ANOVA Analysis of Variance 02112020 1 TUJUAN PEMBELAJARAN

ANOVA (Analysis of Variance) 02/11/2020 1

TUJUAN PEMBELAJARAN Tujuan Umum Setelah mengikuti materi ini diharapkan memahami Uji Hipotesis Beda Rata-rata lebih dari 2 kelompok independen Tujuan khusus, untuk memahami: ◦ Pemanfaatan uji beda rata-rata lebih dari 2 kel. ◦ ◦ indep Asumsi Uji Anova Macam-macam Uji Anova Prosedur Uji Anova Latihan soal 02/11/2020 2

ANOVA § Uji hipotesis perbedaan nilai rata-rata lebih dari 2 kelompok independen § Contoh: § § § Adakah perbedaan nilai debit pengukuran di station hulu, tengah dan hilir. Adakah perbedaan Nilai rata parameter DO dari station, I dan II Jika uji 2 mean “Z”, “t-test” Kel 1 Kel 2 X X Uji t atau t-test 02/11/2020 3

ANOVA O Jika >2 mean uji Z dan t-test tidak efektif lagi karena dilakukan berulang kali akan menyebabkan error type I (α) menjadi besar α* = 1 -(1 -α)n O Prinsip uji Anova adalah melakukan telaah variabilitas data menjadi dua sumber variasi yaitu variasi dalam kelompok (within) dan variasi antar kelompok (between) 02/11/2020 4

PRINSIP UJI ANOVA Treatment 1 Treatment 2 Treatment k Xi Xi Xi … … … … … X X • Deviasi X dengan Xi Varian Within (S 2 w) • Deviasi X dengan X Varian Between (S 2 b) 02/11/2020 5

ANOVA • Asumsi Uji Anova • • Varian semua populasi adalah sama (homogen) Sampel/kelompok independen Populasi terdistribusi secara normal Jenis data yang dihubungkan adalah numerik dengan kategori (untuk kategori yang lebih dari 2 kelompok) • Hipotesis Ho: μ 1=μ 2=μ 3 (semua μ adalah sama) • Ha: μ 1≠μ 2=μ 3 (Tidak semua μ adalah sama) atau setidaknya salah satu dari μ berbeda dengan lainnya 02/11/2020 6

ANOVA Macam-macam Uji ANOVA Satu arah (one way anova) • Melihat perbedaan bermacam-macam data hujan yang ada dalam rekaman data statiun (sampel) Dua arah (two way anova) • Sampel dibedakan lagi berdasarkan lokasi station (station A dan B) Multi arah (MANOVA) • Masing-masing data dibedakan lagi berdasarkan musim • Sampel Stasiun A maupun station B dibedakan lagi berdasarkan kelompok lokasi 02/11/2020 7

ANOVA Prosedur Uji ANOVA 1. Ho: μ 1=μ 2=μ 3 (semua μ adalah sama) Ha: μ 1≠μ 2=μ 3 (Tidak semua μ adalah sama) atau setidaknya salah satu dari μ berbeda dengan lainnya 2. Tentukan tingkat kepercayaan 3. Test Statistik : Uji Anova 4. Critical region (Ho ditolak, jika: F hitung ≥ F tabel (k-1, N-k; α) (k-1 = numerator), (N-k=denominator) 5. Perhitungan uji Anova 6. Keputusan: 7. Kesimpulan: 02/11/2020 8

ANOVA O F-rasio adalah perbandingan antara variasi antar group (between group) dengan variasi di dalam group (within group) O Jika rasio tersebut besar, berarti variasi yang terjadi adalah akibat dari perbedaan treatment/kelompok O Jika rasio tersebut kecil berarti variasi yang terjadi hanyalah akibat perbedaan antar individu O Berapa rasio yang disebut besar? Tergantung dari derajat kemaknaan yang dapat diterima 02/11/2020 9

ANOVA O Ada dua sumber varians untuk mengestimasi σ2 • Between group (antar group) S 2 b = n 1(x 1 – x)2 + n 2(x 2 – x)2 + …+ nk(xk – x )2 k– 1 k = jumlah kelompok • Within groups (pooled variance) S 2 w = (n 1– 1)S 12 + (n 2– 1)S 22 + …+ (nk– 1)Sk 2 N–k • Ratio Variance S 2 b F= 02/11/2020 S 2 w 10

ANOVA Data Lay-out Treatment 1 Treatment 2 Treatment k X 1 X 1 x 2 X 2 … … … Xn Xn Xn n 1 n 2 nk N=… X 1 X 2 Xk X S 12 S 22 Sk 2 S 2 X= n 1 X 1 + n 2 X 2 + … + n k. X k N Total 02/11/2020 11

ANOVA Contoh Kasus O Tiga macam pencatatan dilakukan trialnya terhadap data debit sungai. Buktikan apakah efek ketiga data tersebut sama (α=0, 05) No Obat 1 Obat 2 Obat 3 1 47 55 54 2 53 58 50 3 49 54 51 4 50 61 51 5 46 62 49 Rata-rata 49 56 51 Varians 7. 5 12. 5 3. 5 02/11/2020 12

