gauche) print(racine->key) in. Ordre(racine->f. Droit) } 16

ABR: In. Ordre Exemple: In. Ordre visites : 14 10 8 16 11 15 18 (8) (10) (11) (14) (15) (16) (18) 17

ABR : Recher un élément Soit un ABR : P G D Problème: recher un noeud avec une clé x ? 18

ABR : Recher un élément recher(racine, x) Exemple: comparer x à la clé de racine: 14 - si x = clé return - si x < clé => cher dans G - si x > clé => cher dans D cher de la même manière dans G ou D 10 8 16 11 15 x=8 (oui) x=17 (non) 19

ABR : Recher un élément bool search. ABR(Arbre racine; type. Cle clé){ if (racine==NULL) return false if (racine->clé==clé) return true; else if (key < racine->clé) return search. ABR(racine->f. Gauche, clé); else return search. ABR(racine->f. Droit, clé) } Donner une version itérative ? 20

ABR : Ajout d’un élément Comment ajouter une clé? La même procédure que search. ABR s’applique: Déterminer la position d’insertion par search. ABR. Ajouter la nouvelle clé si la recherche échoue. Exemple: 10 8 3 2 ajout 4? 9 4 5 21

Construction d’un ABR Exemple: ajouter C A B L M (dans l’ordre!) 2) ajouter A 1) Ajouter C 3) ajouter B C C C A A C 4) Ajouter L 5) Ajouter M L A B B C L A B M 22

Construction d’un ABR L’ABR est-il unique pour une séquence de lettres A B C L M ? NON! différentes séquences donnent différents ABR Ajout de : A B C L M Ajout de : C A B L M A C B L A C L B M M 23

Trier avec un ABR Soit un ABR, peut-on afficher les clés dans l’ordre? Visiter l’ABR avec un parcours In. Ordre: - visiter le sous-arbre gauche - afficher racine - visiter le sous-arbre droit Comment trouver le minimum? Comment trouver le maximum? Example: C L A B M In. Ordre affichage: A B C L M 24

ABR : supprimer un élément Pour supprimer un nœud contenant x, recher x, une fois trouvé appliquer l’un des trois cas suivants: CAS A: x est une feuille p p q r x supprimer x On obtient un ABR 25

ABR : supprimer un élément Cas B: x est un nœud interne avec un seul sous-arbre r r x q L q suppr x L On obtient un ABR 26

ABR : supprimer un élément Cas C: x est un nœud interne avec 2 sous-arbres r r x u suppr x q s Z u W Z t s q W t propriété ABR est conservé 27

ABR : supprimer un élément Cas C suite: … ou encore comme suit q < x < u r Þ q est inférieur au plus petit élément de Z Þ r est supérieur au plus grand élément de W q W t u s Z D’autres façon ? 28

ABR : Compléxité de recher • Quelle est la compléxité de search. ABR ? • Dépend de : – la clé x – des autres données – De la forme de l’arbre Analyse de la compléxité : On est intéréssé par la compléxité dans le meilleur cas, pire cas et 29 en moyenne

ABR : Compléxité de recher niveau 0 niveau 1 niveau 2 niveau 3 (h =3) • hauteur d’un ABR = niveau max • hauteur d’un noeud h(x) = 0 si x est la racine h(x) = 1+ h(y), y = pere(x) • hauteur d’un ABR B : h(B) = max{h(x), x nœud de B} 30

ABR : Compléxité de recher Si tout les nœuds de l’arbre Si tout les nœuds existent sauf existent : ABR plein ceux du dernier niveau : niveau-min ABR 31

ABR : Compléxité de recher Théorème: h+1 Un ABR plein (complet) de hauteur h a 2 - 1 noeuds Preuve: Par induction Cas de base: un arbre de hauteur 0 a 1 nœud (racine) Hypothèse inductive: Supposant qu’un ABR de hauteur h a h+1 2 - 1 noeuds 32

ABR : Compléxité de recher Etape d’induction: Connecter 2 ABR de hauteur h pour construire un ABR de hauteur h+1. On a besoin d’ajouter un noeud supplémentaire racine h+1 G D h Par hypothèse inductive le nouveau nombre de noeuds est h+1 h+2 (2 - 1) + (2 -1) + 1 = 2 - 1 ……CQFD! h h+1 Ou encore : n = 1+2+…+2 = 2 - 1 33

