APRENDENDO FUNO QUADRTICA OU FUNO POLINOMIAL DO 2

APRENDENDO FUNÇÃO QUADRÁTICA OU FUNÇÃO POLINOMIAL DO 2º GRAU Alexandre Mello

Um time de praia montou um campo de futebol de 100 m de comprimento por 70 m de largura e, por medida de segurança, decidiu cercá-lo, deixando entre o campo e a cerca uma pista com 3 m de largura. Qual é a área do terreno limitado pela cerca? 3 100 3 campo pista Alexandre Mello 70 3 3

A área da região cercada é: (100 + 2. 3) (70 + 2. 3) = 106. 76 = 8 056 m 2 Se a largura da pista fosse de 4 m, a área da região cercada seria: (100 + 2. 4) (70 + 2. 4) = 108. 78 =8 424 m 2 Observe que a cada largura x da pista, há uma área A(x) da região cercada. E que o valor de A(x) é uma função de x dada pela expressão: A(x) = (100 + 2 x) (70 + 2 x) = = 7 000 + 200 x + 140 x + 4 x 2 = 4 x 2 + 340 x + 7 000 Esse é um caso particular de função quadrática ou função polinomial do 2 º grau. Alexandre Mello

Chama-se função quadrática ou função polinomial do 2 º grau, qualquer função f de R em R dada por uma lei da forma f(x) = ax 2 +bx + c, em que a, b e c são números reais e a ≠ 0. Veja alguns exemplos de funções quadráticas: f(x) = 2 x 2 + 3 x + 5, sendo a = 2, b = 3 e c = 5 f(x) = 3 x 2 - 4 x + 1, sendo a = 3, b = - 4 e c = 1 f(x) = x 2 - 1, sendo a = 1, b = 0 e c = - 1 f(x) = - x 2 + 2 x, sendo a = - 1, b = 2 e c = 0 f(x) = - 4 x 2 , sendo a = - 4, b = 0 e c = 0 Alexandre Mello

O gráfico de uma função quadrática é uma curva chamada parábola. Vamos construir o gráfico da função quadrática dada por f(x) = x 2 - 3 x + 2 x f(x) -1 6 0 2 1 0 2 0 3 2 Alexandre Mello

Significado dos parâmetros a, b e c no gráfico da função quadrática • Parâmetro a: responsável pela concavidade e abertura da parábola. Se a > 0 a concavidade é para cima. Se a < 0 a concavidade é para baixo. • Parâmetro b: indica se a parábola cruza o eixo y com seu ramo crescente ou decrescente. Se b > 0 a parábola cruza o eixo y no ramo crescente. Se b < 0 a parábola cruza o eixo y no ramo decrescente. Alexandre Mello

• Parâmetro c: indica o ponto em que a parábola cruza o eixo y. (0, c) Alexandre Mello

ZEROS OU RAÍZES DA FUNÇÃO QUADRÁTICA Zeros ou raízes da função quadrática f(x)= ax 2 + bx + c são os valores de x para os quais a função se anula, ou seja, f(x) = 0. Assim, os zeros da função quadrática f(x)= ax 2 +bx +c são as soluções da equação do 2º grau ax 2 +bx + c = 0, as quais são dadas pela fórmula: x = - b ± √ b 2 – 4 ac 2 a Vamos obter os zeros da função f(x) = x 2 - 3 x + 2. Temos a = 1, b = - 3 e c = 2 Então, aplicando a fórmula, as raízes são: Alexandre Mello x’ = 1 e x’’ = 2.

VÉRTICE DA PARÁBOLA O vértice da parábola, gráfico da função f(x)= ax 2 + bx + c, tem coordenadas xv = - b (abscissa) e yv = - ∆ (ordenada). Assim, o vértice 2 a 4 a da parábola é o ponto V - b , - ∆. 2 a 4 a Se a > 0, o vértice é ponto de mínimo da função. Se a < 0, o vértice é ponto de máximo da função. V(xv , yv) ponto de máximo V(xv , yv) ponto de mínimo Alexandre Mello

AS ORIGENS DA PARÁBOLA Não há unanimidade sobre como a curva plana conhecida como parábola foi introduzida na matemática. Segundo a versão mais difundida, ela teria surgido dos esforços de Menaecmo (c. IV a. C. ), um discípulo de Aristóteles (384 -322 a. C. ), para resolver o chamado “problema deliano”, cuja origem é muito curiosa. Assolados por uma devastadora peste, os habitantes da ilha de Delos (os delianos) recorreram aos préstimos de seu oráculo, que sugeriu , para afastar o mal, que eles construíssem um altar cúbico cujo volume fosse o dobro do já existente consagrado ao deus Apolo. E a parábola tem sua origem na busca dessa solução. Alexandre Mello

APLICAÇÕES DA PARÁBOLA Alexandre Mello

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BIBLIOGRAFIA: DANTE, L. R. (2005) Matemática. São Paulo: Editora Ática. IEZZI, G. et al. (2004) Matemática: Ciência e Aplicações. 2ª Ed. São Paulo: Atual Alexandre Mello