ANOVA fr unabhngige Daten AMELIE AMSTUTZ THORBEN ECKL

ANOVA für unabhängige Daten AMELIE AMSTUTZ, THORBEN ECKL & VERENA

WHAT TO KNOW ABOUT A N O V A

Allgemeines • MW-Vergleich mehrerer Stichproben • Erweiterung t-Test • Analyse des Einflusses (mehrerer) UVn auf eine AV

Beispiel Begriffe: UV = Faktor Ausprägungen der UV = Faktorstufen/ Treatments AV = Zielvariable

Einfaktorielle ANOVA Nur ein Faktor (beliebig viele Stufen) Nur ein Haupteffekt • Keine Interaktion Hypothesen: • H 0 : alle Mittelwerte sind gleich • H 1 : mind. zwei Gruppenmittelwerte sind verschieden

Lineares Modell (I) Treatment (Faktor) A 1. Stufe Treatment (Faktor) A j. 2. Stufe Treatment (Faktor) B 1. Stufe. . . Treatment (Faktor) B i. Stufe Xn 1, 1, 1, 1 Xn 1, 2, 1, 2 Xn 2, 1, 2, 1 Xn 2, 2, 2, 2 Xni, j, i, j

Lineares Modell (II) Populationswert Messfehler Interaktionseffekte Messwert Einfluss Faktor A/B

Voraussetzungen 1. Unabhängigkeit 2. Normalverteilung 3. Intervallskalierte AV 4. Kategoriale UV 5. Varianzhomogenität

BERECHNUNG

Ergebnistabelle QS A df Var F Prob B Ax. B Fehler Total

Varianzanalyse („Analysis Of VAriance“) • Separate Aussagen über die Wirkung jedes einzelnen Treatments (A, B, …) und der Interaktion aus zwei und mehr Treatments (Ax. B, …) • Analyse der Unterschiede MWs der Stufen eines Faktors bzw. Zellmittelwerten Varianzanalyse • Systematischer Effekt, wenn Streuung der Stufen- bzw. Zellmittelwerte a) b) nicht durch Zufallsfehler erklärbar unabhängig von den Effekten der anderen Faktoren Quadratsummenzerlegung!

Was war nochmal eine Quadratsumme? Quadratsumme = Summe der quadratischen Abweichungen der Messwerte von ihrem arithmetischen Mittelwert. • dient zur Abschätzung des Einflusses der Faktoren (bzw. ihrer Interaktion) • z. B. inwieweit sind Unterschiede in den Leistungen von Schülern auf unterschiedliche Lehrmethoden zurückzuführen

Quadratsummenzerlegung Totale QS Systematische Effekte unsystematisch QS Treat A Vergleich QS Treat B QS Interaktion Ax. B QS Fehler

Quadratsummenzerlegung QS A Var F Prob B Ax. B Fehler Total df

Beispiel (l) 2 Faktoren A: 4 Faktorstufen; B: 2 Faktorstufen Faktor A 1 A 2 A 3 A 4 MW B 2 9, 88889 14, 7777778 15, 4444444 26, 2222 16, 58333333 B 1 MW 22, 88888889 7, 55555556 19, 4444444 14, 55555556 16, 1111 16, 38888889 11, 1666667 17, 4444444 20, 38888889 16, 34722222 Grand Mean

Quadratsummenzerlegung – Haupteffekte – QS A B Ax. B Fehler Total

Beispiel (II) MW für jede Treatmentstufe A 1: PA A 2: VT A 3: GT A 4: PMR vom Grand Mean 0, 03125 483, 086806 21, 6701389 294, 03125 abziehen und quadrieren B 2: NW B 1: GW Die quadrierten Abweichungen pro Faktor aufaddieren 2, 00694444 Faktor QS A 798, 8194444 B 4, 013888889

Quadratsummenzerlegung – Interaktionseffekt – QS A B Ax. B Fehler Total

Beispiel (III) Für jede Zelle (Kombination aus 2 Treatmentstufen) MW Tabelle der ohne Interaktionseffekt erwarteten Zellmittelwerte unter Annahme, dass keine Interaktion vorliegt berechnen Faktor A 1 A 2 B 2 16, 625 11, 4027778 B 1 Differenz aller 16, 15277778 10, 9305556 Messwerte zu den oben berechneten Zell. MWs ohne Interaktion berechnen und aufaddieren Faktor A B Ax. B A 3 A 4 17, 6805556 20, 625 17, 2083333 20, 15277778 QS 798, 8194444 4, 013888889 1675, 708333