ABR : Compléxité de recher Lemme 1: pour un ABR ayant n nœud et de hauteur h : log 2 n <= h <= n -1 Remarque: Un ABR parfait avec n noeuds a pour hauteur h = log n 2 car h h+1 2 <= n <= 2 - 1 34

ABR : Compléxité de recher Conséquence : pour un ABR plein avec N noeuds la compléxité de search. ABR: meilleur cas ………… O(1) Pire cas ………… O(log N) en moyenne ………… ? ? ? 35

ABR : Compléxité de recher Þ compléxité en moyenne pour une recherche dans un ABR plein est une fonction logarithmique du nombre de nœuds de l’arbre Complexité en moyenne pour des ABR quelconque est approximativement 39% plus chère que la recherche dans un ABR plein pour le même nombres de nœuds : 36

ABR : compléxité de recher • Maintenant que nous connaissons la compléxité de search. ABR que peut-on dire des autres opérations? Insertion ………… O(log N) Suppression ………… O(log N) Trouver le Min ………… O(log N) Trouver le Max ………… O(log N) Tri ABR = ………… O(N log N) Pourquoi? Idée: ABR tri = (Construction de l’ABR : N insertions) 37 + (Parcourir ABR)

ABR : Compléxité de recher • En résumé, il est nécessaire d’avoir un ABR plein ou niveau-min ABR garder un arbre le plus équilibré possible à tout moment (Arbre AVL) 38

Arbre AVL • Arbre AVL (Adelson-Velskii et Landis): – Le meilleur ABR maintenant à tout moment un arbre raisonnablement équilibré. – Idée : si l’insertion ou la suppression provoque un désiquilibre de l’arbre, rétablir l’équilibre. – Toutes les opérations insertion, suppression, … sur un arbre AVL avec N noeuds en O(log N) (en moyenne et dans le pire cas!) 39

AVL Trees Arbre AVL (propriété): c’est un ABR tq. la différence des hauteurs du sous-arbre gauche et droit de la racine est d’au plus 1 et les sous-arbres gauche et droit sont des AVL Exemple: 40

Arbres AVL Pour plus lisibilité , remplaçer les clés associées aux nœuds en utilisant /, , -, // et \ pour représenter le facteur d’équilibre d’un nœud : / : léger déséquilibre à gauche h(G) = 1 + h(D) : léger déséquilibre à droite h(D) = 1 + h(G) - : équilibré h(D) = h(G) \ : déséquilibre droit \ h(D) > 1 + h(G) // : déséquilibre gauche // h(G) > 1 + h(D) 41

Arbres AVL Exemples : - / - - // / - - / \ - Les clés ne sont pas montré. On suppose qu’elles satisfassent la propriété ABR - 42

Arbres AVL Un arbre AVL n’est ni un arbre plein ni un arbre niveau-min. Insertions et suppression sont éffectuées de la même manière que pour les ABR. Après chaque opération, on a besion de vérifier la propriété d’AVL!. Car l’arbre peut ne plus l’être! / - // - - / nouveau noeuds / - - h diffère de 2! 43

Arbres AVL Après une insertion, si l’arbre est un AVL alors on ne fait rien. Comme sur l’exemple ci-dessous : - - - / - / - - / - - - 44

Arbres AVL / - - - - - - Quand une insertion provoque le déséquilibre de l’arbre? 45

Arbres AVL : insertion d’un noeud L’arbre devient déséquilibré si l’élément ajouté est le descendant gauche (droit) d’un nœud avec un léger déséquilibre gauche (droit). Alors la hauteur de ce sous-arbre augmente. Dans les figure suivantes, on note : U: nouveaux nœuds pouvant déséquilibrer l’arbre B: nouveaux laissant l’arbre équilibré 46

Arbres AVL: Insertion - / - - - / B B UU UU - - - - - BBBB U U UUU 47

Arbres AVL: Insertion Noter que l’insertion d’un nœud peut provoquer des déséquilibre sur plusieurs nœuds. Déséquilibre par insertion / - - // / - / nouveau noeud - - Le plus jeune ancêstre du nœud inséré où la propriété AVL est violée 48

