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APOSTILA 2: MÓDULO 1 Vetores e Aplicações SITE: WWW. ISRAELAVEIRO. COM

Tipos de grandezas: Tudo aquilo que pode ser medido é considerado como sendo uma grandeza. Massa, velocidade, aceleração, força e energia são algumas das inúmeras grandezas físicas. As grandezas são classificadas em dois grupos: escalares e vetoriais. q Escalares: Tipo de grandeza que é definida apenas a partir da informação do seu valor numérico (módulo), seguido de uma unidade de medida. Massa, temperatura e energia são exemplos de grandezas escalares; q Vetoriais: Tipo de grandeza que possui, além do valor numérico (módulo), direção e sentido. Força, velocidade e aceleração são exemplos de grandezas vetoriais. DEFINIÇ O VETOR: Os vetores representam as grandezas vetoriais e indicam seu módulo, direção e sentido. (Características básicas). q Módulo: é o valor numérico do vetor seguido da unidade de medida que define a grandeza vetorial. q Direção: é a reta onde o vetor está localizado, e as direções possíveis são: diagonal, horizontal e vertical. q Sentido: trata-se de para onde o vetor atua de acordo com sua direção, assim, os sentidos podem ser para a direita, para a esquerda, para cima, para baixo, para o leste, para o norte, etc.

Sentido Direção da Reta Suporte Módulo (horizontal no caso)

Dois ou mais Vetores são: Iguais: a b l Oposto: a p l Ortogonais: 90° a a

Comparação entre vetores Vetores Iguais a r b s Mesmo Módulo Mesma Direção Mesmo Sentido a = b O vetor a é igual ao vetor b.

Comparação entre vetores Vetores Opostos a r b s c t Sobre os vetores b e c podemos afirmar: Tem o mesmo módulo, mesma direção mas sentidos opostos. a = b = - c O vetor c é oposto aos vetores a e b.

Soma através da Regra do Polígono: a b c Determinarmos a soma a + b + c S - Método Gráfico a b c

Método Gráfico │V 1│ = 10 │V 2│ = 8 V 1 V 2 S │S│= 18

│V 2│ = 6 │V 1│ = 10 Método Gráfico V 1 S │S │ = 4 V 2

Subtração de vetores Considere os dois vetores a seguir: b A subtração de a – b é igual ao vetor: S = a + (- b) a S Realizar a subtração, a – b, é como somar a mais um vetor de mesma intensidade, mesma direção mas de sentido oposto ao do vetor b originalmente representado. Na realidade, estaremos fazendo a adição do vetor a com um vetor oposto ao vetor b ( a + (-b) ). - b a

Método Especial: Teremos um caso especial do método do paralelogramo quando os dois vetores que serão somados forem paralelos, o que faz um ângulo de 90° entre eles, como o cosseno de 90° é 0 então toda segunda parte da equação acima será destruída, por dedução teremos: A B Teorema Pitágoras:

Regra do Paralelogramo É utilizada para realizar a adição de apenas dois vetores. a Reta Paralela ao vetor b e que passa pela extremidade do vetor a. b R a α Determinar a soma a + b. b E o módulo, ou seja, o valor desse vetor resultante será dado por: Reta Paralela ao vetor a e que passa pela extremidade do vetor b. 2 2 2 R = a + b + 2. a. b. cos α

Reta Paralela ao vetor b e que passa pela extremidade do vetor a. R a Reta Paralela ao vetor a e que passa pela extremidade do vetor b. α b E o módulo, ou seja, o valor desse vetor resultante será dado por: 2 2 2 R = a + b + 2. a. b. cos α

Decomposição de vetores y 1) Agora vamos decompor o vetor F em outros dois vetores, Fx e Fy. F a x F = vetor força a = ângulo entre F e o eixo x

Decomposição de vetores y F = vetor força Fx = vetor força no eixo x Fy Fy = vetor força no eixo y F a Fx x 2) Agora vamos trocar o vetor Fy de posição para formarmos um triângulo retângulo

Decomposição de vetores F = vetor força Fx = vetor força no eixo x y Fy = vetor força no eixo y F a Fx Fy x 2) Agora vamos trocar o vetor Fy de posição para formarmos um triângulo retângulo 3) Para determinar Fx e Fy basta resolvermos o triângulo retângulo.

