Aplicaes de Mtodos Matemticos O Problema Os modelos
Aplicações de Métodos Matemáticos
O Problema • Os modelos matemáticos que representam processos ou equipamentos são sistemas de equações algébricas, diferenciais e integrais que, em geral, não tem solução analítica. • Para obter soluções, portanto, devem ser utilizados métodos numéricos. • Para solução numérica de problemas de medio e grande porte é necessário o auxilio de computadores. • E para que os computadores funcionem são necessários programas.
A Solução • Comprar o software que resolva a classe de problemas que deseja tratar • Desenvolver seus proprios programas • Contratar alguem que desenvolva os programas • Fazer combinações das três propostas acima
A Melhor Solução • A melhor solução depende da verba disponível mas, em geral, o conhecimento de uma linguagem de programação de alto nível e programas que auxiliem na resolução de problemas numéricos costumam ser a solução mais eficiente, e mais barata.
Os Problemas Matemáticos – Os problmas matemáticos que sugem na modelagem de processos e equipamentos são: • Solução de sistemas de equaçoes algébricas • Solução de sistemas de equações diferencias ordinárias • Solução de sistemas de equações diferenciais parciais • Ajuste de curvas e interpolação • Otimização
A Aula de Hoje • Nesta aula abordademos: – Solução de sistema de equações algébricas (raízes) – Solução numérica de EDO com condições iniciais – Solução numérica de EDO com condições de contorno – Solução numérica de EDP – Interpolação
Software • Usaremos o Matlab que combina uma linguagem de programação de alto nível com bibliotecas de programas de diversas áreas do conhecimento. Esta característica facilita a implementação de soluções numéricas.
Objetivo da Aula • Resolver numericamente problemas matemáticos provenientes da modelagem de processos ou equipamentos.
Reator Continuo em Estado Estacionario O modelo é: os programas usados para resolver são: ‘reator’ e ‘cstr’
Simulação de um tanque de nivel O tanque de nivel está representado pela equação: os programas usados para resolver são: ‘edo’, ‘nivel’ e ‘tanque’.
Pellet de Catalisador O pellet está representado pela equação: os programas para solução numérica são ‘pell’ e ‘pellet’
Matemática simbólica Em uma calculadora a linha de comando y=sin(x) dará erro se não for atribuído previamente um valor a x
• Em cálculo simbólico é possível operar expressões como sin(x) sem atribuir valores numéricos às variáveis. Ex: Cálculo da derivada de sin(x) >>syms x >>f=sin(x) >>diff(f) >> cos(x)
Outros exemplos Determinante de uma matriz simbólica syms a b c d M= [a, b; c, d]; det(M) Integral f=int(x^3/sqrt(1 -x), a, b)
Conversão de variáveis • Para converter uma variável simbólica em numérica usa-se double Ex: phi=sym((1+sqrt(5))/2) double(phi)
Substituição de variáveis • Para substituir uma variável em uma expressão simbólica usa-se subs Ex: syms s f=a*x^2+b*x+c subs(f, x, s)
Derivação • Para derivação analítica utiliza-se a função diff Ex: f=a*x^3+b*x^2 -x+c diff(f, b, 2)%deriva em relação a b duas vezes
Integração • Para integração analítica utiliza-se a função int Ex: syms m n f=sin(s+2*x) int(f, s, m, n)
Resolução de equações algébricas • Um sistema de equações algébricas syms u c d v e 2=u-c+d+v-10 e 1=d+(c+u)/2 -v e 3=v+d-u+c/4 e 4=v+u-c+8*d-1 resolve-se usando solve(e 1, e 2, e 3, e 4)
Resolução de equações diferenciais • Uma equação diferencial pode ser resolvida usando a função dsolve Ex: y=dsolve('D 2 y-2*Dy-3*y=0', 'y(0)=0', 'y(1)=1') tentar também y=dsolve('D 2 y-2*Dy-3*y=0')
Formatação e simplificação Para simplificar expressões usa-se a função simple f= (1/x^3+6/x^2+12/x+8)^(1/3) y=simple(f) e para melhorar a apresentação usa-se pretty(y)
Representação gráfica • Para representar graficamente uma expressão simbólica como: syms t y=-5*t^2+20*t+30 ezplot(y)
Simulação de um tanque de nível O tanque de nível está representado pela equação: A solução analítica pode ser calculada como: h=dsolve('Dh=q/A-Cv*h') e a solução pode ser observada usando pretty(h)
Para representar graficamente usa-se a função ezplot, mas antes devem ser substituídos os valores de q, A, C 1 e Cv h=subs(h, 'q', 2) h=subs(h, 'C 1', 5) h=subs(h, 'Cv', 1) h=subs(h, 'A', 10) ezplot(h)
Problema Proposto Resolver y”-xy-y=0 Para resolver y=dsolve('D 2 y-x*Dy-y=0', 'y(0)=1', 'Dy(0)=2', 'x') Para representar graficamente ezplot(y)
Pellet de Catalisador O pellet está representado pela equação: E a linha de comando para resolver é: Ca=dsolve('x^2*D 2 y+x*Dy-x^2*y*k=0', 'Dy(0)=0', 'y(R)=Cas', 'x') Ca=subs(Ca, 'Cas', 1) Ca=subs(Ca, 'k', 1) Ca=subs(Ca, 'R', 1) plot(1/besseli(0, 1)*besseli(0, [0: 0. 01: 1]))
Exemplos
Soluções • caso 1 y=dsolve('Dy=1+y^2', 'x') • caso 2 y=dsolve('2*x*y*Dy-y^2+x^2=0', 'y(1)=1', 'x') ezplot('(-x^2+2*x)^(1/2)')
Problemas sugeridos
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