Arbres AVL: Insertion Supposons que le sous-arbre le plus haut est celui de gauche et qu’un nœud est inséré pour augmenter la hauteur de ce sous-arbre. L’arbre obtenu est déséquilibré Rétablir un arbre AVL en utilisant des rotations => Soit A le plus jeune ancêtre où apparaît le déséquilibre A Dans l’arbre AVL, avant / l’insertion, T 1, T 2 et T 3 B ont une hauteur h h T 3 Le même raisonnement peut être T 1 h h T utilisé si l ’arbre le plus haut est celui de droite 2 49

Arbres AVL: Insertion Cas I: un nouveau nœud est inséré dans T 1 Arbre Original A B h+2 h+1 T 1 p h Rééquilibrer par rotation droite: P < B < q < A < r => => propriété ABR maintenue! // / h q h B r T 2 T 3 - p T 1 q h+1 h T 2 A r h T 3 50

Arbres AVL: Insertion Cas I: rotation Droite ou rotation Gauche void RD(Arbre *a){ } void RG(Arbre *a){ Arbre aux= (*a)->fg; Arbre aux= (*a)->fd; (*a)->fg = aux->fd; (*a)->fd = aux->fg; aux->fd= *a; aux->fg= *a; *a= aux; } 51

Arbres AVL: Insertion Cas II: nouveau noeud inséré dans T 2 A B T 1 - p h T 2 a q h-1 / C - On a 3 cas a considérer : 1 - nouveau nœud en C 2 - nouveau nœud ajouté à T 2 a 3 - nouveau nœud ajouté à T 2 b s T 3 h s h-1 T 2 b Les 3 cas sont similaires. On considérera le cas 2. 52

Arbres AVL: Insertion A B T 1 p h T 2 a q h-1 // C / s Cas II - T 2 a : Rééquilibrage de l’arbre AVL avec une double rotation (gauche sur B et ensuite droite sur A) T 3 h r h-1 T 2 b Cas II - T 2 b : Insertion en T 2 b => rotation droite sur B et ensuite gauche sur A 53

Arbres AVL: Insertion Rotation gauche sur B A C // B p T 1 h q // Cas II - T 2 a : s - r h T 3 B - h-1 T 2 b h-1 T 2 a Rotation droite sur A p T 1 h q C r T 2 a. T 2 b h-1 La propriété ABR est maintenue! h-1 A s h 54 T 3

Arbres AVL: Insertion Cas II: nouveau noeud inséré dans T 2 Cas II - T 2 a : Cas II - T 2 b : void RGD(Arbre *a){ void RDG(Arbre *a){ RG( &((*a)->fg) ); RD( &((*a)->fd) ); RD(a); RG(a); } } 55

Arbres AVL: Insertion • Nous avons défini un arbre “équilibré” et nous avons aussi montré comment insérer dans l’arbre en utilisant les algorithmes ABR de manière à maintenir l’équilibre (propriétés AVL) et la propriété ABR. 56

Arbre AVL: Insertion (Algorithme) • Propriété : Toute adjonction dans un AVL nécessite au plus une rotation pour le rééquilibrer. T • Supposons que x soit ajouté en tant que feuille dans T. C ’est uniquement sur le chemin de la racine à x que vont intervenir des rotations éventuelles. • On considère sur ce chemin le nœud le plus bas dont le déséquilibre avant adjonction est non nul, et l ’on note A le sous arbre enraciné en ce nœud • De par la nature des rotations, la hauteur de A n ’est pas modifiée par l ’adjonction de x (y compris en prenant compte une rotation) => Dans l ’AVL résultant de l ’adjonction de x, le père de A et tous ses ascendants ont exactement le déséquilibre qu ’ils avaient avant l ’adjonction de x, il n ’y a donc jamais besoin d ’effectuer de rotation « audessus » de A, ni de mise à jour du déséquilibre. 1 A Y 57

Arbre AVL: Insertion (Algorithme) • Algorithme d ’adjonction dans un AVL Pour conserver la valeur du déséquilibre en chaque nœud de l ’arbre, on utilisera les déclarations suivantes. typedef struct n { int val; int deseq; struct n * fg, *fd; } nœud; typedef nœud *AVL; Principe : Lors de la descente dans l ’arbre à la recherche de la place où l ’on doit ajouter x, on mémorise le dernier sous-arbre A pour lequel le déséquilibre est 1. Après avoir ajouté x à la feuille Y, c ’est uniquement sur le chemin 58 de A à Y qu ’il est nécessaire de modifier les valeurs du déséquilibre.