Decomposição de vetores sen a = co hip y s o F ip =h a Fx F = vetor força Fx = vetor força no eixo x Fy = vetor força no eixo y u ten h a( Fy Lembra da trigonometria? ip) = cateto oposto (co) cos a = ca hip x = cateto adjacente (ca) Portanto: Fx = F. cos a Fy = F. sen a

Exemplo 01) Sejam u = (1; -2) e v = (2; 3) a) Soma de ( u + v ) Então: ( u + v ) => ( 1 + 2 ; - 2 + 3 ) => ( --- ; --- )

Exemplo 01) Sejam u = (1; -2) e v = (2; 3) a) Soma de ( u + v ) Então: ( u + v ) => ( 1 + 2 ; - 2 + 3 ) => ( 3; 1 )

Exemplo 02) RESOLUÇÃO PELO ALUNO: Sejam os vetores § u = (- 3; 2) § v = (2; 1) § x = (3; - 3) § z = (- 2; - 2) Determine: a) ( u + v ) = b) ( u + x ) = c) ( v + z ) = d) ( z + x ) = e) ( z + u ) = f) ( u - v ) = g) ( u - x ) = h) ( v - z ) = i) ( z - x ) = j) ( z - u ) = SOLUÇÃO:

Exemplo 02) RESOLUÇÃO PELO ALUNO: Sejam os vetores § u = (- 3; 2) § v = (2; 1) § x = (3; - 3) § z = (- 2; - 2) Determine: a) ( u + v ) = b) ( u + x ) = c) ( v + z ) = d) ( z + x ) = e) ( z + u ) = f) ( u - v ) = g) ( u - x ) = h) ( v - z ) = i) ( z - x ) = j) ( z - u ) = SOLUÇÃO:

Exemplo 02) RESOLUÇÃO PELO ALUNO: Sejam os vetores § u = (- 3; 2) § v = (2; 1) § x = (3; - 3) § z = (- 2; - 2) Determine: a) ( u + v ) = (-3+2 ; 2+1) = (-1; 3) b) ( u + x ) = c) ( v + z ) = d) ( z + x ) = e) ( z + u ) = f) ( u - v ) = [-3 -(2); 2 -(1)] = (- 5; 1) g) ( u - x ) = h) ( v - z ) = i) ( z - x ) = j) ( z - u ) = SOLUÇÃO:

SOLUÇÃO:

SOLUÇÃO:

SOLUÇÃO:

Resolução do Exercício: página 17 – Ex. : 01 01 - (PUCCAMP SP) Analise o esquema abaixo. O vetor resultante ou soma vetorial das três medidas acima representadas tem módulo: a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19 SOLUÇÃO:

Resolução do Exercício: página 17 – Ex. : 01 01 - (PUCCAMP SP) Analise o esquema abaixo. O vetor resultante ou soma vetorial das três medidas acima representadas tem módulo: a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19 SOLUÇÃO:

Resolução do Exercício: página 17 – Ex. : 01 01 - (PUCCAMP SP) Analise o esquema abaixo. O vetor resultante ou soma vetorial das três medidas acima representadas tem módulo: a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19 SOLUÇÃO:

Resolução do Exercício: página 17 – Ex. : 01 01 - (PUCCAMP SP) Analise o esquema abaixo. O vetor resultante ou soma vetorial das três medidas acima representadas tem módulo: a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19 SOLUÇÃO:

Resolução do Exercício: página 17 – Ex. : 01 01 - (PUCCAMP SP) Analise o esquema abaixo. O vetor resultante ou soma vetorial das três medidas acima representadas tem módulo: a) 11 b) 13 c) 15 d) 17 e) 19

Resolução pelo ALUNO: página 17 – Ex. : 02 02 - Observe a figura a seguir e determine quais os vetores que: a) têm a mesma direção. b) têm o mesmo sentido. c) têm o mesmo comprimento. d) são iguais. SOLUÇÃO:

