APPLICAZIONI DELL INTEGRALE DEFINITO 1 Calcolo di aree

APPLICAZIONI DELL’ INTEGRALE DEFINITO 1. Calcolo di aree di domini piani – teorema di Archimede 2. Calcolo di volumi - volumi di figure di rotazione 3. Lunghezza di un arco di curva 4. Calcolo dell’area di superfici di rivoluzione 5. Integrali impropri o generalizzati 6. Applicazioni del calcolo integrale alla fisica 1 Torna alla prima parte

CALCOLO DI AREE DI DOMINI PIANI Definizione di dominio piano normale: date due funzioni f(x) e g(x) continue in [a ; b], tali che g(x) f(x) x [a ; b], si chiama dominio piano normale rispetto all’asse x l’insieme T dei punti P(x; y) del piano così definito: T = {(x ; y) | a x b e g(x) y f(x)}. Area: l’area del dominio T è data da: La formula per l’area vale comunque siano disposti i grafici delle funzioni f(x) e g(x), purché sia g(x) f(x). 2

Esempi 1. Area del segmento parabolico e teorema di Archimede. 2. Data la funzione f(x) = kx 2 , con k > 0, calcoliamo l’area del segmento parabolico AA’VA, come in figura: Teorema di Archimede. L’area del segmento parabolico AA’VA è 2/3 dell’area del rettangolo AA’H’H. 3

Osservazione sul teorema di Archimede. Il teorema di Archimede vale anche nel caso in cui la corda AA’ non sia perpendicolare all’asse della parabola. In tale caso, tracciata la retta t tangente alla parabola e parallela alla retta AA’, l’area del segmento parabolico AA’VA è uguale ai 2/3 dell’area del rettangolo avente base AA’ e altezza uguale alla distanza tra la retta t e la retta AA’. Esempio: Determina l’area del segmento parabolico T, limitato dalla parabola y = x 2 - 2 x e dalla retta r : y = -2 x + 4. 4

2. 3. Calcolare l’area della regione piana compresa tra le due parabole di equazioni: y 2 = 4 x e x 2 = 4 y. Calcolare l’area della regione piana limitata dall’ellisse di equazione: 5

CALCOLO DI VOLUMI 1. Caso generale - Volume di un solido, come integrale dell’area di una sua sezione piana Supponiamo di avere un solido T, compreso fra due piani e , di equazione x = a e x = b, e valgano inoltre le seguenti ipotesi: 1°) comunque si scelga un punto xi [a; b], il piano i, di equazione x = xi, sezioni sempre il solido T individuando una porzione di piano, di cui si possa calcolare l’area Si; 2°) le aree Si definiscano, nell’intervallo [a; b], una funzione continua di x, S(x). In tali ipotesi vale allora il seguente teorema: 6

Esempio Considera il settore circolare AOB, di raggio 2 e ampiezza di 60°. Detta H la proiezione di A su OB, il dominio piano HBA sia la base di un solido T, le cui sezioni, ottenute con piani ortogonali ad OB, sono tutte quadrati. Calcola il volume di T. Nel riferimento scelto, x. H = 1, x. B = 2, l’arco di circonferenza AB ha equazione La funzione area è S(x) = 4 - x 2, è continua, e il volume di T vale: 7

2. Caso particolare - Volume di figure di rotazione Consideriamo la funzione y = f(x) di grafico , continua nell’intervallo [a; b] e non negativa, e il trapezoide esteso all’intervallo [a; b]. Se facciamo ruotare il trapezoide attorno all’asse x di un giro completo, ossia di 360°, otteniamo la figura di rotazione (solido di rotazione) T. In questo caso le sezioni del solido T, con i piani perpendicolari all’asse delle x, sono cerchi di raggio r = y = f(x), quindi di area S(x) = f 2(x) e il volume vale: Interpretazione della formula con il metodo dei plurirettangoli e dei pluricilindri Dividiamo l’intervallo [a; b] in n parti uguali di lunghezza h = (b-a) / n e consideriamo i plurirettangoli che approssimano il trapezoide per eccesso e per difetto: 8

Da una rotazione completa dei plurirettangoli attorno all’asse x, si ottengono due pluricilindri, che approssimano per eccesso e per difetto la figura di rotazione F. Ogni cilindro ha per base il cerchio di raggio Mi (appross. per eccesso) o mi (appross. per difetto) e per altezza h, quindi i pluricilindri hanno volume: 9

Si può dimostrare che quando n + le due successioni tendono allo stesso limite e tale limite è il volume della figura di rotazione F : Esempi 1. Volume del cono, data la funzione y = mx: 2. 3. Volume dell’ellissoide generato dalla rotazione dell’ellisse di equazione a) attorno all’asse x : 10

b) attorno all’asse y : In particolare, se a = b, l’ellissoide si riduce ad una sfera di raggio a e volume : 3. 4. Determinare il volume del solido generato dal dominio piano T delimitato dalla parabola P: y = -x 2 + 6 x e dalla retta r : y = 5 in una rotazione completa attorno ad r. 11

4. 5. Dato il dominio piano T, delimitato dagli assi cartesiani, dalla retta y = 1 e dal grafico di y = lnx , determina il volume del solido ottenuto da una rotazione completa di T attorno: a) all’asse x , b) all’asse y. 12

13

CALCOLO DELLA LUNGHEZZA DI UN ARCO DI CURVA Sia una curva piana rappresentata nell’intervallo [a; b] dall’equazione y = f(x), con f(x) derivabile con derivata continua in [a; b]. La lunghezza L dell’arco AB di definito in [a: b] è data da: Interpretazione della formula con il metodo della poligonale Diviso [a, b] in n parti xi ( xi = xi-xi -1), mediante i punti x 0, x 1, …, xn, si approssima l'arco con la poligonale ad esso inscritta, i cui vertici hanno le ascisse (xi; f(xi)), con i = 0, 1 … n. Detta i la lunghezza di ogni i-esimo segmento della poligonale, la lunghezza della poligonale sarà 14