Arbre AVL: Insertion (Algorithme) Void ajouter. AVL (AVL *t, int x){ AVL y, a, p, aa, pp; /* création du nœud à ajouter */ y = nouveau(nœud); y->val =x; y->deseq =0; y->fg=y->fd=NULL; If (*t==NULL) *t=y; else { a=*t; aa=NULL; p=*t; pp=NULL; /*aa et pp sont les pères de a et p*/ while(p!=NULL){/*descente mémorisation du dernier nœud dont le déséquilibre est 1*/ if(p->deseq<>0){a=p; aa=pp; } pp=p; if(x<=p->val) p=p->fg; else p=p->fd; } /*adjonction*/ if (x<=pp->val) pp->fg=y; else pp->fd=y; 1 2 59

Arbre AVL: Insertion (Algorithme) 1 2 /*modification du déséquilibre sur le chemin de A à Y*/ p=a; while (p<>y) if (x<=p->val){p->deseq=p->deseq+1; p=p->fg; } else {p->deseq=p->deseq-1; p=p->fd; } /* rééquilbrage*/ switch (a->deseq){ case 0: case 1: case -1: return; case 2 : switch (a->fg->deseq){ case 1: { RD (&a); a->deseq=0; a->fd->deseq=0; break; } case -1: { RGD(&a); switch (a->deseq){ case 1: {a->fg->deseq=0; a->fd->deseq=-1; break} case -1: {a->fg->deseq=+1; a->fd->deseq=0; break} case 0: {a->fg->deseq=0; a->fd->deseq=0; break} /*a=y*/ } a->deseq=0; break; } } 60 case -2 : /* situation symétrique. . . */ }

Arbre AVL: Insertion (Algorithme) If(aa=NULL) *t=a; else if (a->val<=aa->val) aa->fg=a; else aa->fd=a; 1 2 } } 61

Arbre AVL: suppression • La réorganisation de l ’arbre peut nécessiter plusieurs rotations successives. T -1 On veut supprimer 26, on le remplace par 24, cette suppr diminue la hauteur du sous-arbre de racine 22 et le sous-arbre de racine 16 est alors trop déséquilibré. 26 1 1 16 50 1 -1 1 40 22 10 0 20 23 -1 E B A 24 0 D C On le réorganise par une rotation droite, mais cela accentue le déséquilibre du niveau immédiatement supérieur et il faut faire une rotation droite gauche en 24. Les rotations peuvent ainsi remonter en cascade jusqu ’à la racine de l ’arbre. => 1. 5 log 2 n rotations. => la suppression est en O(log 2 n) 62

Arbre AVL: suppression • L ’arbre n ’est plus un AVL T -1 24 2 1 16 50 1 40 22 10 0 20 23 0 E B A D C On distingue différents cas… 63

Arbre AVL: suppression • Cas I: Cas II: T T +1 A 0 B • Rien à faire, car la hauteur de l’arbre n’a pas été modifié • Avec -1 même situation A B • Ici la hauteur du sous-arbre va évoluer(-1) localement : aucun déséquilibre n ’est apparu, au contraire, le sous arbre devient équilibré. Des déséquilibre peuvent 64 apparaître plus haut!

Arbre AVL: suppression • Cas III: T +2 A B Ici la hauteur du sous-arbre n’a pas évolué mais le déséquilibre est passé à 2 : il faut intervenir; on distingue la différents cas de figure qui sont liées au fils gauche : 65

Arbre AVL: suppression • Cas III. 1: T T RD(T) q -1 q +2 p +1 A 0 C A p B C B Il y a arrêt du traitement ici, puisque : • le sous-arbre est équilibré • sa hauteur n’a pas été modifiée (il est donc inutile de propager le résultat vers le haut) 66

Arbre AVL: suppression • Cas III. 2: T RD(T) q p 0 q +2 p 0 A -1 B C A T C B Le sous-arbre est rééquilibré, mais la hauteur a été modifié il faut remonter l ’information au dessus de T pour procéder éventuellement à des rééquilibrage => appliquer le même principe que celui qui vient d ’être appliqué en considérant I, II et les différents cas de III. 67