Quadratsummenzerlegung – Fehlerstreuung e – = Summe der quadrierten Abweichungen der Messwerte innerhalb einer Zelle zum jeweiligen Zellmittelwert QS A B Ax. B Fehler Total

Beispiel (IV) B 1 B 2 Faktor Die quadrierten Abweichungen A aufaddieren B Ax. B Fehler A 1 3, 56790 8, 34567 … 16, 9012 … Für alle Messwerte Abweichung zum jeweiligen Zell. MW berechnen und quadrieren A 3 A 4 A 2 0, 60493 0, 30864 1, 49382 7, 71604 12, 6419 0, 04938 0, 19753 2, 41975 6, 5308 QS 798, 8194444 4, 013888889 1675, 708333 517, 7777778

Quadratsummenzerlegung –Totale Quadratsumme – QS A B Ax. B Fehler Total

Beispiel (V) Faktor QS A 798, 8194444 B 4, 013888889 Ax. B 1675, 708333 Fehler 517, 7777778 Total 2996, 319444 Alle Komponenten addieren

Interpretation (I) • Idee: Vergleich der Treatmentstreuung A, der Treatmentstreuung B bzw. der Interaktionsstreuung mit der Fehlerstreuung. ØSystematischer Effekt, wenn Treatmentstreuung > Fehlerstreuung ~Problem: Individuelle Messfehler der einzelnen Personen innerhalb einer Stufe werden herausgemittelt Transformation in Populationsvarianzen!

Populationsvarianzen QS A df F Prob B Ax. B Fehler Total Freiheitsgrade bestimmen

Freiheitsgrade QS df Var F Prob A i-1 B j-1 Ax. B (i-1)*(j-1) Fehler i*j*(n-1) Total n*i*j-1 n= Anzahl Personen pro Bedingungskombination i= Anzahl Stufen des Treatments A j= Anzahl Stufen des Treatments B `WICHTIG: Gleiche Anzahl Personen pro Zelle n

Interpretation (II)

Prüfgröße F QS df Var F Prob A B Ax. B Fehler Total ? Ist die Streuung zwischen den Stufenmittelwerten hoch genug, damit statistisch behauptet werden kann, dass sie nicht auf zufälligen Messfehlern beruht?

Prüfgröße F = Quotient aus der Populationsvarianz des Treatments und der Populationsvarianz des Fehlers Folgt einer F- Verteilung Ødf. Zähler = df. Treatment = i-1 bzw. j-1 Ødf. Nenner = df. Fehler = i*j*(n-1) → Wahrscheinlichkeit p(F) ablesen!

F- Verteilung

Wahrscheinlichkeit p(F) QS A df Var F Prob B Ax. B Fehler Total Wie klein ist „zu unwahrscheinlich“? Ø >= 0. 05 statistisch nicht signifikant Ø < 0. 05 statistisch signifikant Ø < 0. 01 statistisch hochsignifikant

Varianzaufklärung 2

Nicht- aufgeklärte Varianz

Grafische Darstellung

Interaktionsplot = Punktediagramm aus allen Zellmittelwerten Haupteffekte von A und B • Plot: x- Achse = Faktor A (oder umgekehrt) Ø i Linien von Zellmittelwerten für jede der i Stufen von Faktor B ØZusätzlich können die Stufenmittelwerte von A abgetragen werden • Gegenplot: x-Achse = Faktor B Interaktionseffekte: Linien der Stufen des zweiten Faktors verlaufen nicht parallel

Interaktionsplot (I) • Haupteffekt des Faktors A • Kein Effekt des Faktors B • Keine Interaktion zwischen A und B

Interaktionsplot (II) • Haupteffekt des Faktors A • Haupteffekt des Faktors B • Keine Interaktion zwischen A und B

Interaktionsplot (III) • Kein Haupteffekt des Faktors A • Kein Haupteffekt des Faktors B • Ordinale Interaktion zwischen A und B

Interaktionsplot (IV) • Kein Haupteffekt des Faktors A • Kein Haupteffekt des Faktors B • Disordinale Interaktion zwischen A und B

Interaktionsplot (V) • Kein Haupteffekt des Faktors A • Kein Haupteffekt des Faktors B • Hybride Interaktion zwischen A und B

Praxisteil