Anwendungen Tunneleffekt in Beispielen 11 5 1 Alpha

Anwendungen Tunneleffekt in Beispielen: 11. 5. 1. Alpha Zerfall von Kernen 11. 5. 2. Raster Tunnel Mikroskop

11. 5. 1. Alpha Zerfall: Pollonium 212 Po -> a + 208 Pb + 8. 78 Me. V He 208 Pb Coulombabstossung 1012 Tunnelwahrscheinlichkeit Coulomb versus Kasten! Kernkräfte http: //hyperphysics. phy-astr. gsu. edu/hbase/nuclear/alptun 2. html#c 1

11. 5. 2. Raster Tunnel Mikroskop siehe: 3. 4. • Verschiebung mit Piezos 3 Dimensional • Dämpfung!!! • Messung des Tunnelstroms (wird konstant gehalten durch Höhenvariation) Elektronen in Metallspitze quasi frei Spitze Wand: Potentialstufe Substrat x Graphik aus: Bern Thaller Visual Quantum Mechanics http: //www. kfunigraz. ac. at/imawww/vqm/index. html 0 Zwischenraum: Potentialbarriere a Zwischenraum

11. 5. 2. Raster Tunnel Mikroskop siehe: 3. 4. • Verschiebung mit Piezos 3 Dimensional • Dämpfung!!! • Messung des Tunnelstroms (wird konstant gehalten durch Höhenvariation) Graphik aus: Bern Thaller Visual Quantum Mechanics http: //www. kfunigraz. ac. at/imawww/vqm/index. html

11. 6. Der Harmonische Oszillator Potential: Stationäre Schrödingergleichung: Klassische Lösung: harmonische Schwingung Oszillation zwischen Ekin und Epot E(x) En n 2 E 0

11. 6. Der Harmonische Oszillator Potential: Stationäre Schrödingergleichung: Klassische Lösung: harmonische Schwingung Oszillation zwischen Ekin und Epot Substituiere: |Y(x)|2 Y(x) Lösung für C=1 E=1/2 ~ w Gausskurve: 1. Tunnels in den klassich verbotenen Bereich 2. Maximale Aufenthaltswahrscheinlichkeit bei 0 (Hier ist klassisch ein Minimum!)

11. 6. Der Harmonische Oszillator Potential: Stationäre Schrödingergleichung: Klassische Lösung: harmonische Schwingung Oszillation zwischen Ekin und Epot Substituiere: Lösung für C=1 E=1/2 ~ w Hermitesche Polynome

Harmonischer Oszillator: 1. Energieniveus äquidistant (~w) 2. Nullpunkstenergie 1/2 (~w) Bohrsche Atom: En 1/n 2 Kastenpotential: En n 2

Plancksches Strahlungsgesetz Rayleigh, Jeans Strahlungsgesetzt Plancks Annahme: harmonischer Oszillator kann nicht kontinuierlich absorbieren, sonder nur E= nh diskret

Vergleich QM – Klassische Aufenthaltswahrscheinlichkeit =20 =4 =0

Überlagerung von Zuständen 0, 1 Ort Merke: Grosse Auslenkung Kleiner Impuls! Impuls

Kohärenter Zustand: Versuch den klassischen Oszillator nachzubilden Gauss: läuft NICHT ausseinander (dank Potential) Wellenpaket im Impuls und Ortsraum

12. Das Wasserstoff Atom 12. 1. Bewegung im Zentralfeld Stationäre Schrödingergleichung in 3 Dimensionen D „Breitengrade“ (x, y, z) ! ( R, q, f ) Sphärische Polarkoordinaten Kugelkoordinaten: x=r sinq cosf y= r sinq sinf Z=r cosq

Stationäre Schrödingergleichung für Zentralpotential in Kugelkoordianten Produktansatz: Y(r, q, f)= R(r) T(q) P(f) Hängt nur von f ab Hängt nur von r, q ab ) Beide Seiten müssen konstant sein C 1 Lösung: Da die Funktion eindeutig sein muß, soll gelten: P(f)=P(f + np) Teilen durch Ganzzahlig (m) m 2 Z

Stationäre Schrödingergleichung für Zentralpotential in Kugelkoordianten Produktansatz: Y(r, q, f)= R(r) T(q) P(f) C 1 = ml 2 umsortieren, nach r und q Hängt nur von r, q ab Hängt nur von f ab ) Beide Seiten müssen konstant sein C 1 hängt nur von r ab hängt nur von q ab Lösung: ) Beide Seiten müssen konstant sein C 2 Da die Funktion eindeutig sein muß, soll gelten: P(f)=P(f Legendresche + np) substituiere x=cosq ! Differentialgleichung Allgemeine Lösung: Zugeordnete Kugelfunktionen Plm Teilen durch T=Plm (cos(q)) C 2 = l(l+1), l 2 N Ganzzahlig (m) T(q) P(f) = Plm (cos(q)) eimf = Ylmm(q, f) e. Z Kugelflächenfunktionen