Arbre AVL: suppression • Cas III. 3: T T RD(T) r q +2 p -1, 0 D -1, 0, +1 B r 1, 0 q A 0 A B C D C Le sous-arbre est rééquilibré, mais sa hauteur a diminué de 1 => remonté de l ’information comme en III. 2 68

Arbre AVL: suppression Principe de l ’algorithme : – Réorganisation de l ’arbre de la feuille supprimée jusqu ’à la racine de l ’arbre avec éventuellement des rotations (on s’arrête pour les cas I ou III. 1) • recalcul des déséquilibres occasionnés par la suppression et éventuelle exécutions des rotations nécessaires du fait de nouveaux déséquilibres • la propagation continue tant que l ’arbre demeure déséquilibré lors de la remontée Au pire cas le nombre de rotation est log 2 n 69

Arbres AVL : analyse de compléxité Soit T(n) la compléxité de l’insertion d’un nœud dans un arbre AVL. Quelle est la meilleur structure d’arbre AVL possible? – Arbre plein T(n) = O(log n) 70

Arbres AVL : analyse de compléxité Le pire cas d’arbres AVL qu’on peut rencontrer sont les AVL ayant la partie gauche (ou droite) en léger déséquilibre pour tous les nœuds. / / / - - / - - 71

Arbres AVL : analyse de compléxité • Quelle est la hauteur maximale d’un AVL avec N noeuds? • Quelle est le plus petit nombre Nh de noeuds d’un AVL avec une hauteur h : Nh = 1 + Nh-2 Chacun est le plus petit arbre avec les 72 tailles respectives

Arbres AVL : analyse de compléxité • La hauteur d’un arbre AVL avec n nœuds est au plus égale à 1. 44 log 2 (n+2). • La hauteur d’un arbre binaire avec n noeuds est au moins égale à log 2 (n+1) <= height <= 1. 44 log 2 (n+2) 73

Arbres AVL : analyse de compléxité • Soit Nh = min # noeuds d’un arbre AVL avec une hauteur h. • N 0 = 0. • N 1 = 1. • Nh, h > 1 • • • G et D sont des arbres AVL. La hauteur de l’un est h-1. G D La hauteur de l’autre est h-2. Le sous arbre ayant une hauteur h-1 à Nh-1 noeuds. Le sous arbre ayant h-2 à Nh-2 noeuds. alors, Nh = Nh-1 + Nh-2 + 1. 74

Arbres AVL : analyse de compléxité Séquence de nombre de Fibonacci • F 0 = 0, F 1 = 1. • Fi = Fi-1 + Fi-2 , i > 1. • N 0 = 0, N 1 = 1. • Nh = Nh-1 + Nh-2 + 1, h > 1. • Nh = Fh+2 – 1. • Fi ~ fi/ . 5 1 é 1+ 5 ù · Fi » ê ú 5ë 2 û i 75

Arbres AVL : analyse de compléxité 1 é 1+ 5 ù Nh » ê ú 5ë 2 û h+3 Þ h » 1. 44 log 2 Nh Þ h » 1. 44 log 2 N Þ Toutes les opérations AVL sont en O(log 2 N) 76

Arbres 2. 3. 4 • Pour éviter les cas d ’arbres de recherche dégénérés, on peut aussi faire varier le nombre de directions de recherche à partir d ’un nœud. • Définition générale : Un arbre de recherche est un arbre général étiqueté dont chaque nœud contient un k-uplet d’éléments distincts et ordonnées (k=1, 2, 3…). Un nœud contenant les éléments x 1< x 2 …<xk a k+1 sous-arbres, tels que : – tous les éléments du premier sous-arbre sont inférieurs ou égaux à x 1 – tous les éléments du ième sous-arbre (i=2, …, k) sont strictement supérieurs à xi-1 et inférieurs ou égaux à xi – tous les éléments du (k+1)ième sous-arbre sont strictement 77 supérieurs à x

Arbres 2. 3. 4 15 4 10 13 1 3 15 2 -noeud 7 8 11 12 1 3 3 -noeud 30 40 14 20 28 35 50 40 4 10 13 4 -noeud Définition : Un arbre 2. 3. 4 est un arbre de recherche dont les nœuds sont de trois types, 2 -nœud, 3 -nœud, 4 -nœud, et dont toutes les feuilles sont situées au même niveau 78