Per il teorema di Lagrange, applicato alla f(x) relativamente ad ogni intervallo [xi -1; xi], in cui viene diviso [a; b], si può scrivere: Esempi 1. Calcola la lunghezza della circonferenza di raggio r. Inserisco la circonferenza in un riferimento cartesiano, con centro nell’origine, ed ottengo l’equazione x 2 + y 2 = r 2 , quindi considero l’arco AB ed avrò: 15

2. Calcola la lunghezza dell’asteroide. 3. Calcola la lunghezza dell’arco di curva , grafico della funzione y = lnx, con 16

17

CALCOLO DELL’ AREA DI UNA SUPERFICIE CURVA Consideriamo solo il caso particolare della superficie generata dalla rotazione di 360°, attorno ad uno dei due assi cartesiani, di una porzione di curva piana. Sia una curva piana, rappresentata nell’intervallo [a; b] dall’equazione y = f(x), con f(x) derivabile con derivata continua in [a; b]. La superficie che si ottiene da una rotazione di un giro completo attorno, per esempio, all’asse x, della porzione di rappresentata in [a; b], ha l’area data dal seguente integrale: Esempi 1. Calcola l’area della superficie generata dalla rotazione, attorno all’asse x, della curva y = sen x , con x [0; ]: 18

19

2. Calcola l’area della superficie laterale del cono, generata dalla rotazione, attorno all’asse x, della retta y = mx , con x [0; h] e m > 0: 3. Calcola l’area della superficie generata dalla rotazione completa attorno all’asse x della curva ritrovando così l’area della superficie della sfera di raggio r. 20

INTEGRALI IMPROPRI o GENERALIZZATI La definizione di integrale definito secondo Riemann, si basa sulla condizione necessaria che la funzione integranda sia limitata nell’intervallo d’integrazione limitato e chiuso, tuttavia, mediante un’operazione al limite, è possibile estendere tale definizione anche 1. a funzioni illimitate su intervallo limitato 2. a funzioni limitate su intervalli illimitati. (vedi figure sotto) 1. Integrali di funzioni illimitate su intervallo limitato Sia f(x) una funzione continua nell’intervallo I = [a ; b[ , illimitata solo per x = b, cioè in b ammetta un punto di discontinuità di seconda specie (asintoto verticale), allora, con queste ipotesi, esiste l’integrale e per definizione poniamo: Se tale limite esiste ed è finito, diremo che la f(x) è integrabile in [a ; b[. 21

Definizione analoga si ha per una funzione f(x) illimitata in a, nell’intervallo I = ]a; b]: Se la f(x) è illimitata in un punto d interno ad [a; b], si pone per definizione: Osserva che se non si avesse l’avvertenza di isolare il punto x = 0, in cui la funzione è illimitata, e si applicasse pedissequamente la formula d’integrazione, si troverebbe: risultato assurdo, se non altro per il segno, essendo, come è noto, positivo l’integrale di una funzione positiva. 22

2. Integrali di funzioni limitate su intervalli illimitati La funzione f(x) sia definita l’intervallo [a ; + [ e sia continua e limitata nell’intervallo [a; b] , b a. Con queste ipotesi, esiste l’integrale e per definizione poniamo: Se tale limite esiste ed è finito, diremo che la f(x) è integrabile in [a ; + [. Definizione analoga si ha per una funzione f(x) limitata nell’intervallo ]- ; b]: Se la f(x) è limitata nell’intervallo ]- ; + [, si pone per definizione: 23

Funzione illimitata su intervallo limitato ============================================================================= Funzione limitata su intervallo illimitato 24

APPLICAZIONI DEGLI INTEGRALI ALLA FISICA 1. Moto rettilineo Sia s = s(t) la funzione continua e derivabile due volte, che esprime lo spazio in funzione del tempo percorso da un punto P che si muove su di una retta r. 2. Lavoro di una forza di intensità non costante 25

Esempio (a) Determinare il lavoro compiuto dalla forza gravitazionale F (f. peso) per spostare una massa m da A a B, come in figura. 26

Esempio (b) Determinare il lavoro compiuto dalla forza elettrostatica F per spostare una carica q da A a B, come in figura. Esempio (c) Un punto materiale si muove lungo l’asse x ed è soggetto ad una forza elastica di richiamo F, costantemente diretta verso l’origine O delle ascisse e di intensità proporzionale alla distanza da O del punto stesso, con costante di proporzionalità (cost. elastica) k. Calcolare il lavoro fatto dalla forza F, quando il punto materiale si sposta dalla posizione di ascissa x 1 a quella di ascissa x 2. 27

3. Valore efficace di una corrente alternata sinusoidale L’energia elettrica istantanea dissipata per effetto Joule è P(t) = R(i 0 sen t)2 , quindi 4. Quantità di carica 5. L’intensità di corrente elettrica istantanea i(t) in un conduttore è data da i(t) = q’(t) , pertanto la carica elettrica q che passa nell’intervallo [t 1; t 2] attraverso la sezione di un conduttore percorso da corrente di intensità i(t) è: Esempio Un conduttore è attraversato da una corrente di intensità i(t) = i 0 sen t, con i 0 =10 A e = 2 rad/s. Calcolare la quantità di carica che attraversa la sezione del conduttore tra l’istante t 1=0 e t 2=0, 5 s. 28