ARATIRMA YNTEMLER VE STATSTK DERS SUNUM NOTLARI Hafta

ARAŞTIRMA YÖNTEMLER VE İSTATİSTİK DERS SUNUM NOTLARI Hafta 7: Dağılım Ölçüleri Prof. Dr. Soner ÇANKAYA

Dağılım Ölçüleri Dağılım (dağılış) ölçüleri, bir veri grubundaki varyasyonu belirlemede veya iki veri setini gösterdikleri varyasyon bakımından karşılaştırmada kullanılan istatistiklerdir. En yaygın kullanılan dağılış ölçüleri varyans ve standart sapmadır. Bunun yanı sıra kullanılan dağılış ölçüleri; değişim genişliği, standart hata, çarpıklık ve basıklık katsayıları, ortalama mutlak sapma vb.

Değişim Genişliği Değişim genişliği, bir veri setinde en yüksek değerle en küçük değer arasındaki farka denir. Örnek: Xi = {2, 5, 1, 6, 7, 13, 9, 4} ise değişim genişliğini hesaplayınız. D. G =13 -1 = 12 olur. Değişim genişliği, en basit ve en klasik bir dağılış ölçüsüdür. Buna karşılık değişim genişliğinin bazı dezavantajlı yönleri de vardır. Bunlar: Ø İki grup varyasyon bakımından karşılaştırılmak istense tesadüfen de olsa aynı değişim genişliğine sahip olabilirler. Bu da grupların varyasyon bakımından karşılaştırılmasında yanıltıcı sonuç verir. Ø Yine grupların varyasyon bakımından karşılaştırılmasında eğer gruplarda eşit sayıda gözlem değeri yoksa hesaplanan değişim genişlikleri bizi yanıltabilir. Ø Değişim genişliği hesaplanırken tüm veriler göz önünde tutulmamaktadır. Bu da veri kaybına neden olur.

Serilerde varyans ve standart sapma Gözlemlerin ortalamadan sapmalarının karelerinin ortalamasına varyans denir. Varyansın birimi mantıklı değildir. Bu nedenle varyansın karekökü olan standart sapma ile birlikte kullanılır. Örneğin gözlemlerin birimi kg ise varyansın birimi olarak kg 2 dediğimizde bir anlam ifade etmez. Populasyon varyansı σ2, örnek varyans ise s 2 ile gösterilir.

Devamı… Standart sapma, bir çalışma grubundaki herbir verinin ortalamaya göre ne kadar uzaklıkta olduğunu, bir diğer deyişle dağılımın ne yaygınlıkta olduğunu gösteren bir ölçüdür.

Varyans ve standart sapma Örnek: ise örnek varyansını ve standart sapmasını hesaplayınız. Xi X 2 i 4 16 5 25 6 36 2 2 14 196 31 277

Aynı popülasyondan seçilecek, aynı büyüklükteki örneklemlerin ortalamalarının yayılmasını gösteren ölçüt, ortalamanın standart hatası (standard error of mean)’dır. Standart sapma değerinin denek sayısının kareköküne bölünmesi ile elde edilen değerdir. Ortalamanın standart hatası, ortalamanın dağılımındaki varyasyonu (değişimi) gösterir, örneklem sayısının artması ile küçülür. Standart hatanın küçük olması popülasyon parametresine ait yapılacak olan tahminler açısından ve daha dar güven aralığı sınırlar bulma açısından önemlidir. Eşitlikte, s: std. sapmayı; n: örnek genişliğini göstermektedir.

Standart hata

Çarpıklık ve Basıklık Katsayıları Çarpıklık (Skewness) ve Basıklık (Kurtosis) değerleri verilerin normal dağılım gösterip göstermediğini ifade eder. Çarpıklık veri dağılımının normalden uzaklaşarak sağa ve ya sola doğru meyleden yamuk bir şekil almasını ifade eden bir kavramdır. Normal bir dağılımda çarpıklık katsayısı “sıfır” olacaktır. Çarpıklık arttıkça mod ve ortalama birbirinden uzaklaşır. Basıklık (Kurtosis) normal dağılım eğrisinin ne kadar dik ve ya basık olduğunu gösterir. Tam çan eğrisinin basıklık katsayısı “sıfır”dır. Basıklık katsayısı pozitif ise, eğri normale göre daha diktir. Negatif ise normale göre daha basıktır. Analiz çıktısından elde edilen tanımlayıcı istatistikler tablosundaki Kurtosis’e ait statistic değeri Std. Error değerine bölünerek bulunan değer % 5 anlamlılık düzeyinde +1, 96 ve -1, 96 değerleri arasında ise dik olmadığı söylenebilir.

Eğrilik Katsayısı (Skewness) Eğrilik katsayısı normal dağılışın simetriklik ölçüsüdür. Bu değer aşağıdaki formülden hesaplanır.

Eğrilik Katsayısı (Skewness)

Diklik Katsayısı (Kurtosis) Normal dağılış eğrisinin sivrilik veya basıklığını belirlemede kullanılan ölçüdür. Bu değer aşağıdaki formülden hesaplanır.

Örnek Problemler 1. 10 km’lik bir koşu yarışmasında sporcuların ortalama hızları (5, 7, 4, 6, 6, 5 km/sa) olarak ölçülmüştür. Buna göre sporcuların hızlarının varyansını ve standart sapmasını hesaplayınız. 2. Bir grup öğrencinin sistolik kan basınçları ölçülmüş ve aşağıdaki değerler elde edilmiştir. Xi: {118, 135, 128, 132, 124, 137}. Bu değerlere ait standart sapmayı hesaplayınız.