Arbeit mit Beweisen Humboldt Universitt zu Berlin Institut

Arbeit mit Beweisen Humboldt Universität zu Berlin Institut für Mathematik HS Logische Grundlagen des Mathematikunterrichts Dozent: Hr. Krausche Referentin: Birte Wulf

Gliederung 1. Beweise in der Schule 2. Beweise im Rahmenlehrplan 3. Schritte zur Entwicklung von Fähigkeiten in Beweisen 4. Heuristik 5. Möglichkeiten der Überprüfung des Beweisverständnisses

3. Schritte zur Entwicklung von Fähigkeiten in Beweisen Beispiel: • „Setze zwischen die Zahlen 6 und 9 das richtige Zeichen (<, >, =) und begründe deine Antwort!“ • 6 < 9 weil „ich habe sechs blaue und neun rote Stäbchen. Wenn ich blaue und rote paarweise zusammenlege, bleiben rote Stäbchen übrig. Also habe ich weniger blaue als rote Stäbchen. Wenn ich aber noch drei blaue dazu lege, habe ich genauso viele rote wie blaue. “ • 6 < 9, 6+3=9 • Def. : a<b, wenn eine von Null verschiedene Zahl c (c≠ 0) existiert, so dass gilt: a + c = b. In diesem Fall ist c = 3 und somit die Existenz eines c bewiesen, womit a<b mit a=6 und b=9.

Propädeutik des Beweisens: - Die Gewohnheit sich bei Begründungen auf Definitionen und Sätze zu stützen, - Die Einsicht, dass eine Universalaussage durch einziges Gegenbeispiel widerlegt werden kann, - Das Verständnis der logischen Äquivalenz von - Das Schließen aus Universalaussagen auf spezielle Beispiele - Den Gebrauch der Abtrennungsregel beim Schließen - Die Anwendung des Kontrapositionsschlusses beim Widerlegen von Behauptungen - Den Beweis von Existenzaussagen durch unmittelbare Angabe eines entsprechenden Elements - Das Schließen auf Universalaussagen im Falle endlich vieler Elemente durch Überprüfung aller Möglichkeiten

4. Heuristik Heuristische Prinzipien: - Analogieprinzip - Invarianzprinzip - Rückführungsprinzip - Transformationsprinzip - Zerlegungsprinzip Heuristische Strategien: - Systematisches Probieren - Vorwärtsarbeiten - Rückwärtsarbeiten - Suchen nach Beziehungen Heuristische Hilfsmittel: - Tabelle - Informative Figur

Vorgehen im und Anforderungen an den Unterricht • Lösen von Problemaufgaben in vier Phasen: 1. Erfassen/ Verstehen der Aufgabe 2. Ausdenken eines Lösungsplans 3. Ausführung des Plans, Darstellung der Lösung 4. Rückschau (=Kontrolle und Auswertung) • Vermittlung heuristischer Vorgehensweisen: Schritt 1: Vormachen ausgewählter Vorgehensweise Schritt 2: Einführung der Vorgehensweise an markanten Beispielen Schritt 3: Einüben der Vorgehensweise an weniger auffälligen Beispielen Schritt 4: Anwendung

• Impulsgebung innerhalb der Phasen: 1) nicht theoretisieren, sondern die Schüler erleben lassen 2) Verwendung der „Impulstechnik“ (siehe unten) 3) den Schülern genügend Zeit lassen 4) kein vorzeitiges Verraten des Lösungsweges bzw. der Lösung (durch Lehrer und Schüler) 5) geschickte Aufgabenauswahl 6) individuelle Auswahl des Lösungsweges bzw. des heuristischen Vorgehens 7) innere Differenzierung, um Unter- oder Überforderung zu vermeiden und so die Motivation zu erhalten

1. Verstehen der Aufgabe • Was ist unbekannt? Was ist gegeben? Wie lautet die Bedingung? • Ist es möglich, die Bedingung zu befriedigen? Ist die Bedingung ausreichend, um die Unbekannte zu bestimmen? Oder ist sie unzureichend? Oder überbestimmt? Oder kontradiktorisch? • Zeichne eine Figur! Führe eine passende Bezeichnung ein! • Trenne die verschiedenen Teile der Bedingung! Kannst Du sie hinschreiben?

2. Ausdenken eines Planes • Hast Du die Aufgabe schon früher gesehen? Oder hast Du dieselbe Aufgabe in einer wenig verschiedenen Form gesehen? • Kennst Du eine verwandte Aufgabe? Kennst Du einen Lehrsatz, der förderlich sein könnte? • Betrachte die Unbekannte! Und versuche, Dich auf eine Dir bekannte Aufgabe zu besinnen, dieselbe oder eine ähnliche Unbekannte hat. • Hier ist eine Aufgabe, die der Deinen verwandt und schon gelöst ist. Kannst Du sie gebrauchen? Kannst Du ihr Resultat verwenden? Kannst Du ihre Methode verwenden? Würdest Du irgend ein Hilfselement einführen, damit Du sie verwenden kannst? • Kannst Du die Aufgabe anders ausdrücken? Kannst Du sie auf noch verschiedene Weise ausdrücken? Geh auf die Definition zurück!

• Wenn Du die vorliegende Aufgabe nicht lösen kannst, so versuche, zuerst eine verwandte Aufgabe zu lösen. Kannst Du Dir eine zugängliche verwandte Aufgabe denken? Eine allgemeinere Aufgabe? Eine speziellere Aufgabe? Eine analoge Aufgabe? Kannst Du einen Teil der Aufgabe lösen? Behalte nur einen Teil der Bedingung bei und lasse den anderen fort; wie weit ist die Unbekannte dann bestimmt, wie kann ich sie verändern? Kannst Du etwas Förderliches aus den Daten ableiten? Kannst Du Dir andere Daten denken, die geeignet sind , die Unbekannte zu bestimmen? Kannst Du die Unbekannte ändern oder die Daten oder, wenn nötig, beide, so dass die neue Unbekannte und die neuen Daten einander näher sind? • Hast du alle Daten genutzt? Hast Du die ganze Bedingung benutzt? Hast Du alle wesentlichen Begriffe in Rechnung gezogen, die in der Aufgabe enthalten sind?

3. Ausführen des Planes • Wenn Du Deinen Plan der Lösung durchführst, so kontrolliere jeden Schritt. Kannst Du deutlich sehen, dass der Schritt richtig ist? Kannst Du beweisen, dass er richtig ist? 4. Rückschau • Kannst Du das Resultat kontrollieren? Kannst Du den Beweis kontrollieren? • Kannst Du das Resultat auf verschiedene Weise ableiten? • Kannst Du es auf den ersten Blick sehen? Kannst Du das Resultat oder die Methode für irgendeine andere Aufgabe gebrauchen?

5. Möglichkeiten der Überprüfung des Beweisverständnisses • Reproduktion Beweis wiedergeben, ggf. mit anderen Variablen • Reorganisation Beweis zergliedert, Aufgabe: In richtige Reihenfolge bringen A->B, B->C, C->D • Problemlösend Neuer Beweis im gleichen Thema mit gleichen Schlussweisen