Jawab 1. Ho: μ 1=μ 2=μ 3 (Tidak ada perbedaan data dari stasiun 1, 2 & 3) Ha: μ 1≠μ 2=μ 3 (Ada perbedaan data 1, 2 dan 3) 2. Tingkat kepercayaan 95% (α=0, 05) 5 (49) + 5 (56) + 5 (51) X= 245 + 280 + 255 X= = 52 15 15 (5 – 1)7, 5 + (5 – 1)12, 5 + (5 – 1)3, 5 S 2 w = = 7, 8 15 – 3 5(49 – 52)2 + 5(56 – 52)2 + 5(51 – 52)2 S 2 b = = 65 3– 1 S 2 b F= = S 2 w 02/11/2020 65 = 8, 3 7, 8 F hitung 13

Lihat tabel F (Cuplikan) Df 1 (numerator) = k-1=3 -1=2 Df 2 (denominator)=N-k=15 -3=12 Nilai F hitung = 8, 3 Denominat or DF Area 12 Numerator DF 1 2 3 4 5 6 dst 0, 100 … 2, 81 … … … 0, 050 … 3, 89 … … … 0, 025 … 5, 10 … … … 0, 010 … 6, 93 … … … 0, 005 … 8, 51 … … … 0, 001 … 12, 97 … … … F hitung (8, 3) > F tabel (3, 89) keputusan Ho ditolak Kesimpulan: Dengan α=5% ada perbedaan yang signifikan efek dari 02/11/2020 ketiga data debit t tersebut (Obat 1, 2 dan 3) 14

ANALISIS MULTIPLE COMPARISON (POSTHOC TEST) O Analisis ini bertujuan mengetahui lebih lanjut kelompok mana saja yang lebih berbeda meannya bilamana terjadi pada pengujian Anova dihasilkan ada perbedaan yang signifikan (Ho ditolak) O Jenis analisis Bonferroni, Honestly Significant Difference (HSD), Scheffe dll O Perhitungan Bonferroni sbb: x i - xj tij = --------------√S 2 w [(1/ni) + (1/nj)] df = n - k Dengan level of Sig (α) sbb: α α* = -----( k 2 ) 02/11/2020 15

CONTOH KASUS 3! Kombinasi uji t yang mungkin adalah (32) = ------=3 (3 -2)! 2! Pada soal di atas alpha 5% (0, 05) maka α bonferroni adalah 0, 05 α* = ----- = 0, 0167 = 0, 01 3 Lanjutkan dengan uji t antara kelompok I dan II, I dan III, II dan III 02/11/2020 16

Lanjutan-Bonferroni O Uji kelompok I dan II x i - xj tij = --------------√S 2 w [(1/ni) + (1/nj)] 49 - 56 t 12 = ------------ = -3, 95 √ 7, 8 [(1/5) + (1/5)] Langkah selanjutnya mencari nilai P dg tabel t dengan df = 15 – 3 = 12 Degree of Freedom (df) Area in Two Tail 0, 50 0, 20 0, 10 0, 05 0, 02 0, 01 0, 001 1 … … … … 12 0, 695 1, 356 1, 782 2, 178 2, 681 3, 055 4, 318 dst … … … … 02/11/2020 17 (0, 01) Dg nilai t hitung = -3, 95 dan df=12, maka nilai p <0, 01 nilai p ini < α* Maka Ho ditolak Kesimp: secara statistik ada perbedaan efek Obat 1 dan 2

Lanjutan-Bonferroni O Uji kelompok I dan III 49 - 51 t 13 = ------------ = -1, 13 √ 7, 8 [(1/5) + (1/5)] Langkah selanjutnya mencari nilai P dg tabel t dengan df = 15 – 3 = 12 Degree of Freedom (df) Area in Two Tail 0, 50 0, 20 0, 10 0, 05 0, 02 0, 01 0, 001 1 … … … … 12 0, 695 1, 356 1, 782 2, 178 2, 681 3, 055 4, 318 dst … … … … Dg nilai t hitung = -1, 13 dan df=12, maka (0, 5>nilai p>0, 2) nilai p ini >α* 02/11/2020 18 (0, 01) Maka Ho gatol Kesimp: secara statistik tidak ada perbedaan efek Obat 1 dan 3

Lanjutan-Bonferroni O Uji kelompok II dan III 56 - 51 t 23 = ------------ = 2, 83 √ 7, 8 [(1/5) + (1/5)] Langkah selanjutnya mencari nilai P dg tabel t dengan df = 15 – 3 = 12 Degree of Freedom (df) Area in Two Tail 0, 50 0, 20 0, 10 0, 05 0, 02 0, 01 0, 001 1 … … … … 12 0, 695 1, 356 1, 782 2, 178 2, 681 3, 055 4, 318 dst … … … … Dg nilai t hitung = 2, 83 dan df=12, maka (0, 02>nilai p>0, 01) 02/11/2020 nilai p ini >α* (0, 01) 19 Maka Ho gatol Kesimp: secara statistik tidak ada perbedaan efek Obat 2 dan 3