Zwischenbetrachtung: Drehimpuls in der Quantenmechanik Physikalische Größe Operator

l = 0, 1, 2, 3. . -l<ml<l Drehimpulsquantenzahl Magnetische Quantenzahl Unschärferelation im Drehimpuls: D lz D l x > ~ D lz D ly > ~ D lx > ~ z m~ Beispiel l=2 x, y Komponente unbestimmt m=-2, -1, 0, 1, 2 2 dimensionale Welt?

1. Länge des Drehimpulsvektors ist quantisiert! 2. kann nicht beliebig im Raum stehen: Richtung ist quantisiert! Was ist die z (Quantisierungsachse)?

Stationäre Schrödingergleichung für Zentralpotential in Kugelkoordianten Produktansatz: Y(r, q, f)= R(r) T(q) P(f) C 1 = ml 2 umsortieren, nach r und q Hängt nur von r, q ab C 2 = l (l+1) Hängt nur von f ab ) Beide Seiten müssen konstant sein C 1 hängt nur von r ab hängt nur von q ab Lösung: ) Beide Seiten müssen konstant sein C 2 Da die Funktion eindeutig sein muß, soll gelten: P(f)=P(f Legendresche + np) substituiere x=cosq ! Differentialgleichung Allgemeine Lösung: Zugeordnete Kugelfunktionen Plm Teilen durch T=Plm (cos(q)) C 2 = l(l+1), l 2 N Ganzzahlig (m) T(q) P(f) = Plm (cos(q)) eimf = Ylmm(q, f) e. Z Kugelflächenfunktionen

auflösen negativ Für r! 1 vernachlässige 1/r und 1/r 2 Vollständige Lösung (Laguerre Polynome): hängen von n&l ab Wie Bohrmodel! Beschränkung für l l<0, 1, 2, . . . n hängt NICHT von l ab

Ynlm(r, q, f)= Rnl(r) T(q)lm Pm(f) = Rnl(r) Ylm(q f) Quantenzahlen: Symbol Hauptquantenzahl n = 1, 2, . . . Drehimpuls l = 0, 1, 2, 3, 4. . . (n-1) s, p, d, f magnetisch (Projektion des Drehimpulses) Grundzustand n=1 l=0 m=0 n=2 l=0 m=0 l=1 m=-1 m=0 m=1 n 2 Möglichkeiten -l · m · l keine Bohrsche Kreisbahn! KEIN Drehimpuls. “Entartet” (gleiche Energie)

Ynlm(r, q, f)= Rnl(r) T(q)lm Pm(f) = Rnl(r) Ylm(q f) |Rnl(r)|2 Wahrscheinlichkeit ein Elektron in einem Volumenelement am Abstand r zu finden r|Rnl(r)|2 Wahrscheinlichkeit ein Elektron in einer Kugelschale bei r zu finden Höchste Dichte am Kern! Maximum beim Bohrschen Radius

Ynlm(r, q, f)= Rnl(r) T(q)lm Pm(f) = Rnl(r) Ylm(q f) |Rnl(r)|2 Wahrscheinlichkeit ein Elektron in einem Volumenelement am Abstand r zu finden r|Rnl(r)|2 Wahrscheinlichkeit ein Elektron in einer Kugelschale bei r zu finden 1 Knoten!

klassisch verbotener Bereich Tunneln Fragen: Wie kommen die e wieder zurück? Sind sie dort schnell oder langsam?

Ynlm(r, q, f)= Rnl(r) T(q)lm Pm(f) = Rnl(r) Ylm(q f) Y 00 = C 1 Y 10= C 2 cosq Y 11= C 3 sinq eif Y 20=C 4(2 cos 2 q –sin 2 q) Y 21=C 5(cosq –sinq eif Y 22=C 6 sin 2 q e 2 if Polardarstellung: Abstand von (0, 0) ist Funktionswert Z-Achse (Quantizierungsachse)

Verbreitete Darstellung: Form nur „Stilisiert“ Sind nicht gleichzeitig messbar

Vergleich Bohrsches Atommodell - Quantenmechanik r-Abhängigkeit Radius verschmiert Bohr Planetenbahnen rn rn=a 0/Z n 2 Dichte Drehimpuls kann bei r=0 maximal sein 0 bei r=0 L=n~