Resolução pelo ALUNO: página 17 – Ex. : 02 02 - Observe a figura a seguir e determine quais os vetores que: a) têm a mesma direção. b) têm o mesmo sentido. c) têm o mesmo comprimento. d) são iguais. SOLUÇÃO: Segue abaixo as seguintes definições: Módulo = tamanho Direção = horizontal, vertical Sentido = esquerda, direita Vetores iguais = possuem o mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido. Então, de acordo com a figura abaixo:

Resolução pelo ALUNO: página 17 – Ex. : 02 02 - Observe a figura a seguir e determine quais os vetores que: a) têm a mesma direção. b) têm o mesmo sentido. c) têm o mesmo comprimento. d) são iguais. SOLUÇÃO: Segue abaixo as seguintes definições: Módulo = tamanho Direção = horizontal, vertical Sentido = esquerda, direita Vetores iguais = possuem o mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido. Então, de acordo com a figura abaixo: a) Os vetores que possuem a mesma direção são: ( A, E, F ); ( B, G ); ( C, D ). b) Os vetores que possuem o mesmo sentido. c) Os vetores que possuem módulos iguais são: d) Os vetores que são iguais:

Resolução pelo ALUNO: página 17 – Ex. : 02 02 - Observe a figura a seguir e determine quais os vetores que: a) têm a mesma direção. b) têm o mesmo sentido. c) têm o mesmo comprimento. d) são iguais. SOLUÇÃO: Segue abaixo as seguintes definições: Módulo = tamanho Direção = horizontal, vertical Sentido = esquerda, direita Vetores iguais = possuem o mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido. Então, de acordo com a figura abaixo: a) Os vetores que possuem a mesma direção são: ( A, E, F ); ( B, G ); ( C, D ). b) Os vetores que possuem o mesmo sentido. ( A, F ); ( C, D ). c) Os vetores que possuem módulos iguais são: d) Os vetores que são iguais:

Resolução pelo ALUNO: página 17 – Ex. : 02 02 - Observe a figura a seguir e determine quais os vetores que: a) têm a mesma direção. b) têm o mesmo sentido. c) têm o mesmo comprimento. d) são iguais. SOLUÇÃO: Segue abaixo as seguintes definições: Módulo = tamanho Direção = horizontal, vertical Sentido = esquerda, direita Vetores iguais = possuem o mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido. Então, de acordo com a figura abaixo: a) Os vetores que possuem a mesma direção são: ( A, E, F ); ( B, G ); ( C, D ). b) Os vetores que possuem o mesmo sentido. ( A, F ); ( C, D ). c) Os vetores que possuem módulos iguais são: ( A, B, E, F ); ( C, D ). d) Os vetores que são iguais:

Resolução pelo ALUNO: página 17 – Ex. : 02 02 - Observe a figura a seguir e determine quais os vetores que: a) têm a mesma direção. b) têm o mesmo sentido. c) têm o mesmo comprimento. d) são iguais. SOLUÇÃO: Segue abaixo as seguintes definições: Módulo = tamanho Direção = horizontal, vertical Sentido = esquerda, direita Vetores iguais = possuem o mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido. Então, de acordo com a figura abaixo: a) Os vetores que possuem a mesma direção são: ( A, E, F ); ( B, G ); ( C, D ). b) Os vetores que possuem o mesmo sentido. ( A, F ); ( C, D ). c) Os vetores que possuem módulos iguais são: ( A, B, E, F ); ( C, D ). d) Os vetores que são iguais: ( A, F ); ( C, D ).

Resolução pelo ALUNO: 05 - Dados os vetores A B e C representados ao lado determine a direção o sentido e o módulo do vetor resultante ao efetuarmos a somas: Resposta:

Resolução pelo ALUNO: 05 - Dados os vetores A B e C representados ao lado determine a direção o sentido e o módulo do vetor resultante ao efetuarmos a somas:

Apostila 2 – Módulo 1 RESOLUÇÃO DE EXERCICIOS Apostila 2 – Módulo 1 / Página 05 e 06 >> Ex. : 01; 02; 03; 04 e 05 Apostila 2 – Módulo 1 / Página 17 à 21 >> Ex. : 03; 04; 05; 06; 07; 08; 09; 10; 11; 12; 13; 14; 18; 21; 25; 26; 27 e 28 Site: www. israelaveiro. com