Arbres 2. 3. 4 • la hauteur reste logarithmique par rapport au nombre de nœuds – algos de rééquilibrages qui maintiennent un arbre 2. 3. 4 après ajout ou suppr en effectuant une suite de rotations sur chemin de la racine à une feuille • O(log n) pour recherche, ajout et suppression • implantation efficace sous la forme d’arbres binaires de recherches bicolores 79

Arbres 2. 3. 4 Propriété : La hauteur h(n) d ’un arbre 2. 3. 4 contenant n élément est en (log n). Plus précisément, on a l’encadrement suivant : log 4(n+1) h(n)+1 log 2(n+1) Preuve : on considère les arbres 2. 3. 4 extrémaux: – contenant le moins d’éléments : (que des 2 -nœuds) • puisque toutes les feuilles sont au même niveau, le nombre de nœuds : 20+ 21+. . . 2 h= 2 h+1 -1 – contenant le plus d’éléments : (que des 4 -nœuds) 40+ 41+. . . 4 h= 4 h+1 -1 on en déduit qu ’un arbre 2. 3. 4 contenant n nœuds et de hauteur h(n) : 2 h(n)+1 -1 <= n <= 4 h(n)+1 -1 d’où l’on tire l ’encadrement de la hauteur 80

Arbres 2. 3. 4 Algorithme de recherche (principe) Soit M un arbre 2. 3. 4, Soit x un élément à recher dans M. • x est comparé avec le(s) éléments x 1, . . , xi (i [1. . 3]) de la racine de M – – si j [1. . i] tq. X= xj alors trouvé si x x 1 => recherche dans le premier sous-arbre de M si xj <x<xj+1 (j [1. . i-1] ) => recherche dans la (j+1)ième sous-arbre de M si x >xj => recherche dans le dernier sous-arbre de M • si la recherche se termine sur une feuille qui ne contient pas x => x M Exercice Implanter cet algorithme, • on utilisera les déclarations suivantes : typedef struct n { int n /* nombre de pointeurs */ struct n * s. Arbre[4]; /* sous arbres */ int elements[3]; /* les éléments */ } nœud; typedef nœud * Arbre 234; • Refaire le même exercice en utilisant le type union 81

Arbres 2. 3. 4 : Recherche typedef struct n { int n; /* nombre de pointeurs */ struct n * s. Arbre; /* sous arbres */ int *elements; /* les éléments */ } nœud; typedef nœud * Arbre 234; void ELEMENT (int x; Arbre 234 A ) { int pos ; if (A ==NULL ) return 0; else { pos = position (x, A) ; if ( (x == A->elements [ pos ] ) ) return 1; else return ELEMENT (x, A->s. Arbre [ pos ] ) ; } } int position (int x; Arbre 234 A) /* plus grand pos tel que A->elements[pos] £ x */ { int pos, trouve =0; for (pos=0; pos<A->n && !trouve; pos++){ trouve = (x<= A->elements[pos]); } return pos; } 82

Arbres 2. 3. 4 Adjonction d ’un élément L’adjonction d ’un nouvel élément ne pose problème que si la feuille qui doit le recevoir contient déjà 3 éléments. Dans ce cas, il faut ajouter un nouveau nœud à l ’arbre et le réorganiser. Adjonction avec éclatement en remonté : On ajoute successivement 4, 35, 10, 13, 3, 30, 15, 12, 7, 40, 20, 11, 6 M M M 4 4 35 4 10 35 Ce nœud ne peut plus contenir de nouveau éléments. On remarque du point de vue recherche, M est équivalent à l ’arbre M binaire : 10 4 35 Cet arbre est un arbre 2. 3. 4, on peut y ajouter de nouveaux éléments : 13, puis 30 83

Arbres 2. 3. 4 M 10 13 35 M 10 3 4 13 35 10 3 4 13 30 35 f L ’ajout de 15 provoque l ’éclatement de la feuille f en deux 2 -nœuds contenant respectivement le plus petit et le plus grand élément de f. L ’élément médian 30 doit être ajouté au nœud père de f, il y a alors de la place pour 15 dans le même nœud que 13 qui devient alors un 3 noeud M 3 4 M 10 30 13 15 35 3 4 7 10 30 12 13 15 35 40 84

Arbres 2. 3. 4 L ’ajout de 20 entraîne un éclatement de la feuille contenant 12, 13 et 15 M M 10 13 30 3 4 7 12 15 20 10 13 30 f 35 40 3 4 7 11 12 15 20 35 40 L ’adjonction de 6 provoque l ’éclatement de la feuille f, la remonté de 4 fait éclater à son tour la racine de l ’arbre en 2 -noeuds M 13 4 10 3 6 7 11 12 30 15 20 35 40 => les éclatements peuvent remonter en cascade sur toute la hauteur de 85 l ’arbre.

Arbres 2. 3. 4 • Pour éviter des éclatements de bas en haut, il suffit de travailler sur des arbres qui ne contiennent jamais deux 4 -nœuds qui se suivent. Dans ce cas toute adjonction provoque au plus un éclatement. • Ceci peut être réalisé en éclatant les 4 -nœuds à la descente : Lors de la recherche de la place de l ’élément à ajouter, on parcourt un chemin à partir de la racine jusqu ’à une feuille; seuls les 4 -nœuds de ce chemin risquent d ’éclater suite à l ’adjonction. • On prévient ce risque en les faisant éclater, au fur et à mesure de leur rencontre avant de réaliser l ’adjonction. (Ceci provoque parfois des éclatements inutiles) 86

Une représentation des arbres 2. 3. 4 : les arbres bicolores • Définition : Un arbre bicolore est un arbre binaire de recherche dont les nœuds portent une information supplémentaire (rouge et noir). • Les 4 -nœuds et 3 -nœuds sont transformé en arbre binaire de recherche. b a p 0 a b c p 1 p 2 p 3 b a c p 0 p 1 p 2 p 3 • Double trait si le lien appartient à un nœud de l ’arbre 2. 3. 4 (lie des nœuds jumeaux) • On peut aussi représenter par un double cercle les nœuds vers lesquels « pointent » des doubles traits b a b c p 0 p 1 p 2 a p 3 c p 0 p 1 p 2 p 3 87

Une représentation des arbres 2. 3. 4 : les arbres bicolores • Pour les 3 -nœuds, il existe 2 transformations possibles a p 0 b p 1 a Penché à droite p 2 p 1 p 2 b p 0 p 1 Penché à gauche b a a b p 0 p 2 p 1 b b a p 0 p 1 a a p 2 p 0 b p 0 p 2 p 1 p 2 b p 2 a p 0 p 1 • Les deux représentations pourront exister à la suite de rotations • La hauteur de l’arbre bicolore obtenu par ces transformations est au plus 2*la hauteur de l’arbre 2. 3. 4 initial, augmentée de 1. • => Tout arbre bicolore associé à un arbre 2. 3. 4 contenant n éléments a une hauteur de l’ordre O(log n) 88

Arbres 2. 3. 4 /Arbres bicolores 12 45 8 3 5 20 25 40 15 10 50 60 22 24 30 35 38 43 48 55 59 63 65 Représentation en arbre bicolore ? 45 12 50 25 8 3 20 10 5 15 40 24 22 60 48 35 30 59 43 38 63 65 55 89

Arbres 2. 3. 4 /Arbres bicolores • On simule l ’adjonction avec éclatement à la descente dans un arbre 2. 3. 4 • Eclater un 4 -nœud revient à inverser les couleurs des éléments de ce nœud b a b c p 0 p 1 p 2 a p 3 c p 0 p 1 p 2 p 3 • Ceci peut cependant faire apparaître deux nœuds rouges consécutifs, ce qui doit être évité si l ’on veut conserver la propriété de hauteur logarithmique => utilisation de transformations locales : rotations 90

Arbres 2. 3. 4 /Arbres bicolores Plusieurs situations possibles 1) Le 4 -nœud à éclater est attaché à un 2 -nœud => une simple inversion de couleur suffit a a 91

Arbres 2. 3. 4 /Arbres bicolores 2) Le 4 -nœud , E, à éclater est attaché à un 3 -nœud : 3 cas lorsque le 3 -nœud est penché à droite 3 cas lorsque le 3 -nœud est penché à gauche a) E est premier fils du 3 -nœud => on inverse les couleurs des éléments du 4 -noeud a b a a b a b b 92

Arbres 2. 3. 4 /Arbres bicolores b) E est second fils du 3 -nœud => une inversion de couleurs entraîne une mauvaise disposition des éléments jumeaux a, et b => rotation droite-gauche au niveau du nœud contenant a a b RDG a a b b a b a b 93

Arbres 2. 3. 4 /Arbres bicolores c) E est troisième fils du 3 -nœud => rotation gauche au niveau du nœud contenant a a b a RG a b b b a b 94

Arbres 2. 3. 4 /Arbres bicolores Algorithme d’adjonction : • Descendre à partir de la racine à la recherche de la feuille où insérer l’élément • Sur le chemin, lorsqu’un nœud A a ses deux fils rouges on inverse les couleurs de A et de ses fils : si de plus le père de A est lui aussi rouge, on fait une rotation au niveau du grand-père de A avant de poursuivre la descente. • L’adjonction d ’un nouvel élément se fait toujours dans une feuille qui devient un nœud rouge, puisque le nouvel élément est ajouté en tant que jumeau; dans le cas où le père du nœud ajouté est rouge, mais n ’a pas de frère rouge, il faut effectuer une rotation comme en b) 95

Arbres 2. 3. 4 /Arbres bicolores Exercice : Écrire l’algorithme d’adjonction en utilisant le type suivant : typedef enum{blanc, rouge} couleur; typedef struct bn{ couleur coul; int val; struct bn * fg, *fd; } Bnoeud; typedef Bnoeud * Bicolore; 96

Recherche externe • Grandes collections d ’éléments stockés sur mémoire secondaire paginée. • Le nombre d ’accès à la mémoire secondaire est prépondérant => minimiser le nombre de transferts de pages • B-Arbres : – généralisation des arbres 2. 3. 4 97

Recherche externe : B-arbres Un B-arbre d ’ordre m est • un arbre binaire de recherche formé de nœuds qui peuvent chacun contenir jusqu’à 2 m éléments; • chaque nœud est dans une page différente du support externe et • la complexité des algos de recherche, adjonction et suppression d ’un élément parmi n, compté en nombre d ’accès à la mémoire secondaire, est en O(logm n) 98

B-arbres Un B-arbre d ’ordre m est un arbre binaire de recherche dont – toutes les feuilles sont située au même niveau – tous les nœuds, sauf la racine, sont des k-nœuds avec k [m+1. . 2 m+1] – la racine est un k-nœud avec k [2. . 2 m+1] 99

B-arbres Exemple 25 6 10 20 1 2 3 4 7 8 30 40 13 14 15 18 22 24 26 27 28 32 35 38 41 42 44 46 Exemple de B-arbre d’ordre 2 100

B-arbres Dans la réalité m est choisi de manière à ce qu ’un nœud corresponde au contenu d ’une page. Exemple : – m=250 => un arbre de hauteur 2 peut contenir plus de 125 millions d ’éléments • 500 éléments à la racine • 500 *501 (environ 25*104) éléments dans les nœuds de profondeur 1 • 5012 *500 (environ 125*106) éléments dans les nœuds de profondeur 2 => Dans les B-arbres, les niveaux les plus bas de l ’arbre contiennent la quasi-totalité des éléments Algorithmes de recherche, d ’adjonction et de suppression => généralisation des algorithmes pour les arbres 2. 3. 4 101

Recherche externe : Hachage dynamique • Le tableau de hachage est remplacé par un index en mémoire centrale • Cet index est un arbre binaire de recherche dont les feuilles contiennent des adresses en mémoire secondaire Exemple : Adjonction successive par hachage dynamique des éléments E, X, T, F, R, N, C, L, S, G, B valeurs de hachage : h(E)=00101, h(X)= 11000, h(T)= 10100, h(F)=00110, h(R)=10010, h(N)=01110, h(C)=00011, h(L)=01100, h(S)=10011, h(G)=00111, h(B)=00010 102 •

• Recherche externe : Hachage dynamique Exemple (suite) : En supposant que les pages en mémoire secondaire peuvent contenir 4 éléments. R Index en mémoire centrale 0 0 E F C 1 N L 0 X T R E F C G 0 0 X T R B 1 0 0 1 N L 1 E F N C X T R E F S, G 1 1 N, C E X T F Pages en mémoire secondaire L 0 X T R S 0 C B 1 1 1 E F G N L X T R S 103